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1、,,,6.3 用正交变换化二次型为标准形,,,,由,一、问题的引入,利用拉格朗日配方法可得：,,,,,(1) 令,,(2) 令,或,或,引例,考察方程 所表示的曲线。,一、问题的引入,,,,,(3) 令,即,其中,,引例,考察方程 所表示的曲线。,一、问题的引入,,,,二、正交矩阵,则称 A 为正交矩阵。,此时显然有,则有,故 A 为正交矩阵。,,,,二、正交矩阵,性质,(1) 若 A 为正交矩阵，则 也为正交矩阵；,(2) 若 A 为正交矩阵，则 或,(3) 若 A, B 为正交矩阵，则 A B 也为正交矩阵；,(4) 方阵 A 为正交矩阵的充要条件是
2、 A 的列(行)向量,构成标准正交向量组。,,,,将矩阵 A 按列分块,则,,,,(2) B 不是正交矩阵。,(将 B 的每一列单位化即得到正交矩阵),,,,即 A + I 不可逆。,证,从而有,上式两端取行列式并由 得,,,,,三、正交变换,性质,(1) 线性变换 为正交变换；,(2) 在线性变换 下，向量的内积不变，即,当 时，有,(3) 线性变换 把 中的标准正交基变成标准,曲线 (曲面) 的形状、大小保持不变。,正交基。,,,,(1) (2)：,(2) (3)：,经线性变换 后得向量组,即 C 为正交阵，,若 为正交变换,,若在
3、线性变换 下，向量的内积不变,,则有,,,,(3) (1)：,由于 和 都是正交阵，,若 把 中的标准正交基变成标准正交基，,经线性变换 后得向量组,从而 为正交变换。,,,,目标,求正交矩阵 P，即,使得,或,要求,(1) 矩阵 P 的列必须为 A 的特征向量；,(2) 矩阵 P 的列必须为正交向量组；,三、正交变换,,,,四、实对称矩阵与二次型的一些性质,1. 实对称矩阵的性质,(1) A 的特征值都是实数；,(2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；,,,,证明,(1) 设 l 是 A 的特征值,,又由 有,故,则存在 使得,
4、对上式两端取共轭转置，并利用 得,其中 是 X 的共轭。,从而有,即得,即实对称矩阵 A 的特征值都是实数。,,,,证明,(2) 设 是 A 的两个不同的特征值，,分别是,对应于 的特征向量，,则,因此,由 有,即 与 正交。,,,,四、实对称矩阵与二次型的一些性质,1. 实对称矩阵的性质,性质1,(1) A 的特征值都是实数；,设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有,(2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；,性质2,设 A 为 n 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵 C，使得,,,,假设性质对于 阶成立，,需证对于 n 阶也成立 。,对于 1 阶实对称矩阵，性质
5、显然成立。,则 P 为正交阵，且,(1) 设 A 的某特征值 对应的单位特征向量为,将 扩充为 中的标准正交向量组,,,,其中,(2) 对于 有,证明,,,,根据归纳法假设，存在 阶正交阵 使得,则 Q 为正交阵，且,证明,,,,则 C 为正交阵，且,令,证明,,,,正交变换,使得,四、实对称矩阵与二次型的一些性质,1. 实对称矩阵的性质,2. 主轴定理,总存在,,,,(2) 求出相应的一组线性无关的特征向量,(3) 将 标准正交化注得到,步骤,(4) 令,(1) 求出二次型对应的矩阵A 的特征值,注,由于实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的
6、特征向量必,正交。,故标准正交化只需在每个特征值所对应的特征,向量之间进行。,五、用正交变换化二次型为标准形的方法,,,,得特征值,,,,求解得基础解系为,单位化得单位特征向量,,,,求解得基础解系为,这两个向量已正交，只需单位化即得：,,,,(4) 于是可得正交矩阵,使得,,,,由,可得 A 的特征值为,,,,(2) 当 时，,得基础解系,直接单位化得,求解方程组,因 已正交，,,,,得基础解系,单位化得,(3) 当 时，,求解方程组,,,,(4) 于是可得正交矩阵,,,,由,可得 A 的特征值为,,,,(2) 当 时，,得基础解系,对其进行标准正交化得,求解方程组
7、,,,,得基础解系,单位化得,(3) 当 时，,求解方程组,,,,(4) 于是可得正交矩阵,,,,六、在二次曲线中的应用,当 时，,求得单位化的特征向量,当 时，,求得单位化的特征向量,,,,则有,(2) 令,即,原方程 化为,即,,,,由此即可画出,(3) 如何作图？,原方程所表示,的二次曲线为,附： 即为曲线的主轴方向；进一步可推广到高维情形。,,,,1. 实对称矩阵的性质,本节小结,(1) 特征值为实数；,(2) 属于不同特征值的特征向量必正交；,(3) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的,(4) 必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵。且对角矩阵
8、,个数相等；,的对角线上的元素即为其特征值；而正交矩阵的列,即为其特征向量。,,,,1. 实对称矩阵的性质,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤,(1) 求特征值；,(2) 求线性无关的特征向量；,(3) 将特征向量正交化并单位化；,(4) 由所求得的特征向量构成正交矩阵；,由特征值构成对角阵。,本节小结,,,,1. 实对称矩阵的性质,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤,用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何特性不变,3. 评述,的优点。这种方法无论在理论上还是在实际中都是化二次型,为标准型的重要方法。但它计算较为复杂，而且只能适用于,实二次型，使用时有一定的局限性。,如果化二次型为标准型时，所作变换矩阵不只限于正交,矩阵，也可以是一般的可逆矩阵，则可采用配方法或者行列,变换法来实现。,本节小结,
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