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1、“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”,1、割圆术, 刘徽,一、概念的引入,第二节 数列的极限,,正六边形的面积,正十二边形的面积,形的面积,,...... ......,（圆的面积）,正,2、截丈问题,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,,...... ......,二、数列的定义,xn 称为通项,定义,按自然数,.,,,3,,,2,,,1,编号依次排列的一列数,(1),称为,无穷数列,,简称,数列.,其中的每个数称为数列,的项，,（一般项）.,数列,(1),记为,例如,注：,1。数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在 数轴上依次取,,,,,,,,,,
2、,,,2。数列是整标函数,,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面的图象可知:,=,,,数值? 如果是,如何确定?,,,,,,,,,定义,如果对于任意给定的正数,e,（不论它多么小），,总存在正数,N,,,使得对于,时的一切,,,不等式,都成立,,那末就称常数,a,是数列,的极限，,或者称数列,收敛于,a,,,记为,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,,注,1。,的无限(任意)接近,刻划接近阶段,其中,0,,,,,0,,N,将上述定义用数学语言可表述如下：,,,,,,,,,,,,,几何解释:,
3、,,,,,,,,,例1,证,所以,,例2,证,所以,,说明: 常数列的极限等于同一常数.,,,,,例3,证,,,,,例4,证,在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重 要的是要指出对于任意给定的正数，正整数N 确实存在，没有必要非去求出最小的N。,,注：,数列二 1/2, 2/3, 3/4, , n/(n+1),,四、数列极限的性质,1、有界性,数列一 1, 2, 3,, n, ,无界,数列三 1, -1, 1, -1,,有界,有界,定义: 对数列,, 若存在正数,, 使得一切自然数,,,2、唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,,故收敛数列极限唯一.,定理 收敛的数列必
4、定有界.,证,由定义,,注：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例：,证,由定义,,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.这就,3、子数列的收敛性,注：,例如，,,,,k,项，,中却是第,在原数列,而,项，,是第,中，一般项,在子数列, k,xn,,显然，,定理 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,反之，即使数列的两个子序列都收敛，但不收敛 于同一极限，原数列仍是发散的。,X2k-1= 1,1,1,和X2k= -1,-1,-1,,注：数列极限的 - N 定义，在理论上的重要性是显 而易见的，许多定理的证明都要用到。,都是Xn=1,-1,1,-1,1,-1,的子序列，它们分别收敛于 1和-1，但原数列Xn是发散的。,例如,
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