沪教版 九年级(下)学期 同步讲义 第8讲 等腰三角形的存在性问题(学生版)

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1、 等腰三角形的存在性问题 内容分析 根据等腰三角形的定义，若  DABC  为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB． 但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存 在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有 2 个甚至更多的解，在解题时需要尤 其注意． 知识结构 模块一：以函数为背景的等腰三角形问题 知识精讲 1、 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2

2、）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设 A( x , y ) 、 B ( x , y ) 1 1 2 2 AB = ( x -x ) 2 +( y -y ) 2 ． 1 2 1 2 2、 解题思路： ，则 A、B 两点间的距离为： （1） 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2） 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分 式或根式方程） （3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几

3、何能力的要求较高，用勾 股定理则反之． 例题解析 【例1】 如图，已知 DABC 中，AB = AC = 6，BC = 8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，∠ADE =∠B．设 BD 的长为 x，CE 的长为 y． （1）当 D 为 BC 的中点时，求 CE 的长；  A （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果 DADE 为等腰三角形，求 x 的值．  E B  D C 2 / 10 【例2】 已知，一条抛物线的顶点为 E（ -1，4），且过

4、点 A（ -3，0），与 y 轴交于点 C， 点 D 是这条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且 -3

5、相关点主要有： （1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件； （2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形 2、 解题思路： 与模块一类似； （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式 或根式方程）； （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 例题解析 【例3】 如图，在 Rt ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B =  4 3  ，点 P 是线段 AB 上的一 个动

6、点，以点 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D，射线 PD 交射 线 BC 于点 E，点 Q 是线段 BE 的中点． （1）当点 E 在 BC 的延长线上时，设 PA＝x，CE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写 出定义域； （2）以点 Q 为圆心，QB 为半径的⊙Q 和⊙P 相切时，求⊙P 的半径； （3）射线 PQ 与⊙P 相交于点 M，联结 PC、MC， PMC 是等腰三角形时，求 AP 的长． B P  Q A  D  C E 4 / 10 【例4】

7、 如图，已知在 Rt DABC 中， ÐACB =90°，AB = 5 ， sin ÐA =  4 5  ，P 是 BC 边上的一 点， PE ^AB ，垂足为 E，以点 P 为圆心，PC 为半径的圆与射线 PE 相交于点 Q，线 段 CQ 与边 AB 交于点 D． （1）求 AD 的长； （2）设 CP = x， DPCQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）过点 C 作 CF ^ AB ，垂足为 F，联结 PF、QF，如果 DPQF 是以 PF 为腰的等腰 三角形，求 CP 的长． Q B E P D

8、 C  A 模块三：与角有关的等腰三角形问题 知识精讲 有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时 经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形． 例题解析 【例5】 如图 1，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝5，∠C＝30°，点 D 是 AC 边上一动点（不 与 A、C 重合），过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，联结 EF，设 AE＝x， EF＝y． （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （2）以 F 为圆心、FC 为半

9、径的⊙F 交直线 AC 于点 G，当点 G 为 AD 中点时，求 x 的 值； （3）如图 2，联结 BD，将△EBD 沿直线 BD 翻折，点 E 落在点 E′处，直线 BE′与直线 AC 相交于点 M，当△BDM 为等腰三角形时，求∠ABD 的度数． A  A E  D  E  D B  F  M E’ C B C 图 1  图 2 6 / 10 【习题1】  随堂检测 已知：如图 1，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6

10、，tan ∠ABC=2，点 E 在 AD 边上，且 AE=3ED，EF//AB 交 BC 于点 F，点 M、N 分别在射 线 FE 和线段 CD 上． （1）求线段 CF 的长； （2）如图 2，当点 M 在线段 FE 上，且 AM⊥MN，设 FM·cos∠EFC=x，CN=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如 AMN 为等腰直角三角形，求线段 FM 的长． A E D A E D N M  A E D B F （图 1） C B F （图 2） C B F （备用图） C

11、 4 【习题2】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝8，cosB＝ ，点 P 是边 BC 5 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧），射线 CE 与射线 BA 交于点 G．  G （1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长； （2）联结 AP，当 AP//CG 时，求弦 EF 的长； （3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长．  B E A P C F  D 8 / 10 课后作业 【作业1】 如图，在 D

12、ABC 中，∠C = 90 °，BC = 3 ，AB = 5 ．点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 B→C→A→B 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长 度的速度沿 C→A→B 的方向运动，到达点 B 后立即原速返回，若 P、Q 两点同时运动， 相遇后同时停止，设运动时间为 t 秒． （1）当 t =____秒时，点 P 与点 Q 相遇； （2）在点 P 从点 B 到点 C 运动的过程中，当 t 为何值时， DPCQ 为等腰三角形？ B P C  Q  A 【作业2】 在⊙O 中，OC⊥弦 AB，垂足为 C，点 D 在⊙O 上． （1）如图 1，已知 OA = 5，AB = 6，如果 OD//AB，CD 与半径 OB 相交于点 E，求 DE 的长； （2）已知 OA = 5 ，AB = 6（如图 2），如果射线 OD 与 AB 的延长线相交于点 F，且 OCD 是等腰三角形，求 AF 的长； （3）如果 OD // AB，CD⊥OB，垂足为 E，求 sin∠ODC 的值． O  E  D  O A  C  B  A  C  B 图 1  图 2 10 / 10