全等三角形的判定第二课时教案

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1、全等三角形的判定第二课时教案 全等三角形的判定第二课时教案 1 一、教材分析 (一) 本节内容在教材中的地位与作用。 对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一 步。它是两三角形间最简单、最常见的关系。本节《探索三角形全等的条件》是学 生在认识三角形的基础上，在了解全等图形和全等三角形以后进行学习的，它既是 前面所学知识的延伸与拓展，又是后继学习探索相似形的条件的基础，并且是用以 说明线段相等、两角相等的重要依据。因此，本节课的知识具有承上启下的作用。 同时，苏科版教材将“边角边”这一识别方法作为五个基本事实之一，说明本节的 内容对学生学习几何说理来说具有举足

2、轻重的作用。 (二) 教学目标 (1) 经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的 经验。 (2) 掌握“边角边”这一三角形全等的识别方法，并能利用这些条件判别两个 三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。 (3) 培养学生勇于探索、团结协作的精神。 (三) 教材重难点 由于本节课是第一次探索三角形全等的条件，故我确立了以“探究全等三角形 的必要条件的个数及探究边角边这一识别方法作为教学的重点，而将其发现过程以 及边边角的辨析作为教学的难点。同时，我将采用让学生动手操作、合作探究、媒 体演示的方式以及渗透分类讨论的数学思想方法教学来突出重点、突破难点。 （

3、四）教学具准备，教具：相关多媒体课件;学具：剪刀、纸片、直尺。画有相 关图片的作业纸。 二、教法选择与学法指导 本节课主要是“边角边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学 生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化 地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、 自寻方法、自觅规律、自悟原理。 三、教学流程 （一）创设情景，激发求知欲望 首先，我出示一个实际问题： 问题：皮皮公司接到一批三角形架的加工任务，客户的要求是所有的三角形必 须全等。质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一检查三角形的 三条边、

4、三个角是不是都相等。技术科的毛毛提出了质疑：分别检查三条边、三个 角这 6 个数据固然可以。但为了提高我们的效率，是不是可以找到一个更优化的方 法，只量一个数据可以吗？两个呢？…… 然后，教师提出问题：毛毛已提出了这么一个设想，同学们是否可以和毛毛一 起来攻克这个难题呢? 这样设计的目的是既交代了本节课要研究和学习的主要问题，又能较好地激发 学生求知与探索的欲望，同时也为本节课的教学做好了铺垫。 （二）引导活动，揭示知识产生过程 数学教学的本质就是数学活动的教学，为此，本节课我设计了如下的系列活动， 旨在让学生通过动手操作、合作探究来揭示“边角边”判定三角形全等这一知识的 产生过程。

5、 活动一：让学生通过画图或者举例说明，只量一个数据，即一条边或一个角不 能判断两个三角形全等。 活动二：让学生就测量两个数据展开讨论。先让学生分析有几种情况：即边边、 边角、角角。再由各小组自行探索。同样可以让学生举反例说明，也可以通过画图 说明。 活动三：在两个条件不能判定的基础上，只能再添加一个条件。先让学生讨论 分几种情况，教师在启发学生有序思考，避免漏解。 如： 教师提出 3 个角不能判定两三角形全等，实质我们已经讨论过了。明确今天的 任务：讨论两条边一个角是否可以判定两三角形全等。师生再共同探讨两边一角又 分为两边一夹角与两边一对角两种情况。 活动四：讨论第一种情况：各小组

6、每人用一张长方形纸剪一个直角三角形 （只 用直尺和剪刀），怎样才能使各小组内部剪下的直角三角形都全等呢?主要是让学生 体验研究问题通常可以先从特殊情况考虑，再延伸到一般情况。 活动五：出示课本上的3 幅图，让学生通过观察、进行猜想，再测量或剪下来 验证。并说说全等的图形之间有什么共同点。 活动六：小组竞赛：每人画一个三角形，其中一个角是 30°，有两条边分别是 7cm、5cm，看哪组先完成，并且小组内是全等的。这样既调动了学生的积极性，又 便于发现边角边的识别方法。 最后教师再用几何画板演示，学生进行观察、比较后，师生共同分析、归纳出 “边角边”这一识别方法。 若有小组画成边边角的形式

7、，则顺势引出下面的探究活动。否则提出：若两个 三角形有两条边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形一定全等吗? 活动七：在给出的画有 的图上，让学生自主探究(其中另一条边为5cm),看画 出的三角形是否一定全等。让学生在给出的图上研究是为了减小探索的麻木性。 教师用几何画板演示，让学生在辨析中再次认识边角边。同时完成课后练习第 一题。 (三) 例题教学，发挥示范功能 例题教学是课堂教学的一个重要环节，因此，如何充分地发挥好例题的教学功 能是十分重要的。为此，我将充分利用好这道例题，培养学生有条理的说理能力， 同时，通过对例题的变式与引伸培养学生发散思维能力。 首先，我将出示课本例

8、1，并设计下列系列问题，让学生一步一步地走向“知 识获得与应用”的理想彼岸。 问题 2： 你能用“因为……根据……所以……”的表达形式说说本题的说理过 程吗? 问题3： △ADC可以看成是由△ ABC经过怎样的图形变换得到的？ 在探索完上述 3 个问题的基础上，对例题作如下的变式与引伸： △ABC与厶ADC全等了，你又能得到哪些结论?连接BD交AC于0,你能说明厶 BOC与厶DOC全等吗？若全等，你又能得到哪些结论？ 这样设计的目的在于体现“数学教学不仅仅是数学知识的教学，更重要的发展 学生数学思维的教学”这一思想。 在例题教学的基础上，为了及时的反馈教学效果，也为提高学生知识应用

9、的水 平，达到及时巩固的目的，我设计了如下两个练习： (1) 基础知识应用。完成教材P139练一练2。 (2) 已知如图：，请你添加一些适当的条件，再根据SAS的识别方法说明两个 三角形全等。对学生进行逆向思维训练，同时让学生发现对顶角这一隐含条件。 (四) 课堂小结，建立知识体系。 (1) 本节课你有哪些收获：重点是将研究问题的方法进行一次梳理，对边角边 的识别方法进行一次回顾。 (2) 你还有哪些疑问? 全等三角形的判定第二课时教案 2 课题：全等三角形 教学目标： 1、知识目标： (1)知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素; (2)知道全等三角形的性

10、质，能用符号正确地表示两个三角形全等; (3) 能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 2、能力目标： (1)通过全等三角形角有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力; (2)通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力。 3、情感目标： (1)通过感受全等三角形的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神; (2)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方 位审视问题的创造技巧。 教学重点：全等三角形的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角 教学用具：直尺、微机 教学方法：自学辅导式 教学过程： 1、全等形及全等三角形概念的引入 (1

11、) 动画(几何画板)显示： 问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗? 一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。 (2) 学生自己动手 画一个三角形：边长为4cm, 5cm, 7cm.然后剪下来，同桌的两位同学配合，把 两个三角形放在一起重合。 (3)获取概念 让学生用自己的语言叙述： 全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。 2、 全等三角形性质的发现： (1)电脑动画显示： 问题：对应边、对应角有何关系? 由学生观察动画发现，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。 3、 找对应边、对应角以及全等三角形性质的应用 (1) 投影显示题目： D、AD〃BC，且

12、AD=BC 分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D,因为AD和BC 是对应边，因此AD=BCO C符合题意。 说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位 置上，易错点是容易找错对应角。 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将从复杂的图形中分离 出来 说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素： 然后依据已知的对应元素找：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个 对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所 夹的角是对应角。 说明：利用“运动法”来找 翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合

13、的两个三角形，易发现其对应元素 旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素 平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素 求证：AE〃CF 分析：证明直线平行通常用角关系(同位角、内错角等)，为此想到三角形全等 后的性质――对应角相等 ・・・AE〃CF 说明：解此题的关键是找准对应角，可以用平移法。 分析：AB不是全等三角形的对应边， 但它通过对应边转化为AB=CD，而使AB+CD二AD-BC 可利用已知的 AD 与 BC 求得。 说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。 (2)题目的解决 这些题目给出以后，先要求学生

14、独立思考后回答，其它学生补充完善，并可以 提出自己的看法。教师重点指导，师生共同总结：找对应边、对应角通常的几种方 法： 投影显示： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角; (3) 有公共边的，公共边一定是对应边; (4) 有公共角的，角一定是对应角; (5) 有对顶角的，对顶角一定是对应角; 两个全等三角形中一对最长边(或角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最 小的角)是对应边(或对应角) 4、课堂独立练习，巩固提高 此练习，主要加强学生的识图能力，同时，找准全等三角形的对应

15、边、对应角， 是以后学好几何的关键。 5、小结： (1)如何找全等三角形的对应边、对应角(基本方法) (2)全等三角形的性质 (3)性质的应用 让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。 6、布置作业 a. 书面作业P55#2、3、4 b. 上交作业(中考题) 全等三角形的判定第二课时教案 3 【引入新课】 由的定义和性质易得且，即“平行且相等”记为，反过来当时，四边形必为平 行四边形，这就是今天要讲的判定定理 4(写出课题). 【讲解新课】 （1）平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 引导学生结合图1，把已知，求证

16、具体化. 分析：因为已知，所以只须证出，为此只需连对角线，通过全等三角形来实现. 证明：（由学生口述） 师：我们已经全面的掌握了平行四边形的判定方法，共有几个方法?哪几个?由 学生归纳后用投影仪打出. （2）平行四边形判定等知识的综合应用 教师指出：平行四边形的有关知识同学们都已掌握，但如何灵活、综合、有效 地用来解决有关问题是非常重要的.因此，对典型例题的分析、论证、方法技巧的 探讨运用都必须引起重视. 例2 已知： ， 分别是 、 的中点，结合图1，求证： . 分析：证明两条线段相等，从它们在图形中的位置看，可证明两个三角形全等 或证明四边形 为平行四边形（显然后者较前者简单）

17、证明：（略）. 此例题综合运用了平行四边形的性质和判定，证题思路是：先运用平行四边形 的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出 结论;题目虽不复杂，但层次有三，且利用基础知识较多，因此应使学生获得清晰 的证题思路. 例3 画 ，使 ，， （按课本讲） 【总结、扩展】 1.小结 平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质来解决 某些问题，例如求角的度数，线段长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分 等;二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等;三是先判定一个四边 形是平行四边形，然后再用四边形的性质来解决有关问题. 2

18、. 思考题： 已知：如图1,在厶中，，• 求证： 八、布置作业 教材 P143 中 11、12, P144 中 13、14 九、板书设计 十、背景知识与课外阅读 美妙的莫雷定理 已知：如图1,和，和，和分别为△的、、的三等分线. 求证：/△是正三角形. 这是英国数学家富兰克•莫雷在1899年提出的，不管从已知条件和结论看， 都十分对称美妙，数学家柯克特称它是初等几何最惊人的定理之一. 十一、随堂练习 教材P140中1、2 补充：判断 (1) 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形( ) (2) 一组对角平行，一组对角相等的四边形是平行四边形( ) (3

19、) 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形( ) (4) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形( ) 全等三角形的判定第二课时教案4 【教学目标】： 1、知识与技能： 1. 三角形全等的条件：角边角、角角边. 2. 三角形全等条件小结. 3. 掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件. 4. 能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题. 2、过程与方法： 1.经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、 ?归纳获得数学规律的 过程. 2.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件. 3. 能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题. 3、情感态度与价

20、值观： 通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展 实践能力和创新精神 【教学情景导入】： 提出问题，创设情境 1.复习：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况? 三个角、三个边、两边一角、两角一边. (2)到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么? 三种：①定义；②SSS；③SAS. 2.【师】在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我 们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢? 导入新课 【师】三角形中已知两角一边有几种可能? 【生】1.两角和它们的夹边. 2.两角和其中一角的对边. 做一做：

21、 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm, ?你能画一个三角 形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等， 你能得出什么规律? 学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律. 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学. 活动结果展示： 以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全 等. 提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边 角”或 “ASA”）. 【师】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，?能不 能作一个AA，B，L,使ZA二ZA'、ZB二ZB'、AB二A，B

22、，呢？ 【生】能. 学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解. 【生】①先用量角器量出ZA与ZB的度数，再用直尺量出AB的边长. ② 画线段A，B，，使A，B，=AB. ③ 分别以A，、B，为顶点，A，B，为一边作ZDA，B，、ZEB，A，使ZD，AB= ZCAB，ZEB，A，=ZCBA. ④ 射线A，D与B，E交于一点，记为C，即可得到AA，B，C，. 将AA，B，0与5ABC重叠，发现两三角形全等. 【师】 于是我们发现规律： 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”. 这又是一个判定三角形全等的条件. 【生】

23、在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不是可以不作图， 用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 【师】你提出的问题很好.温故而知新嘛，请同学们来验证这种想法. 【教学过程设计】： 如图，在△ ABC 和厶DEF 中，ZA二ZD,ZB二ZE, BC=EF,AABC 与 ADEF 全等 吗?能利用角边角条件证明你的结论吗? 证明：TZA+ZB+ZC二ZD+ZE+ZF=180° ZA=ZD，ZB=ZE /.ZA+ZB=ZD+ZE /.ZC=ZF 在厶ABC和厶DEF中 .•.△ABC今△DEF（ASA）. 于是得规律： 两个角和其中一角的对边对

24、应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边” 或 “AAS”）. 【例】如下图，D在AB 上, E在AC 上, AB=AC,ZB=ZC. 求证：AD=AE. 【师生共析】AD和AE分别在△ ADC和厶AEB中，所以要证AD=AE,只需证明厶 ADC今AAEB即可. 学生写出证明过程. 证明：在厶ADC和厶AEB中 所以△ ADC今△AEB(ASA) 所以AD=AE. 【师】到此为止，在三角形中已知三个条件探索三角形全等问题已全部结束. 请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结. 学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充. 有五种判定三角形全等的条件. 1. 全等三角形

25、的定义 2. 边边边(SSS) 3. 边角边(SAS) 4. 角边角(ASA) 5. 角角边(AAS) 推证两三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有 利于获得解题途径. 练习：图中的两个三角形全等吗?请说明理由. 答案：图⑴中由“ASA”可证得△ACD^^ACB.图⑵由“AAS”可证得△ACE^ △BDC. 【课堂作业】1.如图，BO=OC, AO二DO，则△ AOB与厶DOC全等吗？ 小亮的思考过程如下. △AOB^^DOC 2、已知△ ABC和AA/ B，C，,下列条件中，不能保证△ ABC和AA，B，C?‘ 全等的是( ) A. AB二A，

26、B，AC二A，C，BC二B，C， B. ZA=ZAf ZB二ZB，AC二A，C， C. AB=A，B， AC=A，C， ZA=ZA， D. AB=A，B， BC=B，C， ZC=ZC， 3、 要说明△ABC和AA，B，C，全等，已知条件为AB=A，B，,ZA=ZA，,不 需要的条件为( ) A.ZB=ZB， B.ZC=ZC，; C.AC=A，C， D.BC=B，C， 4、 要说明△ ABC和AA，B，C，全等，已知ZA=ZA，,ZB=ZB，,则不需要 的条件是( A.ZC=ZC， B.AB=A，B，; C.AC=A，C， D.BC=B，C， 5、 两个三角形全等，那么下列说法错

27、误的是( ) A.对应边上的三条高分别相等；B.对应边的三条中线分别相等 C.两个三角形的面积相等；D.两个三角形的任何线段相等 6、 如图，已知ZA=ZD, AB=DE, AF=CD, BC=EF. 求证：BC〃EF. ) 全等三角形的判定第二课时教案5 教学目标 1。 通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。 2。 比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法,初 步培养学生的逻辑推理能力。 3。 初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系 等”的方法。 4。 掌握证明三角形全等问题的规范书写格

28、式。 教学重点和难点 应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。 教学过程设计 一、 实例演示，发现公理 1. 教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过 的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。 2. 在此过程当中应启发学生注意以下几点： (1) 可用移动三角形使其重合的方法验证图 3-49 中的三对三角形分别全等，并根 据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中, 由AB=AC=3cm，可将△ ABC绕A点转到B与C重合；由于ZBAD二ZCAE=120°,保证 AD能与AE重合；

29、由AD=AE=5cm，可得到D与E重合。因此△ BAD可与△ CAE重合， 说明△ BAD^^CAEo (2) 每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实 用的判断方法 用全等三角形的性质来判定。 (3) 由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对 对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它 们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3。画图加以巩固。 教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两 边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。 二、 提出公理 1。 板书边角边公理，

30、指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS' 的含义. 2. 强调以下两点： (1) 使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等. (2) 使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的 字母顺序写在对应位置上. 3. 板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程. 如图3-50，在△ ABC与AA' B' C'中，(指明范围) 三、应用举例、变式练习 1. 充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习， 例 1 已知：如图 3-51， AB=CB，ZABD=ZCBD.求证：AABD今ACBD. 分析：将已知条件

31、与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可， 这可由公共边相等BD=BD得到. 说明：(1)证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公 共角相等、对顶角相等，等等. ( 2 )学习从结论出发分析证明思路的方法(分析法) . 分析：AABD今ACBD 因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB, CB夹两已知角的公共边 BD. (3) 可将此题做条种变式练习： 练习1(改变结论)如图3-51,已知AB=CB,ZABD=ZCBDO求证：AD二CD, BD 平分ZADCo 分析：在证毕全等的基础上,可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等, 即AD=CD

32、；对应角相等ZADB=ZCDB，即BD平分ZADCo因此，通过证明两三角形全 等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论,如两直线平行、垂直、角平 分线等等。 练习2(改变条件)如图3-51,已知BD平分ZABC, AB= CB•求证：ZA=ZC. 分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB=CB,所缺的其余条件分别 由公共边相等、角平分线的定义得出.这样,在证明三角形全等之前需做一些准备 工作.教师板书完整证明过程如下： 以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式. (4) 将题目中的图形加以有规律地图形变换,可得到相关的一组变式练习,使 刚才的解题思路得以充分地实施,并加强例题

33、、习题之间的有机联系,熟悉常见图 形,同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法. 练习 3 如图 3-52(c),已知 AB=AE, AD=AF,Z 1=Z2.求证：DB=FE. 分析：关键由Z1=Z2，利用等量公理证出ZBAD=ZEAFo 练习 4 如图 3-52(d),已知 A 为 BC 中点，AE//BD, AE=BD.求证：AD//CE. 分析：由中点定义得出AB=AC；由AE//BD及平行线性质得出ZABD=ZCAE. 练习 5 已知：如图 3-52(e), AE//BD, AE=DB.求证：AB//DE. 分析：由AE//BD及平行线性质得出ZADB=ZDAE；由公共边

34、AD=DA及已知证 明全等 练习 6 已知：如图 3-52(f), AE//BD, AE=DB.求证：AB//DE, AB=DE. 分析：通过添加辅助线一一连结AD,构造两个三角形去证明全等. 练习 7 已知：如图 3-52(g) , BA=EF, DF=CA,ZEFD=ZCAB.求证：ZB二Z E. 分析：由DF=CA及等量公理得出DA=CF；由ZEFD=ZCAB及“等角的补角相等” 得出 ZBAD=ZEFC. 练习8已知：如图3-52(h), BE和CD交于A,且A为BE中点，EC丄CD于C, BD丄CD 于 D, CE二丄BD.求证：AC=AD. 分析：由于目前只有边角边

35、公理,因此,必须将角的隐含条件——对顶角相等 转化为已知两边的夹角ZB=ZE，这点利用“等角的余角相等”可以实现. 练习9已知如图3-52(i),点C, F, A, D在同一直线上，AC=FD, CE二DB, EC丄CD, BD丄CD，垂足分别为 C 和 D.求证：EF//AB. 在下一课时中，可在图中连结EA及BF,进一步统习证明两次全等. 小结：在以上例1及它的九种变式练习中,可让学生归纳概括出目前常用的证 明三角形全等时寻找非已知条件的途径. 缺边时：①图中隐含公共边;②中点概念;③等量公理④其它. 缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平 分线

36、定义; ⑤平行线的性质;⑥同(等)角的补(余)角相等;⑦等量公理;⑧其它. 例2已知：如图3-53,AABE和厶ACD均为等边三角形。求证：BD=EC. 分析：先选择BD和EC所在的两个三角形△ ABD与厶AEC，已知没有提供任一 证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供. 四、师生共同归纳小结 1. 证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个?边角边公理是 哪三个 条件? 2. 在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分 析问题的思路是怎样的?你体会这样做有些什么优点? 3。遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，

37、可从哪些角度入手 寻找非已知条件? 五、练习与作业 练习：课本第 28 页中第 1 题，第 30 页中 1，3 题。 作业：课本第 32 页中第 6，7，8，9，10题。 课堂教学设计说明 本教学设计需 2课时完成。 1. 课本第 3。5 节内容安排 3 课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理， 重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方 法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第 3 课时加以巩固并学 习解决应用题和两次全等的问题。 2. 本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是 引起教师和学生的重视，只有学

38、生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思 想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。 3. 本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目 标之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一 种技能加以强化。 4. 教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5 出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第 一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。 5. 教师可将例题 1和几种变式练习制成投作影片（图 3-52）提高课堂教学效率. 教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和

39、内在联系。 6. 本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找 非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列 齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表 达.学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学 3。5 三角形全等的判定（一）（1） 教学目标 1。 通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。 2。 比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初 步培养学生的逻辑推理能力。 3。 初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的

40、平行、垂直关系 等”的方法。 4。 掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。 教学重点和难点 应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。 教学过程设计 一、 实例演示，发现公理 1. 教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过 的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。 2. 在此过程当中应启发学生注意以下几点： (1) 可用移动三角形使其重合的方法验证图 3-49 中的三对三角形分别全等，并根 据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中, 由AB=AC=3cm，可将△ ABC绕

41、A点转到B与C重合；由于ZBAD二ZCAE=120°,保证 AD能与AE重合；由AD=AE=5cm，可得到D与E重合。因此△ BAD可与△ CAE重合， 说明△ BAD^^CAEo (2) 每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实 用的判断方法 用全等三角形的性质来判定。 (3) 由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对 对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它 们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3。画图加以巩固。 教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两 边及夹角画

42、三角形”的方法，并加深对结论的印象。 二、 提出公理 1。板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS' 的含义. 2. 强调以下两点： (1)使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等. (2) 使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的 字母顺序写在对应位置上. 3. 板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程. 如图3-50，在△ ABC与AA' B' C'中，(指明范围) 三、应用举例、变式练习 1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习， 例 1 已知：如图 3-51, A

43、B=CB,ZABD=ZCBD.求证：AABD今ACBD. 分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可， 这可由公共边相等BD=BD得到. 说明：(1)证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公 共角相等、对顶角相等，等等. ( 2 )学习从结论出发分析证明思路的方法(分析法) . 分析：AABD今ACBD 因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB, CB夹两已知角的公共边 BD. (3) 可将此题做条种变式练习： 练习1(改变结论)如图3-51,已知AB=CB,ZABD=ZCBDO求证：AD=CD, BD 平分ZADCo 分析：在

44、证毕全等的基础上,可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等, 即AD=CD；对应角相等ZADB=ZCDB，即BD平分ZADCo因此，通过证明两三角形全 等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平 分线等等。 练习2(改变条件)如图3-51,已知BD平分ZABC, AB= CB•求证：ZA=ZC. 分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB=CB，所缺的其余条件分别 由公共边相等、角平分线的定义得出.这样,在证明三角形全等之前需做一些准备 工作.教师板书完整证明过程如下： 以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式. (4) 将题目中的图形加以有规律地图形

45、变换,可得到相关的一组变式练习,使 刚才的解题思路得以充分地实施,并加强例题、习题之间的有机联系,熟悉常见图 形,同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法. 练习 3 如图 3-52(c),已知 AB=AE, AD=AF,Z 1=Z2.求证：DB=FE. 分析：关键由Z1=Z2，利用等量公理证出ZBAD=ZEAFO 练习 4 如图 3-52(d),已知 A 为 BC 中点，AE//BD, AE=BD.求证：AD//CE. 分析：由中点定义得出AB=AC；由AE//BD及平行线性质得出ZABD=ZCAE. 练习 5 已知：如图 3-52(e), AE//BD, AE=DB.求证：AB

46、//DE. 分析：由AE//BD及平行线性质得出ZADB=ZDAE；由公共边AD=DA及已知证 明全等. 练习 6 已知：如图 3-52(f), AE//BD, AE=DB.求证：AB//DE, AB=DE. 分析：通过添加辅助线一一连结AD,构造两个三角形去证明全等. 练习 7 已知：如图 3-52(g) , BA=EF, DF=CA,ZEFD=ZCAB.求证：ZB二Z E. 分析：由DF=CA及等量公理得出DA=CF；由ZEFD=ZCAB及“等角的补角相等” 得出 ZBAD二ZEFC. 练习8已知：如图3-52(h), BE和CD交于A,且A为BE中点，EC丄CD于C, BD丄

47、CD 于 D, CE二丄BD.求证：AC=AD. 分析：由于目前只有边角边公理,因此,必须将角的隐含条件——对顶角相等 转化为已知两边的夹角ZB=ZE，这点利用“等角的余角相等”可以实现. 练习9已知如图3-52(i),点C, F, A, D在同一直线上，AC=FD, CE二DB, EC丄CD, BD丄CD，垂足分别为 C 和 D.求证：EF//AB. 在下一课时中，可在图中连结EA及BF,进一步统习证明两次全等. 小结：在以上例1及它的九种变式练习中,可让学生归纳概括出目前常用的证 明三角形全等时寻找非已知条件的途径. 缺边时：①图中隐含公共边;②中点概念;③等量公理④其它. 缺

48、角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平 分线定义; ⑤平行线的性质;⑥同(等)角的补(余)角相等;⑦等量公理;⑧其它. 例2已知：如图3-53,AABE和厶ACD均为等边三角形。求证：BD=EC. 分析：先选择BD和EC所在的两个三角形△ ABD与厶AEC，已知没有提供任一 证两个三角形全等所需的直接条件,均需由等边三角形的定义提供. 四、师生共同归纳小结 1. 证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个?边角边公理是 哪三个 条件? 2. 在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时,最典型的分 析问题的思路是怎样的?你体会这样做

49、有些什么优点? 3。遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手 寻找非已知条件? 五、练习与作业 练习：课本第 28 页中第 1 题，第 30 页中 1，3 题。 作业：课本第 32 页中第 6，7，8，9，10题。 课堂教学设计说明 本教学设计需 2课时完成。 1.课本第 3。5 节内容安排 3 课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理， 重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方 法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第 3 课时加以巩固并学 习解决应用题和两次全等的问题。 2. 本节将“理解全等三角形的判定

50、方法的必要性“列为教学目标之一，目的是 引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思 想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。 3. 本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目 标之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一 种技能加以强化。 4. 教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5 出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第 一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。 5. 教师可将例题 1和几种变式练习制成投作影片（图 3-52）提高课堂教学效率. 教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。 6. 本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找 非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列 齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表 达.学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学