数据拟合与回归分析

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1、§6.3 数据拟合与回归分析 在对工程实践和科学实验的数据处理中，人们除了使用插值的方法来揭示数据间的 关系以外，使用数据拟合以及回归也能很好的描述数据之间的对应关系。 数据插值是在纯粹的自变量与因变量之间的数量关系上作分析；数据拟合则考虑如 何选择函数整体逼近所给的数据点列；数据的回归分析则考虑随机误差对原始数据的影 响，探讨如何选用函数即能反映数据之间的关系，又能使整体的误差最小。 对于点对（x,y ）,j=l,2,3,…,k,根据其特征用某种形式的函数 ii y = f （x, a , a ,・・・,a ） 1 2 n 来作为未知函数的近似表达式，其中a , a a为待定常

2、数。求函数f的问题即为数据 1 2 n 拟合。 在实际中常用到最小二乘拟合方法，其数学问题表述如下： min 丈（f （x , a , a a ） - y ）2。 i 1 2 n i i 二 1 —般多项式拟合公式：y = a xn-1 + a xn-2 +…+ a x + a。 n n-1 2 1 回归分析与拟合有着紧密的联系，针对回归函数的性质分为线性回归与非线性回归。 在实际应用中，为使预测值 （ 1 ）一元线性回归模型 设有数据点对（X ,y ）,j=l,2,3,…,k，存在关系 ii y =B +B x + £ , i = 1,2,…k i 0 1 i

3、其中0 o, 0 J称为回归系数，£ i是随机误差，它们相互独立，且服从正态N（0,b 2） 分布。对0 °，0 |通常用最小二乘估计求得。 （2） 多元线性回归模型 设随机变量y的取值依赖于x ,x ,…，x （其中每个x均为列向量），且有关系 1 2 p i fy = B + P x + P x + •…+ P x + £ J i 0 1 i1 2 i 2 p ip 〔 £ 〜N（0,b 2）, i = 1,2,... ,n, i 其中卩，P，…P，为回归系数，£为随机误差。 0 1 p i （3） 多项式回归模型 在一元回归中，点对（x,y ）,j=l,2,3,…

4、,k,是n-1次多项式的关系 y = a xn-1 + a xn -2 + + a x + a + £ n n -1 2 1 8是随机误差，且服从正态N (0,b 2)分布。 6.3.1 Matlab 中数据拟合与回归方法 在 Matlab 中常用 的拟合 与回归 的函数主 要有： polyfit, polyval, polyconf, polytool, regress 等。其使用格式分别如下所述。 POLYFIT 多项式拟合 POLYFIT(X,Y,N) [P,S] = POLYFIT(X,Y,N) [P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) 参数 N 整数，

5、拟合多项式的次数， P 拟合多项式系数， S 结构数组，包含Vandermonde矩阵(R)的Cholesky因子，自由度(df),残 差范数(normr)， MU 以 XHAT = (X-MU(1))/MU(2)此处 MU(1) = mean(X)，MU(2) = std(X)的方 式求拟合多项式系数。 POLYVAL 多项式求值 Y = POLYVAL(P,X) Y = POLYVAL(P,X,[],MU) [Y,DELTA] = POLYVAL(P,X,S) [Y,DELTA] = POLYVAL(P,X,S,MU) 参数 P 是一个长度为N+l的向量，其元素是关于

6、X的多项式的系数，其多项式为 Y = P(1)*X'N + P(2)*X'(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1)， X，Y多项式在自变量X上的值为Y， S 由polyfit所得，包含Cholesky因子，自由度，残差范数， MU 由polyfit所得，按XHAT = (X-MU(1))/MU⑵方式求多项式在X的值，DELTA 按 S 中残差范数求 Y +/- delta. ，如输入数据的误差是独立且有常数方差的 正态分布，Y +/- delta•至少包含50%的预测值；若MU是用户自行设置的， 则Y +/- delta.包含100 (1-MU) %的预测值，缺省值取

7、MU=0.05。 POLYTOOL数据点对(x,y)的多项式拟合及交互图形窗口 POLYTOOL(X，Y，N，ALPHA) 给出用N阶多项式拟合(X,Y)数据，并用两条红线界定出100 (1-alpha) %置信区 间。N的缺省值为1，alpha的缺省值为0.05。 REGRESS 多元线性回归(最小二乘意义) b = REGRESS(y,X) [B,BINT,R,RINT,STATS] = REGRESS(y,X,alpha) 参数 b,B 返回线性模型y = Xb的系数b,其中X是n*p矩阵，y是n*xl向量 ALPHA 置信水平默认为 0.5 R 残差向量 BINT

8、 回归系数的 100(1-ALPHA) RINT 残差向量的 100(1-ALPHA) STATS 复相关系数R2,F统计量的值,相应于F值的概率p。 6.3.2 Matlab 的拟合与回归应用实例 设有某地银行两年的月度数据(矩阵形式),其每一列分别表示的数据为：银行存款 余额,居民储蓄余额,银行贷款余额,工业贷款,农业贷款,商业贷款。 a=[ 20.0442 5.0801 32.6862 11.5121 1.0186 17.8314 19.8662 5.2095 30.4551 10.8267 0.9509 16.3498 20.6344 5.3483

9、 30.0928 10.5595 0.9389 17.1787 20.4513 5.4662 31.3867 10.7064 1.0010 17.3970 21.3014 5.5764 31.1999 10.8107 0.9753 16.9232 21.7255 5.7351 32.3984 11.1469 0.9998 17.6053 21.7779 5.9342 32.7861 11.3764 1.0628 17.6373 21.9623 6.0900 32.7021 11.6070 1.0628 17.1927 22.3

10、038 6.1445 33.2664 11.7447 1.1495 17.4934 22.6467 6.2642 33.3753 11.9020 1.2037 17.3428 23.2654 6.3423 34.3972 12.2719 1.2513 17.8713 24.1916 6.1100 36.2800 13.2744 1.3162 18.3418 23.6708 6.8130 35.8964 11.2928 1.3245 18.2154 23.5377 6.8250 35.0123 11.1205 1.3425 1

11、8.1564 22.9243 6.9481 34.1256 10.8515 1.3851 17.6598 23.5368 7.2351 34.0125 10.5609 1.4752 17.1229 23.7164 7.5239 33.8959 11.9299 1.5229 17.5946 24.0902 7.8086 35.2593 12.2956 1.5409 17.9467 25.3089 8.0829 36.3357 12.8616 1.8051 18.0819 25.3748 8.3127 36.0356 12.681

12、3 1.6726 17.8218 25.6301 8.4355 37.5441 13.0538 1.7181 19.1278 26.2808 8.5814 38.2627 13.1585 1.7880 20.5607 26.6766 8.6808 38.6056 13.0315 1.6908 20.2338 28.4100 7.6600 41.3959 14.7666 1.5702 20.7094] 。 例 1 拟合居民储蓄余额,作线性,二次,三次多项式拟合。 作一次拟合 x=(1:24)'; p=polyfit(x,a(:,2),1)

13、; y=polyval(p,x); res=a(:,2)-y; plot(x,a(:,2),'-o',x,y,'+-'); figure; plot(x,res,'+-'); 采用一次多项式拟合的曲线及误差曲线图 作二次拟合 x=(1:24)'; p=polyfit(x,a(:,2),2); y=polyval(p,x); res=a(:,2)-y; plot(x,a(:,2),'-o',x,y,'+-'); figure; 采用二次多项式拟合的曲线及误差曲线图 作三次拟合 x=(1:24)'; p=polyfit(x,a(:,2),3); y=polyval(p,x

14、); res=a(:,2)-y; plot(x,a(:,2),'-o',x,y,'+-'); figure; plot(x,res,'+-'); 置信区间(红色曲线)的情况，调整的degree(拟合多项式的次数)的值，则在图形窗口 立即给出新的拟合曲线及置信区间。 p=polytool(x,a(:,2),6); 例 3 建立银行存款余额与居民储蓄余额的线性回归方程。这是一元线性回归问题 ,其解 决的方式有两种：其一是应用多项式拟合函数；其二是用解线性方程组。 方式1.设银行存款余额为y=a(:,l)，居民储蓄余额为x=a(:,2) p=polyfit(x,y,1);

15、 即最好的拟合直线为 y = 1.7175x+ 11.6976. 用 y1=polyval(p,x) 求 得 回 归 值 ， 可 作 图 观 察 其 回 归 直 线 与 原 数 据 点 的 情 况 plot(x,y,'.','-+r')。 plot(x,y1,'-o',x,y,'-o') 方式 2. y=a(:,1); x=[a(:,2) ones(size(y))]; p=x\y; y1=x*p. 例 4. 建立银行存款余额与居民储蓄余额、银行贷款余额、工业贷款、农业贷款、商业贷 款之间的线性回归方程。 方式 1. 解线性方程组。 y=a(:,1); x=[a(:

16、,2:6),ones(size(y))]; p=c\y; 得到线性回归方程 y=1.0552*x1+0.5751*x2+0.2754*x3-1.9128*x4-0.2415*x5-0.0449 y1=x*p; plot(y,'.'); hold on; plot(y1,'r+-') 29 I— 28 - 27 - 26 - 25 - 24 - 23 - 22 - 21 - 20 - 19—— 方式 2 使用多元线性回归函数 y=a(:,1); x=[a(:,2:6),ones(size(y))]; [b,bint,r,rint,stats]=regre

17、ss(y,x); 回归系数估计值： b =[1.0552, 0.5751, 0.2754, -1.9128, -0.2415, -0.0449] '。 其回归方程为： y=1.0552*x1+0.5751*x2+0.2754*x3-1.9128*x4-0.2415*x5-0.0449 回归系数置信区间： bint 0.2981 1.8123 0.3081 0.8421 -0.1005 0.6514 -5.1680 1.3425 -0.6721 0.1891 -3.6459 3.5562 。 残差向量： r =[ -0.9852，-0.3152 ，0.7657，-0.154

18、9，0.4941，0.1805，-0.1352 ，-0.2378，-0.0778， 0.1002，0.1656，0.2158，-0.2951，0.1352，-0.0625，0.4349，0.2049，-0.4870，0.2053 -0.0653，-0.5073，0.0271，-0.1091，0.5031]'。 残差向量置信区间： rint -1.5527 -0.4177 -1.1421 0.0885 0.5117 1.4430 -0.9948 0.6851 -0.3285 1.3167 -0.6706 1.0315 -1.0051 -1.0370 0.7347

19、0.5614 -0.9603 0.8048 -0.7745 0.9749 -0.7125 1.0437 -0.4909 -1.0259 0.9224 0.4357 -0.6803 0.9507 -0.8878 0.7628 -0.2637 1.1335 -0.6222 -1.2982 1.0320 0.3241 -0.4764 0.8870 -0.8338 0.7032 -1.3175 0.3029 -0.6008 -0.8436 0.6551 0.6254 -0.0372 检验统计量： 1.0434 。 复相关系数R2, F统计量的值，相应于F统计量值的概率p。 stats =[ 0.9708 119.4822 0.0000]