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1、高中数学必修高中数学必修5 1.1.1正弦定理正弦定理库尔勒市第三中学 冶金兰在RtABC中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证法1:(2)若三角形
2、是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2R思考求证:证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系
3、来证明.证明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：已知两角和一边，求其他角和边.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin定理的应用例 1在ABC 中，已知c=10,A=45。,C=30。求 a,b(精确到0.01）.解：且 105C)(A180 BCcBbsinsin b=C
4、Bcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角CcAasinsina=CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=75，B=45，c=求a，b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a，c.a=,c=3434 3233ba练习例 2 已知a=16，b=，A=30.求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或
5、120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,或180025.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac变式:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,5
6、7.49sinsinACaca b A B,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和角角1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c=313(2)b=40，c=20，C=45.练习注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?课后思考课后思考ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解
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