(相似三角形)证明题

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1、1、如图，△ABC中，三条内角平分线交于D，过D作AD垂线，分别交AB、AC于M、N，请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。 2、如图，AD为△ABC的高，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，试判断∠ADF与∠AEF的大小，并说明明理由， 3、如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且∠CAD=∠ADE=∠B，AC：BC=1：2，设△EBD、△ADC、△ABC的周长分别为m1 、m2、m3，求的值， 4、如图，已知△ABC中，D为BC中点，AD=AC，DE⊥BC，DE与AB交于E，EC与A

2、D相交于点F，（1）△ABC与△FCD相似吗？请说明理由；（2）若S =5，BD=10，求DE的长。 5、AD是△ABC的高，E是BC的中点，EF⊥BC交AC于F，若BD＝15，DC=27，AC=45. 求AF的长。 6、已知:如图，在△PAB中,∠APB=120O,M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形。 求证: BMPA=PNBP 7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。 8、已知：如图，在△ABC中，AB=15，A

3、C=12，AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D，DE∥AB交AC的延长线于点E。 9、已知: 如图，四边形ABCD中，CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD，DE⊥CD交AB于E，连结CE，求证：DE2=AE•CE 10、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长. 11、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正

4、方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 12、已知：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，，BC＝36cm,AD＝12cm 。 求：矩形FGNI的周长。 13、已知:如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。求证:ΔAFG∽ΔAED。 14、己知:如图,AB∥CD,AF=FB,CE=EB. 求证:GC2=GFGD.  15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE. 求证:AE2=ADAF. [提示：延长AE、BC交于G，先证ΔADE

5、≌ΔGCE，ΔGCE∽ΔAEF] 16、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长 17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DM⊥CE,AB=6,求DM的长。 18、己知:如图,AD是ΔABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F. 求证:FD2=FBFC. [提示:连结AF] 19、已知:如图,ΔABC中,∠ACB=900,F为AB的中点,EF⊥AB.求证:ΔCDF∽ΔECF.

6、 20、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB. 21、已知:如图,DE∥BC,AD2=AFAB。求证:ΔAEF∽ΔACD。 22、已知:如图,ΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,DE⊥BC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长 23、已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:ABBC=ACCD. 24、已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP. 求证:CE

7、2=EDEP. 25、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD. 26、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:ΔDBE∽ΔABC. 27、如图，∠B=900，AB=BE=EF=FC=1。求证：ΔAEF∽ΔCEA. 28、如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAD=90，对角线BD⊥DC。 （1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由。 （2）如果AD=4，BC=9，求BD的长。 29、已知，如图，在正方形AB

8、CD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？ 30、已知：如图所示，D是AC上一点，BE//AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2。则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由 31、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，ACAE=AFAB吗？说明理由。 32、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF 分别交AB、 33、如图,已知△ABC中，∠AC

9、B=90，AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求证:AFBE=2S. 45 A E F B C 34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30，求AE的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长. A C E F D B A F E M C D G B 第5题图 35、将正

10、方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,（1）如果M为CD的中点,求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5.（2）如果M为CD上任一点,设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x（即DM=x）的代数式表示；若无关,请说明理由. A D C M 图① B A D C 图② B 36、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①，（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价

11、为8元/㎡，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡，应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变（如图②）请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC，并说明你的理由. 37、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长. B C D M N E A

12、 A P Q B C M A P Q B C 38、如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上.（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.（3）试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ的长. A D C B 39、操作:如图,在正方形ABCD中,P为CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重

13、合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究:（1）观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?并说明你的结论.（2）当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BCP的周长比是多少? 40、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F. A D B F E N M C 求证:（1）=；（2）△BCE∽△ADM；（3）AM与BE互相垂直. A Q P D C B 41、如图,在矩形ABCD中,AB=12

14、㎝，BC=6㎝,点P沿AB边从点A开始向点B以2㎝/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1㎝/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）,那么（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似? A D C E B 42、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.（1）求证:BEAD=CDAE；（2）根据图形特点,猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图形中已有线段的一组

15、比即可），并证明你的结论. A B C E D M H K 43、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:（1）△AED∽△CBM；（2）AECM=ACCD. 44、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DBCE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40，求∠DAE的度数 A B C E D

16、 A B P D Q C 45、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,（1）求证:△ADQ∽△QCP；（2）在现在的条件下,请再写出一个正确结论. 46、如图,在△ABC中,∠BAC=90D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.（1）求证:△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似?如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件, △ABE和△ADC一定相似. A B D E C 47、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,

17、 A B D E C F EC与AD相交于点F.（1）求证:△ABC∽△FCD；（2）若S△FCD=5,BC=10,求DE的长. 48、已知,梯形ABCD中,AD∥BC,AD

18、D A P A Q B E P F C 49、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点（点P与点A重合,但不与点B重合），过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于点Q,设BP=x，AQ=y.（1）写出y与x之间的函数关系式：（2）当BP的长等于多少时,点P与点Q重合；（3）当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围. 50、如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n（m、n＞0），取CF的中点D，连结A

19、D并延长交BC于点E。（1）求BE∶EC的值；（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）E点能否成为BC中点？若能，求出相应的ｍ∶ｎ，若不能，证明你的结论。 A F B C D E 51、如图,已知，在△ABC中,BA=BC=20㎝，AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x， B P A C Q （1）当x为何值时,PQ∥BC；（2）当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC的值

20、；（3）△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由. B E A C D 52、如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45,∠BDC=60，CE⊥BD于E,连结AE.（1）写出图中所有相等的线段,并加以说明；（2）图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比. 53、如图，在⊿ABC（AB>AC）的边AB上取一点，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP：CP=BD：CE

21、 B C D A E 54、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，DC⊥BC，与AD交于点D． 求证：AC2＝AEAD．提示：证明△AEC∽△ACD． B C D A E F 55、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90，AD⊥BC于点D，点E是AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F． 求证：△AFD ∽△DFB． 56、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AC于点O，交AB于点E，交CB的延长线于点F，求证：AO2＝OE OF． B C D A F E O 57、已知：如图，ΔABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF＝135． （1）求证：ΔECA∽ΔCFB； （2）若AE＝2，设AB＝x，BF＝y，求y与x之间的函数关系式，并求定义域； B C A E F （3）若点P（a，b）在上述（2）中的函数图象上移动，点P到点M（0，1）的距离为PM，P到x轴的距离为PN，PM－PN的值有变化吗？若认为没有变化，请简要说明理由；若认为有变化，请加以证明． （1）略；（2）y＝x2（x＞0）；（3）PM－PN＝1，不变