内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 第三讲 数列与不等式 理

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1、内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：第三讲 数列与不等式(理科) 数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题,对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前项和公式,对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间. 考试要求（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列

2、的通项公式与前n项和公式.　③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 题型一 等差、等比数列的概念与性质 例1．（1）已知等比数列中，各项都是正数，且、、2成等差数列，求 ; （2）等差数列的前n项和为，已知，, 求 . 【点拨】（1）依据等差中项的概念先求等比数列的公比，再利用等比数列的性质求值. （2）此题的算法较多，如何寻找合理、简捷的运算途径是解决问题的关键，根据等差数列的性质， 由第一个条件得出，再由第二个条件列出方程求. 【解】（1）依题意可得：，即，

3、则有可得，解得或（舍） 所以; （2）因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0， ＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10， 【易错点】（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻. 变式与引申1：等差数列的前n项和为，公差 . （1）求的值; （2）当为最小时，求的值. 题型二：数列的通项与求和 例2．（2009年湖北文科卷第19题）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足 .

4、 (1)求数列的通项公式; （2）若数列和数列满足等式：，求数列的前项和. 【点拨】（1）等差数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和，当然若能利用等差数列的性质来计算，问题就简单多了.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据通项公式求前 项和 . 【解】（1）解法1：设等差数列的公差为d，则依题设d>0 ，由.得① 由得② 由①得将其代入②得.即， ，代入①得 解法2：等差数列中， ，公差， ， （2）设，则有 两式相减得，由（1）得，，即当

5、时，， 又当时，，于是 == 【易错点】（1）由的关系及（1）的结论找不到的通项公式，使解题受阻；（2）在求的通项公式时，由得,把这个条件遗漏；（3）忽略当时，，直接写；（4）计算数列的前项和时随意添加项. 变式与引申2：1.已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）. （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）设的前n项和，求. 2. 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （2）当b=2时，记 求数列的前项和. 题型三：数列的实际应用 例3. 为了

6、解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项. (1)求数列和的通项公式； (2)求视力不小于5.0的学生人数； (3)设,求数列的通项公式. 【点拨】（1）频率分布直方图是解决问题的关健；（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）

7、求得、后，根据题设条件，按递推公式求通项公式方法求出. 【解】(1)由题意知 因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列, 所以 (2) 求视力不小于5.0的学生人数为 (3) 由① 可知，当时，② ①－②得，当时， , , 又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列, 数列的通项公式为 . 【易错点】（1）不理解的意义，解题找不到切入点；（2）计算数列的通项公式时忽略“全校100名学生”这个重要的已知条件，导致前两问的结果都不正确；（3）求出、后，由题设

8、条件不能正确地找出求的方法；（4）计算由①式变为②式时，缺少这个条件. 变式与引申3： 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示： 2008年 2009年 2010年 新植亩数 1000 1400 1800 沙地亩数 25200 24000 22400 而一旦植完，则不会被沙化． 问：（1）每年沙化的亩数为多少； 图3-1-2 （2）到那一年可绿化完全部荒沙地. 题型四：数列综合题 例4根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别

9、记为，． （1）求数列的通项公式； （2）写出，由此猜想出数列； 的一个通项公式，并证明你的结论; （3）求． 【点拨】（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题 的关健；（3）掌握错位相减法求数列的前项和及数列求和的一般方法. 【解】（1）由框图，知数列中 ∴ （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 证明：由框图，知数列{yn}中，， ， ∴数列{

10、yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列， （3） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴. 【易错点】（1）根据框图不能正确写出数列的递推公式，解题受阻，（2）对数列求和的

11、方法及每种方法所适合的题型认识不清，盲目求和；（3）对指数运算不够熟悉，导致利用错位相减法计算出的结果不正确. 变式与引申4：已知曲线y=，过曲线上一点（异于原点）作切线. （1）求证：直线与曲线y=交于另一点； （2）在（1）的结论中，求出的递推关系.若，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，使得不等式对一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否则请说明理由. 【小结】 本节主要考查：（1）数列的有关概念，递推公式；等差数列和等比数列的定义、判定方法、性质、通项公式和前项和公式，数列求和及数列的应用（2）数列是一类特殊的函数，而函数又是高中数学

12、的重要内容，所以数列常与导数、不等式、三角、解析几何、概率及算法等知识点交融命题，解决数列的通项公式及前项和、证明不等关系等问题（3）简单的递推公式求通项公式的方法，分组求和、倒序相加、裂项求和、错位相减等数列求和方法（4）着重考查函数与方程思想、数形结合、等价转化、分类讨论等重要的数学思想. 点评：（1）“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算问题中非常重要，树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标； （2）数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题型，要切实注意与之间关系的转化.如：， =等； （3）等差、等

13、比数列的基本知识是必考内容，这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题，在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，充分理解公式的变式及适用范围，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题； （4）求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和方法，如公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等； （5）在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，

14、 进一步培养阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力； （6）解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解． 习题3－1 1．（2009年辽宁省文科卷）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝ （ ） A．－2 B．－ C． D．2 2．等差数列{an}，{b

15、n}的前n项和分别为Sn、Tn，若=，则=_________． 3．数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列． （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项之和． 4．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列. ⑴求点的坐标； ⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：. 5．已知数列满足且 （1）求的表达式； （2）求； （3）若，试比较的大小，并说明理由. 第二节 解不等式

16、 不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明. 不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是： （1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目

17、； （2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道． 考试要求 （1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． （2）一元二次不等式 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． ② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． ③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

18、② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 题型一： 不等式的解法 例1（1）(2008年江西卷文科第13题)不等式的解集为 ． （2）、 (2008全国卷Ⅰ理科第9题)设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等

19、式，可通过化“同底”求解． 解：（1）原不等式变为，由指数函数的增减性，得： ，即，由此可得原不等式解集为 （2）由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，或,选D. 易错点：（1）分不清指数函数增减性，误把不等式转化为得出错误的结论。 （2）不考虑奇函数在上的单调性，不知道等价转化， 变式与引申1：（1）(2009年山东卷第5题) 在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2) （2） （2009年天津卷第8题）

20、设函数则不等式的解集是（ ） A B C D 题型二：含参数不等式的解法 例2 解关于的不等式． 点拨：解分式不等式应通过分解因式化成形如的不等式（称为“规范式”，其中称为“根”）， 然后再利用序轴穿根法写出解集.本题尽管含有字 开始 结束 化为 化为规范式 化为规范式 与的大小 是否确定？ 讨论与的大小关系 与的大小 是否确定？ 讨论与的大小关系 写出解集 图 母参数，但解法仍然相同，所不同的是根的大 小可能不能确定，因而可能要分类讨论. 首先通过移项把原不

21、等式化为， 进一步朝规范化方向行进时遇到了可能为 的问题，所以首先要对是否为分类讨论， 接下来该怎样进行，请看右边的流程图. 解：原不等式可化为 （＊） （1）设 ，不等式化为，解 得. （2）设， 如果，不等式可化为. 当,即时,； 当,即时,； 当,即时,解得. 如果，不等式可化为， 解得或. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 　当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 　当时，不等式的解集为． 易错点：在规范化的过程中，对可能为零视而不见；在已经规范化了之后，对不确定的根的大小关系不加区分.整体表现为不能有序地进行分类讨论

22、. 变式引申2：（1）解关于的不等式． （2）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. （1）求函数f(x)的解析式； （2）设k>1，解关于x的不等式； 题型三：不等式的恒成立问题 例3 （2008年上海文科第19题）已知函数． （1）若，求的值； （2）若对于恒成立，求实数m的取值范围 点拨：不等式恒成立问题通常有以下处理方法：（1）分离参数法，将参数与变量进行分离，再转化为最值问题解决；（2）变换主元法，有些题分离参数后很难求最值，可考虑变换思维角度，即主元与参数互换位置（3）数形结合法。本题分离参数后可求最值.

23、 解（1）. 由已知， 解得 ∵ . （2）当即∵, ∴在上恒成立,∴.又时,, 故的取值范围是. 易错点：（1）绝对值的处理方法不明确，找不到解题的突破口（2）指数运算不熟悉，不能正确地将参数与变量进行分离（3）能否取等号也是常见的错误. 变式与引申3：（1）已知，当时，恒成立，求a的取值范围． （2）奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由. 题型四：线性规划问题与基本不等式 例4 （1） 设满足则( ). 图 （A）有最小值2，最大值3 （B）有最

24、小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 （2）函数的图象恒过定点， 若点在直线上，其中，则的最小值 为 ． 点拨：（1）首先准确地作出线性约束条件下的可行域，再由y＝－x 经过平移得到结论，这里关键就在于转化与化归．（2）找出定点的坐标， 代入直线方程，得，由均值不等式得结果. 解（1）画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B （2）函数的图象恒过定点,,，,∴. 易

25、错点： 可行域画不准确，将y＝－x经过平移后得到的最优解不正确， 图 变式与引申4：（1）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时， 动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( ) A． B．1 C． D．5 （2）已知，则的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 本节主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性质及能转化为它们的分式不等式、绝对值不等式、指数与对数不等式的解法以及含字母系数不等式的解法；（2）基本不等式及其应用，简单的线性规划等问题（3）图解法、换元法、分析法、综合法等方法（4）数形结合

26、思想、函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力. 点评： （1）解不等式的关键是等价转化.分式不等式转化为整式不等式；指数与对数不等式转化为代数不等式；抽象函数的不等式在确定其单调性的前提下去掉函数符号转化为代数不等式． （2）在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式；通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系.对含有参数的不等式，运用图解法，有时可以使分类标准更加明晰． （3）等价转化．具体地说，分式化为整式，高次化为低次，绝对值化为非绝对值，指数与对数

27、化为代数式等．分类讨论．分类讨论的目的是处理解决问题过程中遇到的障碍，在无障碍时不要提前进行分类讨论．数形结合．有些不等式的解决可化为两个函数图像间的位置关系的讨论等几何问题． （4）函数方程思想．解不等式可化为解方程或求函数图像与轴交点的问题，根据题意判断所求解的区间．如“穿根法”实际上就是一种函数方程思想． （5）线性规划问题的解题步骤：①根据线性约束条件画出可行域；②利用线性目标函数求出最优解。最优“整点”不一定在可行区域内，这时需要将相近的点一一列出，再代入约束条件和目标函数逐一检验，得出正确答案. （6）在利用基本不等式解决有关问题时，特别注意不等式成立的条件，即“一正，二定值

28、，三相等”在使用基本不等式时，要掌握常见的恒等变形技巧。 （7）不等式渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题等，无一不与不等式有着密切的联系.因此不等式应用问题体现了一定的灵活性、综合性．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点及内在联系，选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解． 习题3－2 1． (2009年山东卷理科第12题)设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值为

29、 ( ) A. B. C. D. 4 2．（2010年山东卷理科第14题）若对任意，恒成立，则的取值范围是 ． 3．已知、都是奇函数，的解集是，的解集是，求的解集 4．解关于x的不等式＞1(a≠1) ． 5．已知是定义在上的奇函数，且，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时 ＞0 (1)用定义证明在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 第三节 推理与证明 推理与证明是数学的基本思维过程

30、，也是人们经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理，证明包括直接证明、间接证明．这部分内容是每年高考的必考知识．题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理等；也可能是解答题，考查问题的证明，推理与证明常与数列、不等到式问题综合，难度一般在之间. 考试要求 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合

31、法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 题型一：合情推理 例1（1）若∆ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则∆ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积＝ ． （2）（2009年浙江卷第15题）观察下列等式： ，， ， ， ……… 由以上等式推测到一个一般的结论：对于， ． 【点拨】（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）

32、这是一种归纳推理方法，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式． 【解】（1）比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面积，由S＝r (a+b+c)等式两边的量，类比对应到体积、系数、半径R、面积S1＋S2＋S3＋S4， 答：R(S1＋S2＋S3＋S4) （2）在给出的一系列的等式中，右边为两项，形成加减轮换的规律，其中一个的指数由构成，第二个的指数由构成，故等式的右边为： 【易错点】（1）类似特征不明确，类比结论错误；（2）不善于寻找数字间的 规律，导致结论错误． 变式与引申1：（1）

33、在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1， D O 图 则；类比此性质，如图，在四面体P—ABC中， 若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论 为____ . （2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 图 1 3 6 10 15

34、 则第个三角形数为　 （ ） A． B． C． D． 题型二：演绎推理 例2（2009年江苏卷第16题）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，. A B C A1 B1 C1 E F D 图 A1 求证：（1）∥; （2）. 【点拨】数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要 注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件． 【解】证明：（1）因为分别是的中点，所以， 又，，所以∥； （2）因为直三棱柱，所以，，

35、又，所以，又，所以． 【易错点】三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象，逻辑关系不清楚是常见的错误． 变式与引申2：（1）已知①正方形的对角相等；②平行四边形的对角相等；③正方形是平行四边形．根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是 ; （2）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，，F为CD的中点. A B C D E F 图 （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求证：平面BCE⊥平面CDE. 题型三：直接证明与间接证明 例3 （1）已知 求证：

36、 （2）已知函数y=ax+(a＞1). （Ⅰ）证明：函数f(x)在（－1,+∞)上为增函数； （Ⅱ）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 【点拨】（1）综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁，但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来． （2）用反证法证明把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③导

37、致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的． 【解】（1）证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立， 当且仅当时等号成立， 即 证法2：（分析法） 要证，只要证 即证 ，即证 即 由 得， 所以原不等式成立 （2）证明 （Ⅰ）任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,由于a＞1, ∴a＞1且a＞0, ∴a-a=a (a-1)＞0. 又∵x1+1＞0,x2+1＞0, ∴-==＞0, 于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0, 故函数f(x)在(-1,+∞）上为增函数. （Ⅱ）方法一 假

38、设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, 则a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1, ∴0＜-＜1,即＜x0＜2， 与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 方法二 假设存在x0＜0 (x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则＜-2,a＜1, ∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾. ②若x0＜-1,则＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 【易错点】（1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立． （2）不是

39、把求证结论的反面作为条件证题（2）不写明与什么相矛盾． 变式与引申3： 已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1. （1）设bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求证：数列{bn}是等比数列； （2）设cn=(n=1,2,…),求证：数列{cn}是等差数列； （3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式. 题型四： 数学归纳法 例4 已知函数，数列满足递推关系式：（），且. （1）求、、的值； （2）用数学归纳法证明：当时，； （3）证明：当时，有. 【解】（1）由及计算得：，， （2）（ⅰ） 即当时，结论成立.

40、 （ⅱ）假设结论对（）成立，即. ∵，函数在上递增 ∴，即当时结论也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）知，不等式对一切都成立. （3）∵当时，由（2）得：，∴. 又由得：，且. ∴. 【易错点】 在证明结论成立时，不用数学归纳法，不按要求做题. 变式与引申4： 已知函数． （1）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围； （2）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4， 求证：an ³ 2n + 2； （3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由． 本节主要考查：（1）知识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎

41、推理；直接证明与间接证明． （2）推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等． 点评：（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大． （2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题

42、． （3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程． （4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去． （5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性． 习题3－3 1．将正奇数数列1，3，5，7，9，…进行如下分组：第一组含一个数

43、{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；……记第n组内各数之和为Sn，则Sn与n的关系为 (　 　) A．Sn＝n2 B．Sn＝n3 C．Sn＝2n＋1 D．Sn＝3n－1 2．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是 （

44、填序号）． 3．设满足且，， 求证：是周期函数． 图 4．如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N. （1）求证：CC1⊥MN； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EF·cos∠DFE． 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个 侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 5．已知数列的前n项和（n为正整数）． （1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）令，试比较与的大小，并予以证明． 第四节 不等式选讲

45、 不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在之间. 考试要求： ⑴理解绝对值及其几何意义. ①绝对值不等式的变式：. ②利用绝对值的几何意义求解几类不等式：①；②；③. ⑵了解不等式证明的方法：如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法； ⑶了解柯西不等式：若，则, 当且仅当时取等号. 题型一 含绝对值不等式 例 ⑴(2009山东卷第13题

46、)不等式的解集为 . ⑵对定义在实数集上的函数与,当时,不等式与 的解集分别为、,则与的关系是( Ｃ ). A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.与的关系无法确定 点拨：⑴此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集. ⑵仔细观察两不等式左边的结构,联想到绝对值不等式,便把问题简化. 解：⑴原不等式等价于不等式组①或②或③ 不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集 为.答案: . ⑵由知,使成立的的每个值,必可使成立,即

47、中的每个元素都在中,故,选C. 易错点：⑴含有多项绝对值的不等式的转化易出错；⑵不会运用分类讨论的数学思想,去掉绝对值符号. ⑵含绝对值不等式的性质不能正确转化. 变式与引申： (2010年黑龙江省哈尔滨三中等四校三模)已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型二 不等式的性质 例.⑴(2010年四川卷第12题)设，则的最小值是( ). A. B. C. D. ⑵设且,求的最大值. 点拨：⑴观察分母能发现其和为,则已知可配凑成,再利用基本不等式求解；⑵观察已

48、知条件,可将所求式子转化为,再利用基本不等式求解. 【答案】B 解：⑴＝ . 当且仅当,,时等号成立,如取,,满足条件. （2）∵,∴. 又,∴,即 易错点：忽视基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”条件. 变式与引申2：已知,且,求证:. 题型三 不等式的证明 例3 已知,且,求证：. 点拨：由,得,,.可使问题得证；也可运用柯西不等式证明. 解法1：∵ ,∴,,, ∴. 解法2：由柯西不等式,得,∴. 易错点：⑴易出现的错误；⑵忽视基本不等式中等号成立的条件. 变式与引申3： ⑴，求证：. 题型四 不等式与函数的综合应用 例已知函数.当

49、时. ⑴求证：； ⑵若,则当时,求证：. 点拨：本题中所给条件并不足以确定参数,的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用 、、来表示,,因为由已知条件有,,,可使问题获证. 解： (1) 证明：由，从而有 ,∵,∴ (2)由,,,. 从而 ,将以上三式代入，并整理得 , . 易错点：⑴不会用、来表示、、及其它们的和差关系式,从而解题思路受阻；⑵不能灵活运用绝对值,对问题进行转化；⑶运用放缩法时的放缩程度把握不住. 变式与引申4：设函数,,若当时,恒成立, 求证：⑴；⑵当时,. 本节主要考查：⑴不等式的性质(

50、基本不等式与柯西不等式)应用；⑵含绝对值不等式的解法； ⑶逆求参数取值范围；⑷数学归纳法证明与数列有关的不等式问题； ⑸函数方程思想、分类讨论思想、转化化归思想以及比较法、分析法、综合法、数学归纳法和放缩法等数学思想方法. 点评：⑴运用不等式性质解有关问题时,要随时对性质成立的条件保持高度警惕,避免错误发生； ⑵应用绝对值不等式解题时,要注意绝对值不等式中等号成立的条件；解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,主要思路有：①利用绝对值的几何意义；②零点分段讨论；③平方转化；④借助图象直观获解. ⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式选讲的重点考查内容之

51、一,解题中常用技巧是注意创设应用基本不等式的条件,合理地拆分项或配凑因式,即把已知式子转化成基本不等式和柯西不等式的模型.在应用求最值时,“一正、二定、三相等”三个条件不可缺一. ⑷证明不等式的常用方法： ①比较法,即作差比较法与作商比较法；②综合法—-由因导果；③分析法---执果索因；④数学归纳法,证明不等式时应把握两点：一是明确证题的关键是第二步的证明,即运用的归纳假设作为条件去推证时的命题成立.如果没有运用归纳假设条件,就直接证得结论那么这种证法就不是数学归纳法；二是注意明确时目标式的结构特征,以选择恰当的方法去证明,若直接证明目标式有困难,可借助其他辅助方法(放缩法

52、、分析法等)去证明.⑤放缩法,运用时应注意观察“放与缩”的方向和“放与缩”的量的大小,把握好放缩的“度”,熟记一些常用放缩技巧和放缩的结构形式. ⑸不等式作为工具,常与函数、导数、数列、解析几何结合在一起,在高考中以综合题形式出现,应给予关注. 习题3-4 1．（2009年重庆卷理第题）不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( ). A. B. C. D. 2．(2008年山东卷第16题）若不等式的解集中的整数有且仅有,则的取值范围 . 3.设,是大于的常数,若的最小值是,则的值等于______. 4.求证：. 5

53、.设数列的前项和为，已知(n∈N*). （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意n∈N*且n≥2,都有成立，求的最大值； （3）令，数列的前项和为，求证：当n∈N*且n≥2时，. 第五节 数列与不等式的综合应用 数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法.数列与不等式的交汇综合又是高考的重中之重. 近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是： （1）以客观题考查不等式的性质、解法与数

54、列、等差数列、等比数列的简单交汇． （2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大． 题型一 数列中的不等关系 例1（2008年四川卷理科第16题）设等差数列的前项和为，，，则的最大值是 . 【点拨】数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题

55、也可用不等式的方法求解． 【解法1】由题意，，即，，． 建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值． 【解法2】前面同解法1 设，由解得，∴ 由不等式的性质得： ，即 ，的最大值是4． 【解法3】前面同解法1， ∴ ∴，即 ∴，的最大值是4． 【易错点】一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点的坐标． 变式与引申1： ⑴等比数列的公比，第17项的平方等于第24项，求使 恒成立的正整数的取值范围． ⑵设若是与的等比中项，则的最小值为 （

56、 ） A．8 B．4 C．2 D．1 题型二 数列、函数与不等式 例2 已知函数，数列满足，且． （1）设，证明：； （2）设（1）中的数列的前项和为，证明． 【点拨】数列参与的不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法，利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩. 【解】（1） 由条件知 故 （2）由（1）的过程可知 ， . 【易错点】不易找出放缩的方法，从而

57、无法证明．放缩法中通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的． 变式与引申2： 已知数列中，. （1）求； （2）设数列满足：，求证当时，有. 题型三 数列与不等式的探索性问题 例3（2008年湖北卷理科第21题）已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数. （1）对任意实数，证明数列不是等比数列； （2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （3）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【点拨】数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成

58、立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在. 【解】（1）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3, 即 矛盾.所以｛an｝不是等比数列. (2)因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）= 又,所以 当，,此时不是等比数列； 当时，,由上可知bn≠0，∴(n∈N+). 故当时，数列是以为首项，为

59、公比的等比数列. (3)由（2）知，当,不满足题目要求. ∴，故知，于是可得 要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a

60、 （2）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由； （3）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有. 题型三 数列、解几与不等式 例4（2010年安徽卷文科第21题）设C1， C2， …Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n ，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn }为递增数列. (1)证明：{rn }为等比数列； (2)设r1=1，求数列的前项和. 【点拨】本题明是对等比数列的概念及数列求和的方法的考查，实是对数形结合及解析法的深层次的考查．

61、要求学生把相关知识方法融合，分析题意，找出解决问题的路径，进行正确的推理与运算，简洁明了的表述过程与结果． 【解】（1）将直线的倾斜角记为，则有 设的圆心为，则由题意得知，得，同理可得： 从而，又，∴∴{rn }为公比为3的等比数列 （2）由于，∴，从而，记，则有 ∴ 两式相减得： ∴ 【易错点】错位相减法及找出及之间的关系不易建立，要充分利用数形结合解决问题． 答图 变式与引申4： 如图，已知曲线．从C上的点作x轴的垂线，交于点，再从点作y轴的垂线，交C于点设，． （1）求点Q1、Q2的坐标； （2）求数列的通项公式； （3）记数列的前n项和为，求证：.

62、 本节主要考查：数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能. 点评 数列与不等式作为高中数学代数的两大核心内容，其在高考试卷中处于的核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，

63、分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求． （1）试题主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能． （2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确

64、定最值． （3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：（1）猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；（2）判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾． （4） 数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不等式有：（1）利用迭代法构建关系进行放缩；（2）利用累加法构建关系进行放缩；（3）利用累乘法构建关系进行放缩；

65、 （5）利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列． 习题3－5 1． (湖北省武汉市六校2010届高三第一次联考)数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列，设数列的前项和为 ，且，则对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，小于的最小正整数为 （ ） A．1   　B．2 　 C．3 　　 D．4 2．已知成等

66、差数列，成等比数列，则的最小值是________. 3．(2009年陕西卷理科第22题)已知数列满足， . （1）猜想数列的单调性，并证明你的结论； （2）证明：．4．已知为锐角，且，函数，数列的首项. （1）求函数的表达式； （2）求证：； （3）求证：. 5．已知，数列满足，数列满足, . 求证：（1）； （2）； （3）若，则当时，有. 第三讲 测试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（ ） A．或5 B．或5 C． D． 2．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是 （ ） A．假设、、都是偶数 　　 B．假设、、都不是偶数 C．假设、、中至多有一个是偶数 D．假设 、、中至多有两个是偶数