定积分的概念和性质公式.doc

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1、DDY整理 1.曲边梯形的面积 设在区间 上 ，则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间 中任意插入若干个分点将 分成n个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间 上任取一点 作乘积 ， 求和取极限：则面积 取极限 其中 ，即小区间长度最大者趋于零。 2. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度 是 上 的连续函数，且 ，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在 内插入若干分点 将其分成 n个小区间 ，小区间长度 ， 。任取 ， 做 求和取极限：则路程 取极限 定义

2、设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点 将 分成n个小区间 ，其长度为 ，在每个小区间 上任取一点 ，作乘积 ，并求和 ，记 ，如果不论对 怎样分法，也不论小区间 上的点 怎样取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即 ， （*） 其中 叫被积函数， 叫被积表达式， 叫积分变量， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫积分区间。 叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称 在区间 可积，下面两类函数在区间 可积，（1） 在区间 上连续，则 在 可积。（2） 在区间 上有界且只有有限个间断点，则 在 上可积。 2.由

3、定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积； 在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在 轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1） （三角形面积） （2） （半圆面积） 设 可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性） 对任何三个不同的数 ，有 性质4 性质5 如果在区间 上， ，则 推论 性质6 （定积分的估值） 设M及m分

4、别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数 在区间 上连续，则在 上至少有一点 ，使 成立 例2 比较下面两个积分的大小 与 解 设 ， 在（0，1）内， 单调增 当 时，有 ，即 由性质5， 例3 估计积分 的值 解 只需求出 在区间 上的最大值、最小值即可。设 ， ，令 ，得 ， 所以，在区间 上 由性质6， 设 在区间 上连续， ，则定积分 一定存在， 当 在 上变动时，它构成了一个 的函数，称为 的变上限积分函数， 记作 即 定理 如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在

5、上具有导数，且导数是 ，即 说明： 1.由原函数的定义知, 是连续函数 的一个原函数，因此，此公式 揭示了定积分与原函数之间的联系。 2.当积分上限的函数是复合函数时，有 更一般的有 例1 （1） ， 则： = （2） ，则： （4） ，则： （5）设 ，求: 此题中 为函数的自变量， 为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式 由求导法则 = = + （6） =0（因定积分的结果为一常数，故导数为零） （7）设 是方程 所确定的函数，求 解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有 则 = 例2 设 ，求 。 例3 设 为连续函数，（1）若 ，则 ______, ___。（2） 例4 求 解 这是 型不定式，用罗必塔法则 定理 （牛顿——莱公式）如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则 此公式表明：一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。 例5 解 原式 例6 解 原式 例7 求 解 利用定积分的可加性分段积分， = + =2 例8 解 被积函数是分段函数，分段点 在积分区间 内， = + =1/4 例9 解 原式 注意： 是分段函数