4f系统的推导及作用

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1、信息光学原理论文 4f 系统的推导及作用 4f 系统是最典型的一种相干光学信息处理系统，其光路结构如图1所示。 由相干点光源S发出的单色球面波经透镜Lc准直为平面波垂直入射到输入平(即 物面)P上。P为频谱平面(即滤波面)，P为输出平面(即像面)，并且P平 1 2 3 3 面采用反演坐标系。L、L为一对傅里叶透镜，用来在由P面至P面之间进行 1 2 1 3 两次傅里叶变换。P、L、P、L、P之间距离依次均取为透镜的焦聚f，故此光 1 1 2 2 3 路系统常简称为4f系统。设光栅常数为d，缝宽为a，光路★沿方向的宽度为L 设输入的复振幅透过率为g(x,y )，则在它频谱面上的

2、频谱函数为： 11 G(f ,f )= F(g(x,y )} x y 1 1 如果在频谱面上插入一个滤波器，其复振幅透过率(或称滤波函数)为： H(f,f xy )=H 式中， h(x,y )称为滤波器的脉冲响应函数。则透过滤波器的光场复振幅分布为 11 G(f,f )H (f,f )，再经过透镜L作第二次傅里叶变换，在输出面P上产生光 x y x y 2 3 场复振幅分布g(x ,y )。在反演坐标中可表示为: 33 =g £ M h (X3, y3 ) 于是在此情况下，4f系统执行的函数g与函数h的卷积运算。其输出光强度分 布可表示为：

3、 3 3 3, y3 I(x ,y )= g(x ,y )*h(x 3 3 - - “ 如果在频谱面上插入滤波器，其复振幅透过率为： (f ,f )= H* xy 则在输出平面上得到的复振幅分布为： g (x , y )= F t (f ,f )H*(f ,f 3 3 x y x y 则它的透过率为 rect 二 * — comb d rect m=s (x - md、 (x ) —1 rect — l a丿 l b丿 工 rect 1-1) 在频谱面P2平面上将得到其频谱函数如下: T(g)= F £(*} a

4、 sin c (ag )• comb (dg )] * L sin c (L^ ) * sin c (Lg ) aL sin c (ag )•丄 X 8 g -— d l d m=s a^L • 乙 sine d m =s *sinc (Lg) aL艺 ~d m =-s . (am). sinc ——sinc l d丿 aL ] sinc (Lg )+sinc d I sinc + sinc sinc Llg+d 丿 + ••1 (1-2) 式中，g = x2『(九/ ), x2是频谱面上的位置坐标，g是同一平面上用空间频率表

5、2 示的坐标。为了避免各级频谱重叠，以便实现准确滤波，假定L》d。下面我们 将讨论在频谱面上放置不同的滤波器是，输出面上像场的变化情况。 1) 滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过，也就是说只让(1-2) 中的第一项(aLd)sinc(L )通过，则狭缝后的透射光场为 T (Q H ②=aL sinc (仪) (1-3) 式中，H (g)是狭缝的透过函数。于是在输出平面的场分布为 g(x )={f(g)H(g)}二—rectf(1-4) 3 d J L 丿 空间滤波的全部过程如图1-4所示。 2) 狭缝加宽能允许零级和正、负一级频谱通过，这是透射的频谱包括式 (a ]

6、 C 1) < a ] C 1) sinc L g-— + sin c sinc L J d丿 J d丿 J d丿 J d丿 1-2)中的前三项，即 T(g)H(g)= aL< sinc(Lg)+ sinc d I 于是输出平面上的场分布为 g(x )=b(g)H(g)} 3 s “ . (x ) =一 rect — + sinc — rect — exp 1 ” L 丿 h + sinc 'x ' rect — J L丿 ( x ) exp - j2兀— a r

7、 x) r a、 r 2兀 x、 — rect J t丿 1 + 2sin c cos 3 d Jd丿 J d丿 1-6) 空间滤波的全过程如图3所示。在这种情况下，像与物的周期相同，但由于高频 信息的丢失，像的结构变成余弦振幅光栅。 3) 滤波面放置双缝，只允许正负二级谱通过，这时系统透射的频谱为 T(g)H(g)= aL r 2a ' 2) ——sinc — < sinc L g-— d J d丿 1 J d丿 + sinc L g 1-7) 输出平面上的场分布

8、为 g(x )={tG)HG)}= 3 smc d rect (4兀x cos 3 I d 1-8) 在这种情况下，像的周期是物的周期的一半，像的结构是余弦振幅光栅，如 图4 所示。 4）在频谱面上放置不透光的小圆屏，挡住零级谱，而让其余频率成分通 过，这样透射频谱可表示为 1-9) T (g)H (g)= T (g)-匹 sinc (圧) d 像面上的光场分布正比于 g (x )= F {t(g )}— FIaLsincL(g )[ = t(x )- — rect -3 3 〔 d J 3 d (x ) 1 (x (x ) a (

9、x ) rect —3 — comb rect —3 —一 rect (a丿 d l L J d l L丿 1-10) 当a = d 2，即缝宽等于缝的间隙时，直流分量为12,像场的复振幅分布仍 为光栅结构，并且周期与物相同，但强度分布是均匀的，即实际上看不见条纹， 如图5所示。当a > df2，即缝宽大于缝隙时，直流分量大于12。去掉零级谱以 后像场分布如图 6 所示，对应物体上亮的部分变暗，暗的部分变亮，实现了对比 度反转。 系统实现了输入信息与滤波器脉冲响应的相关运算，此时系统可看作是一种 光学相关系统，可用于特征识别，或比较两幅图像之间的差异。