【步步高】2014届高三数学一轮 第七章 不等式章末检测 理 （含解析）北师大版

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1、 第七章　章末检测 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3] 2．(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若|a|>b，则a2>b2 C．若a>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2 3．若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(　　) A．18 B．6

2、 C．2 D．2 4．不等式y≥|x|表示的平面区域是(　　) 5．(2011·北京)如果xn)都成立的是(　　) A．|a

3、n－am|< B．|an－am|> C．|an－am|< D．|an－am|> 9．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则(　　) A.＝G B.≤G C.>G D.

4、 B．(－∞，－2) C．[－2,2] D．[0，＋∞) 12．若实数x、y满足＋＝1，则x2＋2y2有(　　) A．最大值3＋2 B．最小值3＋2 C．最大值6 D．最小值6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则实数a、b的值分别为________． 14．(2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________． 15．(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围

5、为____________，a＋b的取值范围是____________． 16．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)解关于x的不等式≤(其中a>0且a≠1)． 18．(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x，y

6、均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)； (2)求f(x)； (3)当0ax－5恒成立，求a的取值范围． 19．(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 20．(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可

7、能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 21．(12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥. 证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2， f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a. 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥. (1)若a1，a2，…，an∈R，a

8、1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述问题的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的问题加以证明． 22．(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2 (log2an＋1)(n∈N*)， 证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立． 第七章　章末检测 1．A　[∵x2＋x－6<0，∴－3

9、又∵N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．] 2．D 3．B　[由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3a＋3b的最小值是6.] 4．A 5．D　[不等式转化为⇒1

10、·G＝l1·b.② ①×②，得G2＝ab，∴G＝.∵l1≠l2， 故a≠b，>＝G.] 10．D　[∵M＝(－1)(－1)(－1) ＝··≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． ∴M≥8.] 11．A　[当x＝0时，对任意实数a，不等式都成立； 当x≠0时，a≥－＝－＝f(x)， 问题等价于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2. 综上可知，a的取值范围是[－2，＋∞)．] 12．B　[x2＋2y2＝(x2＋2y2)·1＝(x2＋2y2)·＝1＋＋＋2≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝时等号成立．] 13．－4,1 解析　由题意知，－1、4为方

11、程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴a＋1＝－3，ab＝－4.∴a＝－4，b＝1. 14．1 解析　令b＝2x－y，则y＝2x－b， 如图所示，作斜率为2的平行线y＝2x－b， 当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1－1＝1. 15．[9，＋∞)　[6，＋∞) 解析　∵a＋b≥2，∴ab－3≥2. 解得，≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9， a＋b＝ab－3≥6. 16. 解析　依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项

12、依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n. 所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. 17．解　①当a>1时，有x－＋1≤－1， ∴x－＋2≤0，∴≤0. ∴≤0，∴x≤－3或01时，x∈(－∞，－3]∪(0,1]； 当0

13、(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x， ∴f(x)＝x2＋x－2.(6分) (3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax

14、数列．(6分) 方法二　∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1， ∴SnSn＋2－S＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1 ＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0. 故SnSn＋2≠S， ∴数列{Sn}不是等比数列．(6分) (2)解　当q＝1时，{Sn}是等差数列． 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3. ∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)(10分) 由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2， ∴q＝q2，∵q≠1，∴q＝0. 这与q≠0矛盾，故当q≠1时，{Sn}不是等差

15、数列． (12分) 20．解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知 目标函数z＝x＋0.5y.(5分) 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域． 作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．(9分) 解方程组， 得x＝4，y＝6，此时zmax＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值． 答　投资人用4万元投资甲项目、6

16、万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．(12分) 21．(1)解　若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1. 求证：a＋a＋…＋a≥.(4分) (2)证明　构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a.(8分) 因为对一切x∈R，都有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0， 从而证得a＋a＋…＋a≥.(12分) 22．(1)解　由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r. 所以an＝Sn－Sn

17、－1＝bn－1(b－1)，(3分) 由于b>0且b≠1， 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列． 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，所以r＝－1.(5分) (2)证明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)， 所证不等式为··…·>. (6分) ①当n＝1时，左式＝，右式＝. 左式>右式，所以结论成立，(7分) ②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时， ··…·>· ＝要证当n＝k＋1时结论成立， 只需证≥， 即证≥， 由均值不等式＝≥成立， 所以，当n＝k＋1时，结论成立．(11分) 由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．(12分) 8