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1、
大题冲关集训(六)
1.(2014青岛市一模)2013年6月“神舟”发射成功.这次发射过程共有四个值得关注的环节,即发射、实验、授课、返回.据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、、、,并且各个环节的直播收看互不影响.
(1)现有该班甲、乙、丙3名同学,求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;
(2)若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望.
解:(1)设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A,
则P(A)=2×1-+3=.
(2)由条件可知X可能取值为0,1,2,3,4.
2、
P(X=0)=1-×1-×1-×1-=.
P(X=1)=×1-×1-×1-+1-××1-×1-+1-×1-××1-+1-×1-×1-×=.
P(X=2)=××1-×1-+×1-××1-+×1-×1-×+1-×××1-+1-××1-×+1-×1-××=.
P(X=3)=1-×××+×1-××+××1-×+×××1-=.
P(X=4)=×××=.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
2.(2014昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:
日最高气
3、温
t(单位:℃)
t≤22
2232
天数
6
12
Y
Z
由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.
某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:
日最高气温
t(单位:℃)
t≤22
2232
日销售额X
(单位:千元)
2
5
6
8
(1)求Y,Z的值;
(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差;
(3)在日最高气温不高
4、于32 ℃时,求日销售额不低于5千元的概率.
解:(1)由已知得,P(t≤32)=0.9,
∴P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1,
∴Z=30×0.1=3,
Y=30-(6+12+3)=9.
(2)P(t≤22)==0.2,
P(2232)==0.1,
∴六月份西瓜日销售额X的分布列为
X
2
5
6
8
P
0.2
0.4
0.3
0.1
∴E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,
D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×
5、0.3+(8-5)2×0.1=3.
(3)∵P(t≤32)=0.9,
P(22
6、影响.
(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率;
(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
解:(1)记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C,则事件“得分不低于8分”表示为ABC+AC.
∵ABC与AC为互斥事件,且A、B、C为彼此独立.
∴P(ABC+AC)=P(ABC)+P(AC)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P()P(C)
=××+××
=.
(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)=P( )=××=.
P(X=1)=P(A +B+ C)=××+××
7、+××=,
P(X=2)=P(AB+BC+AC)=××+××+××=,
P(X=3)=P(ABC)=××=,
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
4.(2014揭阳市二模)下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数(AQI)和“PM 2.5”(直径小于等于2.5微米的颗粒物)24小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良.
日期
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
空气
质量
指数
(AQI)
179
4
8、0
98
124
29
133
241
424
95
89
“PM
2.5”
24小
时平
均浓度
(μg/m3)
135
5
80
94
80
100
190
387
70
66
(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率;
(2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析,设事件M为“抽取的两个日期中,当天′PM 2.5′的24小时平均浓度不超过75 μg/m3”,求事件M发生的概率;
(3)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取3天,记为“PM 2.5”24小时平均浓
9、度不超过75 μg/m3的天数,求ξ的分布列和数学期望.
解:(1)由题表数据知,10天中空气质量指数(AQI)小于100的日期有A2、A3、A5、A9、A10共5天,故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P==.
(2)由(1)知10天中表示空气质量为优良的天数为5,当天“PM 2.5”的24小时平均浓度不超过75 μg/m3有编号为A2、A9、A10,共3天,故事件M发生的概率P(M)==.
(3)由(1)知,ξ的可能取值为1,2,3.
且P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
ξ的数学期望E(ξ
10、)=1×+2×+3×=.
5.(2014济南市一模)一个袋中装有形状大小完全相同的球9个,其中红球3个,白球6个,每次随机取1个,直到取出3次红球即停止.
(1)从袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1;
(2)从袋中有放回地取球.
①求恰好取5次停止的概率P2;
②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
解:(1)P1==.
(2)①P2=×2×2×=.
②随机变量ξ的取值为0,1,2,3,
由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=pk(1-p)n-k,
得P(ξ=0)=1-5=;
P(ξ=1)=××1-4=;
P(ξ=2)=×2
11、×1-3=;
P(ξ=3)=1-=.
随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望是
E(ξ)=×0+×1+×2+×3=.
6.(2014高考新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程
12、,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
=,=-
解:(1)由所给数据计算得
=(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti-)(yi-)
=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
===0.5,
=-=4.3-0.5×4=2.3,
所求回归方程为=0.5t+2.3.
(2)由(1)知,=0.5>0.故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得
=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
8
【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 大题冲关集训（六）理
