空间曲线的切线与法平面

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1、一、空间曲线的切线与法平面一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.设空间曲线的参数方程为 x(t),y(t),z(t),这里假定(t),(t),(t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0,y0,z0)和M(x0+x,y0+y,z0+z)当MM0,即t0时,)()()(000000tzztyytxx zzzyyyxxx000 或作曲线的割线MM0,其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 zzzyyyxxx000 或tzzztyyytxxx00

2、0 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 x(t)y(t)z(t)这里假定(t),(t),(t)都在 上可导)()()(000000tzztyytxx 过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为 向量T(t0)(t0)(t0)称为曲线在点M0的切向量.通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面,其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 一、空间曲线的切线与法平面zyxo例例1.求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002Ryk

3、RzRxk即解解:由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy,kz),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在),0,(kRT,故讨论:1.若曲线的方程为y(x)z(x)则切向量T?提示:1.曲线的参数方程可视为:xx y(x)z(x)切向量为T(1(x)(x)曲线x(t),y(t),z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(t0)(t0)(t0)2.若曲线的方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,则切向量T?2.两方程可确定两个隐函数:y(x)z(x)切向量为T(1(x)(x)而(x)(x)要通过解方程组得到.例例2.求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,2,1)处的切线方

4、程与法平面方程.xxzzxyydddd解解.方程组两边对 x 求导,得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0 zx点 M(1,2,1)处的切向量011)1,0,1(T0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(,)(,)(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为

5、0.则 在,)(,)(,)(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.)(,)(,)(000tttTMT证:在 上,)(,)(,)(:tztytx0)(,)(,)(tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量n的平面上,从而切

6、平面存在.n)(),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)(),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)(),(000 xxyxfx曲面时,),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别,

7、当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程,法向量法向量用2211cosyxff将),(,),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx例例3.求椭球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程)1(2x03694zyx即法线方程法

8、线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n解,1),(22 yxyxf(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)nxy(4,2,1),切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx,0624 zyx法线方程为.142142 zyx例例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.221,zxy例例5.确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面,),(0000001yxzxzyn),(0002zyxn 21/nn,因此有20y20z2例例6.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl作业：作业：p-100 习题习题9-63，4，5，8,10