专练06 空间线面的垂直-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末考点必杀题(人教A版必修第二册)（原卷版）附答案

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1、 专练06 空间线面的垂直 一、基础强化 1. 设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是 (　　) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 2. (2019·山东潍坊月考)已知平面α和直线a,b,若a∥α,则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中,AB＝,AD＝,BD＝,AA1＝1,则异面直线A1B与B1D1所成角的大小为(

2、　　) A． B． C． D． 4. 如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是(　　) A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PAB 5.在直三棱柱ABC ­A1B1C1中,∠BAC＝,AB＝AC＝2AA1,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 6. 在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心.  7. 如图,已知圆柱的轴截面ABB

3、1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 8. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条,其中与体对角线AC1垂直的有　　　　条.  9.如图,点M,N分别是正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点,则MN和CD1所成角的大小是________. 10.已知长方体的外接球体积为,且,则与平面所成的角为 。 11. 如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA＝PD,E,F分别为

4、AD,PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； 12.如图,在三棱锥P ­ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点．已知∠BAC＝,AB＝2,AC＝2,PA＝2. 求：(1)三棱锥P­ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 二、能力提升 1. 已知为异面直线,平面平面.直线满足,则（ ） A.且 B.且 C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于 2.(2019·福建福州检测题)直三棱柱ABC ­A1B1C1中,若∠BAC＝90°,AB＝AC＝AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)

5、 A．30° B．45° C．60° D．90° 3. △ABC中,∠ACB＝90°,AB＝8,∠ABC＝60°,PC⊥平面ABC,PC＝4,M是AB上的一个动点,则PM的最小值为________. 4. (2019·河南洛阳月考检测试题)如图所示,在四棱锥P ­ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可) 5. 如图所示,四边形ABCD是矩形, ABE, ,F为CE上的点,且平面ACE,AC与BD交于点G

6、。 （1）求证：平面BCE （2）求证：AE//平面BFD （3）求三棱锥的体积 专练06 空间线面的垂直 一、基础强化 1. 设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是 (　　) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 【参考答案】B　 【解析】对于A选项,设α∩β=a,若l∥a,且l⊄α,l⊄β,则l∥α,l∥β,此时α与β相交,即A选项错误;对于B选项,若l∥α,l⊥β,则存在直线a⊂α,使得l∥a,此时a⊥β,由平面与平面垂直的判定定理得

7、α⊥β,即B选项正确;对于C选项,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,即C选项错误;对于D选项,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系不确定,即D选项错误.故选B. 2. (2019·山东潍坊月考)已知平面α和直线a,b,若a∥α,则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【参考答案】B　 【解析】根据空间中直线与平面之间的位置关系,由a∥α,b⊥α,可得b⊥a,反之不成立,可能b与α相交或平行．∴“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选B. 3. 已知在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中,AB＝

8、,AD＝,BD＝,AA1＝1,则异面直线A1B与B1D1所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 【参考答案】C　 【解析】如图所示： 在直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中,AB＝,AD＝,AA1＝1.所以D1C＝,B1C＝.且易知D1C∥A1B,所以∠B1D1C(或其补角)即为所求．在△B1D1C中,D1C＝,B1C＝,BD＝,所以∠D1CB1＝,∠B1D1C＝.故选C. 4. 如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是(　　) A．平面ABCD B．平面PBC C．平

9、面PAD D．平面PAB 【参考答案】C 【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD. 故选C. 5.在直三棱柱ABC ­A1B1C1中,∠BAC＝,AB＝AC＝2AA1,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 【参考答案】A　 【解析】将三棱柱补为长方体ABDC­A1B1D1C1,异面直线AC1与A1B所成的角即为∠AC1D, 设AA1＝1,则AC＝CD＝2,AC1＝DC1＝,AD＝2. 由题意知cos ∠AC1D＝＝.故选A. 6. 在三棱

10、锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心.  【参考答案】垂 【解析】如图∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P,∴AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,∴AB⊥CG,即CG为AB边上的高.同理可证BD,AH分别为AC边,BC边上的高,则O为△ABC的垂心. 7. 如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_______

11、_. 【参考答案】　 【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD, 因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D＝AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为. 8. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱和六个面的对角线共24条,其中与体对角线AC1垂直的有　　　　条.  【参考答案】6 【解析】如图,连接AC,则BD⊥AC. 在正

12、方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵C1C⊥平面BCD,BD⊂平面BCD, ∴C1C⊥BD, 又AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1, ∵AC1⊂平面ACC1,∴AC1⊥BD. 同理A1B,A1D,B1D1,CD1,B1C都与AC1垂直. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱, 故与体对角线AC1垂直的有6条. 9.如图,点M,N分别是正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点,则MN和CD1所成角的大小是________. 【参考答案】60° 【解析】因为MN∥BC1,CD1∥A1B,所以∠A1BC1就是MN和CD1所成角,

13、而△A1BC1是等边三角形,所以∠A1BC1＝60°. 10.已知长方体的外接球体积为,且,则与平面所成的角为 。 【参考答案】 【解析】设外接球的半径为R,则,解得.则长方体的体对角线. 又由得,解得. 因为平面,平面,即, 所以直线与平面所成的角为,,则. 11. 如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA＝PD,E,F分别为AD,PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； 【参考答案】证明　(1)因为PA＝PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD. 因为底面

14、ABCD为矩形, 所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形, 所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD, 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD, 所以PD⊥平面PAB. 所以平面PAB⊥平面PCD. 12.如图,在三棱锥P ­ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点．已知∠BAC＝,AB＝2,AC＝2,PA＝2. 求：(1)三棱锥P­ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值． 【解析】(1)S△ABC＝×2×2＝2,三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如图,取PB

15、的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角． 在△ADE中,DE＝2,AE＝,AD＝2, cos∠ADE＝＝. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 二、能力提升 1. 已知为异面直线,平面平面.直线满足,则（ ） A.且 B.且 C.与相交,且交线垂直于 D.与相交,且交线平行于 【参考答案】D 【解析】由于m,n为异面直线,平面平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足,,则交线平行于l. 2.(2019·福建福州检测题)直三棱柱ABC ­A1B1C1中,若∠BAC＝90°

16、,AB＝AC＝AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【参考答案】C　 【解析】如图,延长CA到点D,使得AD＝AC,连接DA1,BD, 则四边形ADA1C1为平行四边形,所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB,所以△A1DB为等边三角形,所以∠DA1B＝60°. 3. △ABC中,∠ACB＝90°,AB＝8,∠ABC＝60°,PC⊥平面ABC,PC＝4,M是AB上的一个动点,则PM的最小值为________. 【参考答

17、案】2　 【解析】作CH⊥AB于H,连接PH. 因为PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,PH为PM的最小值,等于2. 4. (2019·河南洛阳月考检测试题)如图所示,在四棱锥P ­ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可) 【参考答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)　 【解析】∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC＝A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD

18、,∴平面MBD⊥平面PCD. 5. 如图所示,四边形ABCD是矩形, ABE, ,F为CE上的点,且平面ACE,AC与BD交于点G。 （1）求证：平面BCE （2）求证：AE//平面BFD （3）求三棱锥的体积 【解析】（1）∵平面ABE,AD//BC ∴平面 ∵平面 ∴ 又∵平面 ∴ 又∵,平面 ∴平面 （2）依题意可知：G是AC中点 由平面ACE知,而 ∴F是EC中点 ∴在中,FG//AE 又∵平面,平面 ∴AE//平面 （3）∵AE//平面BFD ∴AE//FG,而平面BCE, ∴平面BCE,即平面BCF ∵G是AC中点,F是CE中点 ∴FG//AE且 又知在中,, ∴ ∴ 科教兴国 9