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1、立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
推导过程
1. 证明如下：
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以 a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)
=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)
=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)
2.（因式分解思想）证明如下：
a3-b3=a3-a2b-b3+a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a2+b(a+b)]
=(a-b)(a2+ab+b2)
立方和公式及其推广：
(1) a3+b3=(
2、a+b)(a2-ab+b2)
(2) an+bn=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)b+...+(-1)^(r-1)a^(n-r)b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。
an表示a的n次方。
字母表达
立方和公式
立方差公式
三项立方和公式
推导过程：
完全立方公式
(a-b)=a+3ab-3ab-b
立方和累加
正整数范围中
注：可用数学归纳法证明
2公式证明编辑
迭代法一
我们知道：
0次方和的求和公式
，即
1次方和的求和公式
3、
，即
2次方和的求和公式
，即
——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式
，迭代即得。
具体如下：
(k+1)3- k3= (k3+ 3k2+ 3k + 1) - k3= 3k2+ 3k + 1
利用上面这个式子有：
23- 13= 312+ 31 + 1
33- 23= 322+ 32 + 1
43- 33= 332+ 33+ 1
53- 43= 342+ 34 + 1
……
(n+1)3- n3= 3n2+ 3n + 1
把上述各等式左右分别相加 得到：
(n+1)3-13= 3(12+22+32+……+n2) + 3(1+2+3+
4、……+n)+n1
n3+ 3n2+ 3n + 1 - 1 = 3(12+22+32+……+n2)+3n(n+1)/2+n (1)
其中12+ 22+ 32+ …… + n2= n(n+1)(2n+1)/6
代入(1)式，整理後得 13+ 23+ 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2
迭代法二
取公式：
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入，
得
移项后得
等号右侧合
5、并同类项后得
即
推导完毕。
排列组合法
设数列{
}=n(n+1)(n+2)，其n项和为
，且设
=
+
+
+…+
，则
=1(1+1)(1+2)+2(2+1)(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
=
=
+3
+2
=
+3
+2
=
+
+n(n+1)
又
=1（1+1）(1+2)+2（2+1）(2+2)+…+n(n+1)（n+2）
=
+
+
+…+
=
(
+
+
+…+
)
=
6、(
+
+
+…+
)
=
(
+
+
+…+
)
=
(
+
+…+
)
=…
=
=6
∴
由此得
=
。[1-2]
因式分解证明
3几何验证编辑
图象化立方和公式
透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到
，可使用
的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：
把三个部分加在一起，便得：
=
=
之后，把
减去它，便得：
公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：
=
可透过完全平方公式，得到：
=
=
这样便可证明：
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