数二考研公式

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1、 导数公式： (tgx )' = sec 2 x (ctgx )' = — csc 2 x (sec x)' = sec x - tgx (csc x)' = — csc x - ctgx axln a (log x ln a 基本积分表： J tgxdx In cos x + C 高等数学公式 J ctgxdx =In sin x + C (arcsin x )'= (arccos x )'= ( arctgx )'= 1 ( arcctgx ) = J dx cos 2 J dx 1 x sin \：1 — x

2、2 V'1 — x 2 = J sec 2 xdx =tgx + C = J csc 2 xdx =一 ctgx + C sec xdx =In sec x + tgx | + C 2x csc xdx =In esc x —ctgx | + C sec -tgx dx sec x a2 + x2 =—a a dx 1 x 2 — a 2 2a dx 1 a2 — x2 2a dx —a dx 1 v'a 2 — x2 + C a+x In + C a sin n xdx = J2 cos n xdx 0

3、2 + a 2 + 2 J H x2 + a 2 dx x2 一 a 2 dx x 一 x2 dx 2 三角函数的有理式积分： 2u 1 一 u2 sin x = cos x = u = tg csc a x dx J shxdx J chxdx -ctgxdx ax dx ln a = chx = shx =一 esc x + C n—2 a2 ln( 2 a2 In 2 a2 x arcsin — + C 2a 2 du dx =

4、 一些初等函数： 双曲正弦 : shx = e x —e — x 2 e x + e 一 x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x 双曲正切 : thx = chx ex arshx = ln（ 1 x + \ x2 + 1） archx = ± ln（ x + ' / V x 2 —1） 1 1 + x arthx = ln

5、 2 1 — x + e - x —e - x 两个重要极限： sin x lim = 1 x T 0 x lim （1 + 丄）x = e = 2.7182818284 59045 ... x T g x 三角函数公式 •诱导公式： 函数 角a\^ sin cos tg ctg -a -sina cosa -tga -ctga 90°-a cosa sina ctga tga 90°+a cosa -sina -ctga -tga 180°-a sina -cosa -tga

6、-ctga 180°+a -sina -cosa tga ctga 270°-a -cosa -sina ctga tga 270°+a -cosa sina -ctga -tga 360°-a -sina cosa -tga -ctga 360°+a sina cosa tga ctga 和差角公式： sin（ a ± 卩）=sin a cos 卩 土 cos a sin 卩 cos（ a ± P ） = cos a cos 卩 + sin a sin 卩 tg a ± tg 卩 tg （a ± 卩）= 门 1 + tg

7、a - tg 卩 Ctg a - ctg 卩 + 1 Ctg （a ± 卩）= ctg P ± ctg a •和差化积公式： a + P a — P sin a + sin p = 2 sin cos - 22 a + p . a — p sin a — sin p = 2 cos sin - 22 a + p a — p cos a + cos p = 2 cos cos - 22 a + p . a — p cos a — cos p = 2 sin sin - 22 倍角公式： sin 3a = 3 sin a - 4 sin 3 a sin 2a =

8、2 sin a cos a cos 2a = 2 cos 2 a - 1 = 1 一 2 sin 2 a = cos 2 a 一 sin 2 a ~ ctg 2a 一 1 ctg 2a = 2 ctg a 〜 2 tg a tg 2a =- 1 一 tg 2a cos 3a = 4 cos 3 a 一 3 cos a tg 3a 3 tg a - tg 3a 1 一 3 tg 2a 半角公式： a '1 一 cos a sin = 土 2 2 a ,1 一 cos a 1 一 cos a sin a tg = ± =

9、= 2 1 + cos a sin a 1 + cos a a '1 + cos a cos — = ± 2 2 a , ,1 + cos a 1 + cos a sin a ctg = ± = = 2 1 一 cos a sin a 1 一 cos a 正弦定理： a sin A b sin B 余弦定理： c2 = a2 + b2 一 2 ab cos C sin C •反三角函数性质: arcsin x = — 一 arccos 2 兀 arctgx = — 一 arcctgx 2 高阶导数公式——莱布尼兹(L

10、eibniz )公式: （uv ）（n）= £ C ku（ n - k ） v （k ） n k=0 =u（n）v + nu（n—i）v n（n 一1） n（n + u（n - 2） v + ….+ 2! 一 1）…（n 一 k + 1） u （"一k）v（k）+ …+ uv（n） k! 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理： f (b) - f (a) = f'忆)(b - a) 柯西中值定理： 当F(x) = x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。 曲率: 弧微分公式： ds = \；1 + y'2 dx ,其中y' = tg a 化量； A s

11、： M M 弧长。 — A a 平均曲率：K = ——.Aa :从M点到M '点，切线斜率的倾角变 A s M点的曲率： K = lim A s T 0 Aa A s 直线： K = 0; 半径为 a的圆： 1 K =—. a 定积分的近似计算: ff y > V（1 + y '2）3 d a ds 矩形法：J f (x)〜——(y + y + …+ y ) n 0 1 n-1 a 梯形法：J f (x) = b "[1( y + y ) + y + …+ y ] n 2 0 n 1

12、n-1 a 抛物线法：J f (x) - [(y + y ) + 2(y + y + …+ y ) + 4(y + y + …+ y )] 3n 0 n 2 4 n-2 1 3 n-1 a 定积分应用相关公式： 功：W = F - s 水压力：F = p - A mm 引力：F = k i 2 ,k为引力系数 r2 函数的平均值：y = J f (x)dx b-a a 1 均方根： J f 2 (t) dt b - a a =Mm 1 2 Pr j AB u 空间 2 点的距离： \' ( x — x )2 + (y — y )2 + (z — z

13、 )2 2 1 2 1 2 1 |aB |-cos申,申是AB与u轴的夹角。 空间解析几何和向量代数： u 1 2 1 2 a • b = la 1- b cos 0 = ab + a b + a b , 是一个数量 xx yy zz a b + a b + a b 两向量之间的夹角 ： cos 0 =I1 y y i pa 2 + a 2 + a 2 • b 2 + b 2 + b 2

14、 x y z x y z i j k c = a x b = a a a , k =a I- b sin 0 .例: 线速度： v = w x r. x y z b b b x y z a a a x y z 1 1 向量的混合积： [ab 门=( a x b ) - C = b b b = a x b

15、 -lc Icos a, a为锐角时, x y z c c c xy z 向量在轴上的投影 Pr j (a + a ) = Pr ja + Pr ja 代表平行六面体的体积 平面的方程： 1、 点法式： A(x 一 x ) + B (y 一 y ) + C (z 一 z ) = 0,其中 N = {A, B, C}, M (x , y , z ) 00 000 2、 一般方程： Ax + By + Cz + D = 0 3、 截距世方程：王+ —

16、 ab 平面外任意一点到该平 面的距离： Ax + By + Cz + D 0 0 0———— x = x + mt 0 空间直线的方程： 0 = t,其中s = {m, n, p};参数方程: y = y + Nt 0 Z = Z + pt 0 二次曲面： 1、椭球面： x2 一 + a2 y2 + b2 巴=1 c2 2、抛物面： x2 y 2 + 二 z(, , q 同号） 2p 2q 3、双曲面： 单叶双曲面 x2 y2 + — z2 =1 a2 b2 c2 双叶双

17、曲面 x2 y2 z2 + - =1（马鞍面） a2 B 2 c2 多元函数微分法及应用 全微分：dz = dx + dy dx dy du d u d u d u =—dx + dy + dz dy dz 全微分的近似计算： Az - dz =/ (x, Y) A x + / (x, y ) A y dz d z d u d z dv z = / [ U (t), V (t)] - + dt du dt dv d t d z d z du dz d v z = / [U (x,

18、 Y), v (x, Y)] - + - — dx du dx dv dx ^当 u = u (x, y), v = v (x, y)时， d u d u dv d v du = dx + dy dv =—dx + dy dx dy dx dy 隐函数的求导公式： 隐函数 F(x,y) = 0 dy F 一 兀, d2 y d dx F y dx 2 dx dz F d z F 隐函数 F(x,y

19、,z)= 0, =— ~ , — dx F z dy F z x Y 多元复合函数的求导法 dy J)+ —(-仃)- F dy F dx F F (x, y , u , v) = 0 d F d F F F u v G G u v Q u 丄 Q (F , G ) Q v Q (F , G ) Qx J Q(x,v) Qx J Q(u, x) Q u 丄 Q (F , G ) Q v Q (F , G ) Qy J Q(y,v) Qy J Q(u, y) 隐函数方

20、程组： ] I G (x, y , u , v) = 0 多元函数的极值及其求法： 设 f (X , y ) = f (x , y ) = 0，令: x 0 0 y 0 0 f (x , y ) = A, xx 0 0 f (x , y ) = B, xy 0 0 f (x , y ) = C yy 0 0 「 斗「A AC — B 2 > 0 时，< I A 贝y： ] AC — B 2 < 0时， < 0,(X , y )为极大值 00 > 0,(x ,y )为极小值 00 无极 值 AC — B 2 = 0时， 不确定 重积分及其应用： JJ

21、 f (x, y) dxdy = JJ f (r cos 9 , r sin 0 ) rdrd 9 曲面z = f (x, y)的面积 A = JJf + D (Q x丿 0)的引力: F = { F , F , F }，

22、其中： xyz F = f JJ- p (x, y) xd Q x =f JJ- P(x,y)ydQ ■3 =-fa JJ- p (x, y) xd Q 微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y '= 可分离变量的微分方程 f (x, y) P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 ：一阶微分方程可以化 为 g ( y ) dy = f ( x ) dx 的形式，解法： J g (y)dy =J f (x)dx 得：G(y) = F (x) + C称为隐式通解。 齐次方程：一阶微分方 程可以写成 =f (x, y) = 9 (

23、x, y)，即写成'的函数，解法: dx dx du =u + x ， dx du u + =9 (u—= 分离变量，积分后将 dx x 9(u) — u 2代替u, x 即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程： 1、 一阶线性微分方程： 空+ P (x) y = Q (x) dx ,/当Q (x) = 0时,为齐次方程，y = Ce」P(x)dx [.当 Q(x)丰 0时，为非齐次方程， y = (f Q(x)e『P(x)dxdx + C)e」P(x)dx 2、 贝努力方程： + P(x)y = Q (x)yn,(n 丰 0,1) dx 全微分方

24、程： 如果P(x, y)dx + Q (x, y)dy = 0中左端是某函数的全微 分方程，即： d u d u du (x, y) = P(x, y)dx + Q (x, y)dy = 0,其中： =P(x, y )， = Q (x, y) d x d y u(x, y) = C应该是该全微分方程的 通解。 二阶微分方程： d 2 y dy / f (x)三0时为齐次 + P (x) + Q (x) y = f (x ),；. dx 2 dx \f (x)丰0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*) y"+ py'+ qy = 0,其中 p, q为常数

25、； 求解步骤： 1、 写出特征方程：(A)r2 + pr + q = 0,其中r2，r的系数及常数项恰好是 (*)式中y ”, yy的系数; 2、 求出(A)式的两个根r , r 12 3、根据 r ,r 的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解： 12 r， r的形式 1 2 (*)式的通解 两个不相等实根(p 2 - 4q > 0) y = c e[x + c er2x 1 2 两个相等实根(p 2 - 4q = 0) y = (c + c x)erix 1 2 一对共轭复根(p2 - 4q < 0) r = a + i B， r = a - i B 1 2 f Pc v'4 q - p2 a = - ， B = 2 2 y = e 以(c cos Bx + c sin Bx) 1 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+ py'+ qy = f(x)， p,q为常数 f (x) = e xP (x)型，九为常数； m f (x) = e 人x [ P (x) cos ①x + P (x) sin ①x]型 ln