固体物理复习资料题

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1、1简述Drude模型的基本思想 把金属中的电子看做气体，金属由可以自由运动的电子和固定不动的离子实两部分组 成，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。将自由电子看做带电的小硬球，它 们的运动遵循牛顿第二定律。应用独立自由电子气假设：在忽略电子-电子和电子-离 子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。 2简述Drude模型的三个基本假设并解释 独立电子近似：电子与电子无相互作用 自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用 弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/t 3在Drude模型下， 碰撞前后速度无关联 碰撞后获得的速度方

2、向随机 速率与碰撞后的温度相适应 4 Drude模型中对金属导电率的表达式为： nq 2u o =—— m 5在自由电子气模型中，由能量均分定理知在特定温度T下电子的动能为： 1.5K T B 6在Drude模型当中，按照理想气体理论，自由电子气的密度为n・cm-3・比Cv= 1.5 nK B 7 1853年维德曼和弗兰兹在研究金属性质时发现一个定律，即在给定温度下金属的 导热率和电导率的比值为常数。 8简述Drude模型的不足之处？ 电子对比热的贡献与温度无关，被严重高估（102） 对电子速度 v 2低估（102 ） 误认磁化率与温度成反比，而实际无关 什么决

3、定传到电子的数目？价电子？ 导体？绝缘体？半导体？ 他之所以解释维德曼-弗兰兹成功，是因为对比热的高估正好抵消对速度的低估 9对于自由电子气体，系统的化学势随温度的增大而 降低 。 10请给出Fermi-Dirac统计分布中，温度T下电子的能量分布函数，并进一步解释 电子能量分布的特点。 fFD( E )= e(E-ef )/kbt + 1 在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。式中EF是电子的化学势，是温度的函数。 当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能级。 11比较分析经典Maxwel-Boltzman统计分布与Fermi-Dirac统计分布对解释自由 电子气

4、能量分布的不同之处. 基态，零度时，电子都处于费米能级以下 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？ 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的某些能级空了出来。 12在自由电子气模型当中若电子的能量为E,则波矢的大小为： K= .，ImE 耳2 13若金属的体积为V，那么在k空间中，k的态密度为： 丄-V AK 8兀 3 14费米半径KF与电子密度n的关系为： Kf= (3n 兀 2)1/3 15若费米半径为，其中n为电子密度，那么费米能级： E = (3兀 2 n )2/3 2m 16当T=0K时，系统的每个电子的平均能量为： -E 5 F 17在晶体中，能量

5、为E的电子态单位体积地能态密度： g (E)二丄 Cm 3E》 兀2叩 18若能量为E的电子态，单位体积的能态密度g (E)-- 兀2叩 基态T=0K时，电子的平均能量为：3 E -5 F 19体积为V的晶体内含有N个自由电子，在基态T=0K时，压强P二2NEF- 5V 体弹性模量为B= - V竺 QV 20在索墨菲模型当中，自由电子气的密度为n・cm-3，比热 兀2 T Cv= nk —— 2 B T F 21结合Fermi-Dirac统计分布和Pauli不相容原理解释为什么只有费米球表面附近 的允许电子被激发？ 只有费米球表面附近有空的K点，电子部分填充，

6、在外场力作用下能够参与导电，费 米球内较低布里渊区的K点被填充满，满带上的电子不参与导电 22什么是费米球漂移？它如何影响金属中电导？ 指在外电场的作用下，电子动量的改变表现为K空间相应状态点的移动，产生了费米 球的刚性移动，即为费米球漂移。 由于碰撞存在，使漂移的费米球在电场中保持一种稳态，使得只有费米球表面的电子 才对金属的导电有贡献 23什么是郎道能级？ 在磁场中原来在x-y平面连续的能级现在是量子化的，这些分立的能级成为郎道能级 24什么么是基矢和格矢? 基失：构成格矢的不共线的基本平移矢量 格矢：表示晶格中格点的坐标的平移矢量R= n a + n a + n a （ n

7、 = 0,±l,±2 ） 11 2 2 3 3 i 25什么是原胞和晶胞，请区别它们？ 晶胞：反映晶体对称性的最小单位 原胞：反映晶体重复性的最小单位 26在晶体的密堆模型当中，有两种密堆形式，ABABA・・・・称为」角^密堆， ABCABCA・・・・・称为立方密堆。 27在面心立方结构中，硬球的半径rma=二 ，其中a为晶胞边长，那么按密堆 max 4 模型，堆积比为（空或0・74） 6 28在晶体中，某原子的配位数z是指其最邻近原子的个数，一般来说，配位数为12 的晶体多半是金属或惰性气体分子晶体，当配位数为4时常为共价晶体。 29在以a，b，c为基矢的格子中，某原子A

8、的位■坐标为（3a,1b,5c），另外一原子 B的坐标为（5a,3b,7c ），那么由AB两个原子连线所在的晶向为卫丄丄匚。 30在以a，b，c为基矢的格子中，某晶面在三个基轴上所截得的截距分别为— 6a,3b,2c，那么这个晶面所在晶面族的晶面指数为卫上址。 31立方晶格（111）面与（100 ）面的交线的晶向为［0 1 1］。 （111）面与（110）面的交线的晶向为卫10L。 32按结构划分，晶体可分为丄大晶系,共14种布喇菲格子。 33按结构划分，晶体可分为7大晶系，分别为三斜，单斜，正交，正方，三角，六角， 立方。 34面心立方原胞的体积为4 a3 ；其第一布里渊区的

9、体积为 32兀3 a3 35体心立方原胞的体积为2 a3 ；其第一布里渊区的体积为 16^ 3 a3 36金刚石晶体是复式格子，由两个壘心立方结构子晶格沿空间对角线位移1/4的 长度套构而成，晶胞中有 8 碳原子。 37证明：体心立方的倒格子是面心立方 将体心立方的正格子原胞基矢 —> a —— a _ (— i + / + k 丿 1 2 带入倒格矢公式 1 a 1 1 1 a3 _-(i+/—k) a xa 1 a x a b _ 2 兀 i 2— 3 a - (a x a ) 2 3 1 2 3 b _ 2k — 1 a - (

10、a x a ) 1 2 3 得到其倒格子基矢为 1 a xa b _ 2 兀 3 i 2 a - (a x a ) 1 —1 _ 時（1 + — 带入倒格矢公式 1 a 1 1 a2_ 2( 1 + j) 13 _ 2( 1+1) 1 _ 271 （j + k）1 1 a 2 a 因此体心立方的倒格子是面心立方 a xa 2 b _ 2 兀 2 3— 1 a - (a x a ) 1 2 3 得到其倒格子基矢为 b _ 2k a —3 a - (a x a ) 123 1 a xa b _ 2 兀 i s— 3 a - (a x

11、a ) 123 —2 兀（—了 + j + k） b 1 _ 因此面心立方的倒格子是体心立方 39 证明：倒格矢 G=h1b1+h2b2+h3b3 垂直于米勒指»»（ h1h2h3）的晶面系。 XC NilOl （M7 „ 7? 因为 C—A _ (OA— OC _ 孔—a3 h h 13 利用1 i1. _ 2k5可以证明 j ij C1B _ O1B— O1C _ a hh h1h2h3 1 1 1 1 a1 a1 CA _ (hb + hb + hb )(—1 一 一3)_ 0 1 1 2 2 3 3 八 h h 13 38证明：面心立方的倒格子是

12、体心立方 将面心立方的倒格子原胞基矢 h1h2h3 CB = (h b + h b + h b )( 2 一 3)= 0 1 1 2 2 3 3 h h 23 所以倒格矢G = hlb1+h2b2+h3b3垂直于米勒指数为（hlh2h3 ）的晶面系 39如果基矢a,b,c构成简单正交系，则米勒指数为（hkl）的晶面族面间距为 d 画图 题，做下列点阵的WS原胞。 a x a —2 3 a xa T 1 方=2兀 2 3 方=2兀 1 a - (a x a ) 2 a - (a x a ) 1 2 3 1 2 3 得丁 2兀〜 尹 2兀— 尹 2兀亍 得b 1

13、 = i，b 2 = ］，b 3 = k 1 a 2 b 3 c a xa 1 2— a ・(a x a ) 123 因此G = h方i + k方2 + 1方3 =h王了 + k兰了 + 1叫 a b c 并说明面指数简单的晶面，其面上原子密度较大，容易解理。同时d越大，说明面间 原子作用力越弱，因此沿晶面指数简单的晶面解理就容易想。 40 41如正格子（h1h2h3 ）晶面系面间距为d，证明倒格矢为G=h1b1+h2b2+h3b3的长 度为2n/d・、 设简单正交系a丄b丄c将a = at，a? = bj， a3 = ck带入倒格矢公式 (k ¥ +

14、— I b丿 =2 / d 2 ［k) 2 ［八2 G = 2兀 | _ + + — 吐a丿 、b丿 1c丿 所以 42—维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。如果晶格常数为a，电子的波函数 sinx 为:'二 V H求电子在这些态中的波矢。 根据布洛赫定理可知屮fr + R V n丿 对于一维情况屮C + a ) = eika屮C) 电子波函数 因此 屮(x )= k .x ( ) . x + a sm_兀，屮 匕+ a丿=sm 兀 a k a x =-sin 兀 a 屮(x + a)= eika屮(

15、x)= eika sin兰兀=-sin 兰兀 k a a 得 eika = -1 电子的波矢k = a 43解释什么是布里渊区，区分简约布里渊区和高布里渊区? 以某一倒格点为原点，做所有倒格矢的垂直平分面，则倒格子空间被这些平面分成许 多包围原子的多面体区域称为布里渊区。 围绕原点的布里渊区称为第一布里渊区，也叫简约布里渊区。 高于第一布里渊区的称为高布里渊区 44体积为V的晶包含有N个原胞，在第一布里渊区允许的k 的取ffl点一共有 N 个 45解释为什么在布里渊区边界处准连续的E(k)出现能隙，而不同布里渊区的能带之间 却出现交叠现象或者出现带隙？如果出现带隙，那么

16、带隙与能隙之间又是什么样的关 系？ 因为在布里渊区边界处一个 K 点对应两个值，一个属于高一阶布里渊区，一个属于低 一阶布里渊区，因此形成了能隙。 当高一阶布里渊区的能量最低点小于低一阶布里渊区的能量最高点时出现交叠现象。 当高一阶布里渊区的能量最低点大于低一阶布里渊区的能量最高点时出现带隙。 在较低布里渊区边界处能隙存在，但此时能带交叠使得带隙不存在；在较高布里渊区 边界处，能隙存在，带隙也存在。能隙是产生带隙的前提 46如下图的二维晶体结构，A原子处于正六边形角上，B原子处于正六边形中心，确 定它的物理原胞基矢。 * A S子 Q B厚子 47分别划出下图的基矢，原胞和晶

17、胞。 48设一维晶体的电子能带可以写成：E(k)= 工(？ - cos ka + 1cos2ka)，式中a ma2 8 8 为晶格常 。计算 1)能带的宽度； 2 )电子在波矢k的状态时的速度； 3)能带底部和能带顶部电子的有效质量。 (1) E(k)=止(? - cos ka + 1cos2ka) ma2 8 8 耳2 7 1 = [—一 cos ka + — (2cos2 ka 一 1)] ma 2 8 8 = [(cos ka 一 2)2 一 1] 4ma2 当 ka = (2n +1)兀时(n = 0,±l,±2... ) e(k)=色2

18、 max ma 2 当 ka = 2n兀时(n = 0,±l,±2... ) e(k) = 0 min 所以能带宽度为E (k) - E (k)= 如 max min ma 2 (2 ) 了(t) = - VE(Q = =(丄)(sin ka 一 - sin 2ka) 耳 r|6K ma 4 (3) m*=正 d 2 E dK 2 1 =m(cos ka - cos ka)-1 当k = 0时为底带m* = 2m 当k = 时为顶带m* = a 一 2m 3 49在布里渊区边界处，材料的能带一维与三维时有什么区别？ 一维：属于一个布里渊区的能级构成一个能带

19、，不同布里渊区对应不同的能带，布里 渊区边界能带与能带之间出现能隙。 三维：不同的能带在能量上不一定隔开，可以发生能带之间的交叠 50 物理学中很多物理量是量子化的，请举例，并推测造成量子化的根源？ 这里量子化的意思就是，散发出的能量是一份一份的，是离散的，而不是连续的，每 一份能量就是一个量子。 光电效应是量子的最好例子，用光照射锌板，可以使锌板产生电流。但是光电效应对 光的波长有要求，只有在特定波长以下的光照射，才能产生光电效应。这是因为锌原 子的电子接收光照的能量，不是连续的，即锌电子只能接收一个光子的能量，如果这 个光子的能量大，锌电子就能成为自由电子，如果这个光子能量不够，锌电

20、子就无法 吸收这份光子能量，仍然要受到锌原子核的束缚。这就说明，光的能量有一个最小的 单位，即把光子量子化。光子的能量大小和光的波长有关。而吸收能量只能一个一个 光子的吸收。这个就是量子化。 51如何理解电子分布函数的f(E)物理意义是:能量为E的一个量子态被电子所占据的 平均几率? 金属中价电子遵循费米-狄拉克统计分布，温度为T时，分布在能级E上的电子数目为 g e (E - Ef)/KBT + 1 g为简并度，即能级E包含的量子态数目，显然，电子分布函数 1 e( E - EF)/KBT + 1 是温度T时，能级E上的一个量子态上平均分布的电子数，因为一个量子态最多由 个电

21、子所占据，所以f(E)的物理意义又可表示为：能量为E的一个量子态被电子所占 据的平均几率。 51 晶体膨胀时, 费密能级如何变化? 费米能级EF = 2m(3n^ 2)2/3 其中n是单位体积内的价电子数目，当体积膨胀时， 价电子总数不变，n变小，费米能级降低。 52为什么价电子的浓度越大,价电子的平均动能就越大? 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相似，所以我们讨论绝对零度下电子的 平均动能与电子浓度的关系 费米半径Kf与电子密度n的关系为：Kf= （3皿2）1/3，浓度n越大费米球半径Kf越大 而费米能级EF = 2mK2 3 3叶2 电子平均动能E = 5ef =

22、而（3加2）2/3 所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大 53为什么价电子的浓度越高,电导率越高? 因为只有费米球表面附近的电子对导电有贡献，费米球越大对导电贡献的电子就越多， 费米球的大小取决于费米球半径K二（3n兀2）1/3，可见价电子的浓度越高，费米球越 F 大，导电率就越高。 54如何理解库仑力是原子结合的动力? 在晶体结合中，原子间的排斥力是短程力，而吸引原子拉近的动力只能是长程力，而 这个长程力正是库仑力，所以说库仑力是原子结合的动力 55共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”? 设N为一个原子的价电子数目，对于IVaVaVIaVIIa族元素，价电子壳层一共有

23、8 个量子态，最多能接纳（8—N ）个共价键，这就是共价结合的"饱和性”。 共价键的形成只在特定的方向上，这些方向是配对电子波函数的对称轴方向，在这个 方向上交迭的电子云密度最大，这就是共价结合的“方向性”。 56如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征? 使原子失去一个电子所需要的能量成为原子的电离能，电离能的大小可以用来衡量原 子对价电子的束缚强弱，一个中性原子获得一个电子称为负离子所释放出来的能量称 为电子亲和能，放出的能量越多，这个负离子的能量越低，说明中性原子与这个电子 的结合越稳定，也就是说，亲和能的大小也可以用来度量原子对电子的束缚强弱，原 子的电负性大小是原子吸引电子能力的

24、大小度量，用电离能加亲和能来表征符合定义。 57 体呈现宏观弹性的微观本质是什么 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力，这种作用力既包含吸引力， 又包含排斥力。 58解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 晶体容易沿着解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即间距大， 因为面间距大的晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。 59晶面指数为（123 ）的晶面ABC是离原点O最近的晶面,OA、OB和0C分别与 基矢 aia 2a3重合,除O点外,0A、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为 （234），情况又如何？ 因为晶面指数为（

25、123 ）的晶面ABC是离原点0最近的晶面，所以截距分别为1,1,1 2 3 又因基矢的长度1 q |=1,1 a2 |= 1,1 a3匚1，根据格点的定义，只有A点是格点，若 ABC面的指数为（234），则截距分别为丄丄丄，ABC都不是格点 2 3 4 60波矢空间与倒格空间有何关系?为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为b ,氏,眄，而波矢空间的 基矢分别为.—，而N , N , N分别是沿正格子基矢a 1,a2’a 3方向上的原胞 N N N 1 2 3 1 2 3 123 数目 倒格空间中一个倒格点对应的体积为b（b xb

26、）= q* 1 2 3 波矢空间中一个波矢点对应的体积为（生x H）二色 N N N N 1 2 3 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N， 由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应 的体积相比是极其微小的，也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的，因此在波 矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2兀 7 WX V（x） = ^V.^e ° “ 中，指数函数的形式是由什么条件决定的？ ill T — iT:'上式满足式场的周期性即 周期毎厢数切%）付里刘级数的通式为 土成必须

27、满定势场的周期性*即 " V（x + u* 2Vheu-[1+ai = Xvn^ 任 2 ）-V（x）二 n n n 显然 严=1, 雙滿足上式.心必沟倒格矢 可见周期孙两数秋龙）的付里】H级数中抬数函数的形式是由其周期怕决定的 64在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ 电子的能带依赖于波矢的方向，在任何一个方向上，在布里渊区边界近自由电子的能 带一般会出现禁带，若电子所处的边界与倒格矢K正交，则禁带的宽度 n E = 2 V(K ) , V(K )是周期势场的傅里叶级数的系数。 g n n 不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率 为零，即电子的等能面与布里渊区正交。