2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一上学期期中数学试题

3、  y =x  -1  将直角坐标系第一象限分为 8 个部分（如 图所示），那么幂函数  y =x  -  1 3  的图像在第一象限中经过（ ） A．③⑦  B．③⑧  C．④⑦  D．①⑤ 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】解：在直线 1 - >-1 ， 3  x =1  的左侧，幂函数的指数越大越接近于 轴， \ y =x  -  1 3  在  x =1  的左侧位于  y =x  -1

4、  左侧，故经过⑤， 在直线  x =1  的右侧，幂函数的指数越小越接近于 轴， 第 1 页 共 14 页 \ y =x - 1 3 在 x =1 的右侧位于 y =x -1 上方 y =1 的下方，故经过①. 故选：D. 3．由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪.直到 1872 年,德国数学家戴德金从连续 性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立 在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续 2000 多年的 数学史上的第一

5、次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集  Q  划分为两个非空的子集 M 与  N ,且满足 M È N =Q  ，  M Ç N =Æ  ， M 中的每一个元素都小于  N  中的每一 个元素,则称  ( M , N )  为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割  ( M , N )  ,下列选项中,不 可能成立的是（ ） A． M 没有最大元素, N 有一个最小元素  B．M 没有最大元素, N 也没有最小元素 C． M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 D

6、． M 有一个最大元素, N 没有最小元 素 【答案】C 【分析】由题意依次举出具体的集合  M , N  ，从而得到  A, B , D  均可成立． 【详解】对 A ，若  M ={ x ÎQ | x <0} ， N ={ x ÎQ | x 0}  ；则 M 没有最大元素，  N 有一个最小元素 0，故 A 正确； 对 B ，若 M ={ x ÎQ | x <  2} ， N ={ x ÎQ | x 2} ；则 M 没有最大元素， N 也没 有最小元素，故 B 正确； 对 C ，

7、M 有一个最大元素， N 有一个最小元素不可能，故 C 错误； 对 D ，若  M ={ x ÎQ | x 0} ， N ={ x ÎQ | x >0}  ； M 有一个最大元素， N 没有最 小元素，故 D 正确； 故选： C ． 【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的 要求较高． 4．已知  f ( x) =a | x -b | +c  ，则对任意非零实数 a，b，c，m，n，t，则于 x 的方程 mf 2( x) +nf ( x) +t =0  的解集不可能为（ ）

8、 A．  {2020}  B．  {2020,2021}  C．  {1,2,2020,2021 } D．{1,5,25,125} 【答案】D 第 2 页 共 14 页 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 3 4 3 4 = 1 2 3 4 【分析】根据函数 f（x）的对称性，因为 mf 2 (x)+nf(x)+t=0 的解应满足 y ＝ a x -b +c  ，y ＝  a x -b +c 

9、，进而可得到  mf  2  (x  )  +nf  (x  )  +t =0  的根，应关于对称 轴 x =b 对称，对于 D 中 4 个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可 能是 D． 【详解】∵ 对称.  f (x)=ax-b+c，f (2b-x)=ab-x +c = f (x)，f(x)  关于直线 x =b 令方程  mf  2  (x)+nf(x)+t=0  的解为 f （x），f （x） 则必有 f  （x）＝y ＝ 

10、a x -b +c  ，f  （x）＝y ＝  a x -b +c y＝y ，y＝y 与 f（x）有交点，由于对称性，则方程 y ＝  a x -b +c  的两个解 x ，x 要 关于直线 x =b 对称，也就是说 x +x  =2b  , 同理方程 y ＝  a x -b +c  的两个解 x ，x 也要关于直线 x =b 对称 那就得到 x +x  =2b  ， 若方程有 4 个解，则必然满足 x +x x +x ， 而在 D 中， {1,5,25,125} 找不到这

11、样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组， 都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和. 故答案 D 不可能. 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题的关键是得出  f (x)  关于直线 x =b 对称，从而得出方程的解也对称，并满足 二、填空题  x +x =x +x 1 2 3 4  . ì 5．方程组 í î  x +y =7 x -y =1  的解集为_______． {(4,3)} 【答案】 【分析】解方程组得  x =4, y =3  ，再根据方

12、程组的解集为点的集合即可得答案 ì 【详解】解：解方程组 í î  x +y =7 x -y =1  得  x =4, y =3  ， 第 3 页 共 14 页 î . î î a , b î î î î î î a b a b î ìx +y =7 故方程组 í 的解集为： x -y =1 {(4,3)} 故答案为：  {(4,3)} 6．已知实数 x 满足 x +x -1 =2 ，则 x  3  +x  -3  =  ____

13、___． 【答案】 2 【分析】先对 x +x  -1  =2 两边平方得 x  2  +x  -2  =2 ，再根据立方和公式求解即可. 【详解】解：由 x +x  -1  =2 两边平方得： x  2  +x  -2  =2 ， 所以根据立方和公式得： x  3  +x  -3  =(x+x-1)(x2+x-2-1)=2. 故答案为： 2 【点睛】本题解题的关键在于熟练的识记立方和公式  a  3 +b 3  = 

14、 (a+b )(a  2  -ab +b  2 ) ìa +b >0 ìa >0 7．对于是实数 a、b，“ í ”是 í 的______条件． ab >0 b >0 【答案】充要 【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可 ìa +b >0 ìa >0 【详解】解：因为 í ，可知 同号，且为正，即 í ， ab >0 b >0 ìa >0 ìa +b >0 当 í 时，有 í ， b >0 ab >0 ìa +b >0 ìa >0 所以“ í ”是 í 的充要条件， ab >0 b >0 故答案为：充

15、要 8．若 、 是一元二次函数 x  2  +4 x -1 =0 的两个实数根，则  1 1 + = a b  _______． 【答案】4 【分析】由于  1 a  +  1 b  =  a+b ab  ，所以利用根与系数的关系直接求解即可 【详解】解：因为 、 是一元二次函数 x ìa+b=-4 ， 所以 í ab=-1  2  +4 x -1 =0 的两个实数根， 第 4 页 共 14 页 ì 所以 1 1 a+b -4 + =

16、= =4 a b ab -1  ， 故答案为：4 9．已知 a Îí-2,-1,- î  1 1 , ,1,2,3 2 2  ü ý，若幂函数 þ  y =x  a  的图像关于原点中心对称，且为 (0, +¥)  上的严格递减函数，则 a =_______． 【答案】 -1 【分析】由幂函数的性质即可判断. 【详解】解：  幂函数  y =x  a  的图像关于原点中心对称， \ y =x  a  是奇函数， a  为奇数，

17、 又  y =x  a  在 (0, +¥)上为严格递减函数， \a  <0  ， 故  a  =-1  . 故答案为： -1. 10．已知 3a =12 ，  b =2log 2 3  ，现有下列四个结论： ①  a =2b  ；②  a -b =1  ；③ a <2b  ；④  a +b >3  . 其中所有正确结论的编号是______. 【答案】②③④ 【分析】先由指数与对数的互化将 3a =12 、 再进行

18、对数运算得出结论.  b =2log 2 化为 a =log 12 、 b =log 4 3 3 3  , 【详解】解：由 3a  =12 ,  b =2log 2 3  , 得 a =log 12 , b =log 4 , 3 3 2b =log 16 ,则 a -b =log 3 =1 3 3 a +b =log 48 >log 27 =3 . 3 3  ,  a <2b  , 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查指数、对数运算,考查运算求解能力与推理论证能力. 11．

19、关于 x 的不等式  ax +b >0  ，解集是  (1, +¥)  ，则关于 x 的不等式 ax -b x -6  <0  的解集 第 5 页 共 14 页 ( )( ) î 1 - 1 - _______． 【答案】 {x-10  的解集是  (1, +¥)  ，得出  a >0  ，  b a  =-1  ，再由分式不 等式的解法即可求解. 【详解】解：

20、  ax +b >0  的解集是  (1, +¥)  ， \ a >0  且 -  b b =1 ，即 a a  =-1  ， ax -b ì x -6 ¹0 不等式 <0 等价于 í x -6 ax -b ×x -6 <0  ， 解得： -11)  ，函数  y =3 x  2 

21、 与 AB 交于点 Q，函数  y =x  -  1 2 与 BC 交于点 P，当  |AQ | +| CP | 最小时， a 的值为_______． 【答案】 3 【分析】由题意可知 AQ =  a 1 , CP =a 2 = 3 a  ，再利用基本不等式求  |AQ | +| CP | 的最小值，从而可求出 a 的值， 【详解】解：由题意可知 AQ = 因为 a >1 ，  a 1 , CP =a 2 = 3 a  ， a 1 所以 AQ +CP = + ³2 3 a

22、  a 1 × =2 3 a  1 3  ， 第 6 页 共 14 页 P p , Q q , - 5 5 P p , Q q , - 5 5 当且仅当 a 1 = 3 a  ，即 a = 3 时取等号， 所以当  |AQ | +| CP |  最小时， a 的值为 3 故答案为： 3 13．已知常数  a >0  2x æ 6 ö æ 1 ö ，函数 y = 的图像经过点 ç ÷， ç ÷ 2x +ax è ø è ø  ，若 2 p +

23、q =36 pq  ，则 a =_______． 【答案】6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值 【详解】解：因为函数 y =  2  x  2x +ax  æ 6 ö æ 1 ö 的图像经过点 ç ÷， ç ÷ è ø è ø  ， 所以  2 p 2 q 6 1 + = - =1 2 p +ap 2 q +aq 5 5  ， 整理得，  2 p +q +aq ×2p +ap ×2q +2 p +q 2 p +q +aq ×2p +ap ×2q +a 2 pq

24、  =1  ， 解得  2  p +q =a 2 pq  ， 因为  2  p +q  =36 pq  ， 所以 a  2  =36 ， 因为 a >0 ，所以 a =6 ， 故答案为：6 1 1 9 x 4 y 14．已知 x＞0，y＞0，且 + =1 ，则 + 的最大值为______． x y 1 -x 1 -y 【答案】-25 【分析】  1 1 + =1 x y  x +y ，所以 =1 ，即 x+y=xy，且 x＞1，y＞1，再结

25、合基本不等式即 xy 可得到  9 x 4 y + 1 -x 1 -y  的最大值． 【详解】解：依题意，x＞0，y＞0，且 x+y=xy，  1 1 + =1 x y  x +y ，所以 x＞1，y＞1，且 =1 ，即 xy 第 7 页 共 14 页 0, -2 2,2 2 { . { . 所以 9 x 4 y + 1 -x 1 -y  = 9 x -9 +9 4 y -4 +4 9 4 + =-9-4-（ + ）， 1 -x 1 -y x -1 y -1 因为

26、  9 x -1  4 ＞0， ＞0， y -1 所以  9 x 4 y + 1 -x 1 -y  9 4 =-13-（ + ） x -1 y -1 ≤-13-2  9 4 × x -1 y -1  =-13-2  36 xy -(x+y)+1  =-13-12=-25． 当且仅当 x=  5 5 ，y= 时等号成立． 2 3 故答案为-25． 【点睛】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本 题属于难题． 15．已知集合  A

27、 ={1,2} ， B ={x(x  2  +ax  )(x  2  +ax +2 )=0}，记集合A中元素的个 数为  n( A)  ，定义  ì f ( A, B ) =í î  n ( A) -n ( B ) n( A) ³n ( B ) n ( B) -n ( A) n( A)

28、根即可. 【详解】由于  x  2  ax x  2  ax 2 0  等价于 x  2  ax 0 ①或 x  2  +ax +2 =0 ②， A ={1,2}  ,  \ n( A) =2  ，又  f (A,B )=1  ，则  n( B ) =1  或 3， 即集合 B 中要么 1 个元素，要么是 3 个元素， （1）若 集合 B 中有 1 个元素，则方程①有两相等实根，②无实数根， \ a =0  ； （2）若 集合 B

29、中有 3 个元素，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实 数根， ì 即 í î  a ¹0 a 2 -8 =0  ，解得 a =±2 2 ， 综上所述 ， a 的取值范围为  0, -2 2,2 2 } 故答案为 ：  0, -2 2,2  2 } 第 8 页 共 14 页 ç ÷ ê ú ê ú ç ÷ ç t è ø è ö ÷ ê ú ê ú h 2 2 ç ÷ a ，+¥ 3 ÷ ê ê ú 【点

30、睛】关键点睛：将题目转化为方程 x 2 决本题的关键. ax 0 和 x 2 +ax +2 =0 的根的情况是解 16．已知  a >0  ，函数  y = f ( x)  ，其中  f ( x ) =log  2  æ1 ö +a èx ø  ，若对任意  é1 ù t Î ,1 ë2 û  ，函 数  y = f ( x)  在区间  [t , t +1]  上的最大值与最小值的差不超过 1，则 a 的取值范围为 _______． 【答案】  é

31、ê ë  2 3  ，+¥  ö ÷ ø 【分析】由函数单调性可得  f ( x )  在区间  [t，t +1]  上的最大值  f (t )  ，最小值  f (t +1)  ，则 可得  at 2 +( a +1)t -1 ³0  对任意  é1 ù t Î ,1 ë2 û  恒成立，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】因为  f ( x)  在区间  [t，t +1]  内单调递减， 所以函数  f ( x) 

32、 在区间  [t，t +1]  上的最大值与最小值分别为  f (t ) ， f (t +1)  ， 则  æ1 ö æ f (t ) -f (t +1) =log +a -log 2 2  1 t +1  +a £1 ø  ， 得  1 t  +a £2  æ ç è  1 t +1  +a  ö ÷ ø  ，整理得  at  2  +( a +1)t -1 ³0  对任意  é1 ù t Î ,1 ë2 û  恒成立．

33、 令  h (t ) =at  2  +( a +1)t -1  ，则  h(t )  的图象是开口向上，对称轴为  t =-  1 1 - <0 2 2a  的抛 物线， 所以  é1 ù h(t ) 在 t Î ,1 ë2 û  上是增函数，  at  2  +( a +1)t -1 ³0  æ1 ö 等价于 ç ÷ è ø  ³0  ， æ1 ö 1 即 a ´ +( a +1) ´ -1 ³0 ，解得 è2 ø 2 é2 ö ．

34、 所以 的取值范围为 ê ÷ ë ø é2 ö ，+¥ 故答案为： . ë3 ø  a ³  2 3  ， 【点睛】关键点睛：由单调性判断出最大值和最小值，从而转化为at 2 +( a +1)t -1 ³0 对任意  é1 ù t Î ,1 ë2 û  恒成立，根据二次函数性质求解. 第 9 页 共 14 页 î þ 2 4 2 4 î þ 2 \ B = x a

35、 ={x∣x2-5x+6 <0}，B={x∣(x-a)(x-a  2  -2 )<0}． （1）当  a =  1 2  时，求 A B ； （2）设  p : x Î A ； q Î B ，若 p 是 q 充分条件，求实数 a 的取值范围． ì 9 ü 【答案】（1） íx £x <3ý；（2） 4  (-∞,-1][1,2] 【分析】（1）先求出集合 A，B，再根据补集交集定义即可求出. （2）求出集合 B，由题可得 A Í B  ，则列出式子即可求出. 【详解】（1） A

36、 ={x∣x2-5x+6 <0}={x20，即a2 +2 >a ， { 2 }， è ø 若 p 是 q 充分条件

37、，则 A Í B  ， ìa2 +2 ³3 \ í ，解得 a £2  a £-1  或  1 £a £2  ， 故 a 的取值范围为  (-∞,-1][1,2]  . 【点睛】结论点睛：本题考查根据必充分条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q对应集合是 p 对应集合的真子集； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应集合是 q 对应集合的真子集； （3）若 p 是 q 的充分必要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等； （4）若 p 是 q 的既不充分又不

38、必要条件，则 q 对应的集合与 p 对应集合互不包含． 18．已知函数  y = f ( x )  ，其中 f ( x) =(a2-2a-2 )×a  x  是指数函数． （1）求  f ( x )  的表达式； （2）解不等式：  log (1 +x )

39、的定义，有 a  2  -2 a -2 =1 ，结合  a >0, a ¹1  求 a，写出  f ( x)  ； （2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可. 【详解】（1） x ∴ f ( x) =3 .  y = f ( x)  是指数函数，所以 a 2 -2 a -2 =1 ，解得 a =3 或 a =-1  (舍)， （2）由（1）知：  log (1 +x ) 0 ï ∴ í2-x >0

40、 2 -x >1 +x  ，解得  -1

41、 （1）当  t =0.5  时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船 速度的大小； （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 【答案】（1）3， 949 海里/时（2） 25 海里/时 【分析】（1）t =0.5  时，确定 P 的横坐标，代入抛物线方程可得 P 的纵坐标，利用|AP|， 即可确定救援船速度； （2）设救援船的时速为 v 海里，经过 t  小时追上走私船，此时位置为  ( 7t ,12t 2)  ，从而 可得 v 关于 t  的关系式

42、，利用基本不等式，即可得到结论． 第 11 页 共 14 页 2 1 1 1 【详解】（1）t =0.5 时，P 的横坐标 x =7t = P 7 2 12 ，代入抛物线方程 y = x 中，得 P 49 的纵坐标 由 | AP |=  y =3 P 949 2  , ，得救援船速度的大小为 949 海里/时，两船相会. （2）设救援船的时速为 v 海里，经过 t 小时追上失事船， 此时位置为  (7 t ,12t 2)  ，由 vt =  (7t )  2

43、  +(12t  2  +12)  2  ， 整理得  v  2 =144(t 2  +  1 t 2  ) +337  , 因为 t  2  + 1 t 2  ³2  ，当且仅当 t =1时等号成立, 所以 v  2  ³144 ´2 +337 =25  2 ，即 v ³25 ， 因此，救援船的时速至少是 25 海里/时才能追上失事船. 20．非空有限集合 S 是由若干个正实数组成，集合 S 的元素个数不少于 2 个．对于任

44、 意  a , b ÎS  ， a b ，若数 a b 或 ba 中至少有一个属于 S，则称集合 S 是“好集”；否则， 称集合 S 是“坏集”． （1）断  ì 1 1 1 ü A ={1,3,9} 和 B =í1, , , ý是好集，还是坏集，并简单说明理由； î 2 4 16 þ （2）题设的有限集合 S 中，既有大于 1 的元素，又有小于 1 的元素，证明：集合 S 是 “坏集”； （3）若题设中的 a  b  或 b  a  都属于 S，则称集合 S 为“超级好集”，求出所有的“超级好集”．

45、 【答案】（1） A  是“坏集”； B 是“好集”；（2）证明过程见解析；（3）  S ={1,a}， 其中  a >0  且  a ¹1  . 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可； （2）利用小于1 的所有元素中的最小元素以及大于1的所有元素中的最小元素，根据定 义以及指数函数的单调性进行证明即可. （3）结合（2）中的结论，可以证明出  S ={1,a}，其中a>0 且 a ¹1 . 【详解】（1）  39 Ï A 且 9 3 Ï A，\A 是“坏集”； 因为

46、  x ÎB  ，都有1x  =1， x1  1 1 1 1 1 1 =x ，而 ( ) 2 = ,( ) 2 = ,( ) 4 = 4 2 16 4 16 2  ， 所以 B 中任意两个元素 a, b ，满足 a b 且数 a b 或 b a 中至少有一个属于 B ， 第 12 页 共 14 页 因此 B 是“好集”. （2）若 a 是 S  中小于 1 的元素中的最小元素， b 是 S  中大于 1 的元素中的最小元素， 则由指数函数的单调性可得： a  b 

47、a <1 0 且 a ¹1 ，是符合题意的“超级好集”． 现在证明集合 S 中不可能存在其它元素. 由（2）可知 S 不可能同时存在既有大于 1 的元素，又有小于 1 的元素， 不妨设  a, b >1 且 a , b ÎS  ，且 b 为 S  中大于 1 的元素中最大的元素， 因此有 b a >b ，所以 b a Ï