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1、高等数学上高等数学上 第五讲第五讲第一章第一章第二节第二节数列的极限数列的极限2定理定理1.1.假设数列收敛假设数列收敛,那么其极限独那么其极限独一一.baxb+证证:假设假设xn 收敛收敛,但极限不独一但极限不独一,2ab 无妨设无妨设bN1时时,|,2nabxa N2,当当 n N2 时时,|,2nabxb 取取N=maxN1,N2,那么当那么当nN时时,上两式同时成上两式同时成立立.从而当从而当 nN时时,有有.22ababab矛盾矛盾,故极限独一故极限独一.)()(axbxnn假设假设 0,正整数正整数N,使得当使得当nN 时时,都有都有|xna|0.2a ,由极限定义，由极限定义，自
2、然数自然数N,当当nN时时,有有|,2naxa .22naaaxa即即定理定理3.(3.(保号性定理保号性定理)假设假设limnnxa ,而而a0(aN时时,有有xn0(xnN 时时,0.22naaxa 类似可证类似可证a0,正整数正整数N,使得当使得当nN 时时,都有都有|xna|NnN时时,limnnxa,那么那么 有有 xn 0(xn 0).且且a0(a0).lim0(lim0).nnnnxx 即即证证:假设假设a N1时时,有有xn N2(N)时时,有有xn 0,xn 0,也只能推出也只能推出 a a 0,0,lim0.nnx 即即nnnxxx在在数数列列中中任任意意抽抽取取无无限限多
3、多项项并并保保持持这这些些项项在在原原数数列列中中的的先先后后次次序序，这这样样得得到到的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列的的子子数数列列（或或定定义义：子子列列）12,knnnxxx例如，例如，*12,inx xxx定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限一样收敛数列的任一子数列也收敛且极限一样x1x2x3x1 nxnx三三.收敛准那么收敛准那么满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调添加单调添加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM例例5 5.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1
4、nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假假定定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx,),2,1()1(1nxnnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在.(P22.(P22P23)P23)证证:利用二项式公式利用二项式公式,有有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn
5、)1(1!21n)1(1!31n)1(2n例例6.设设nnnnnnnnnnnnnbCabCbaCbaCaCba11222110)（nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又又比较可知比较可知根据准那么根据准那么 2 2 可知可知数列数列nx记此极限为记此极限为 e,e,ennn)1(lim1 e e 为无理数为无理数,其值为其值为590457182818284.2e即即有极限有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213nn!n2数列数列:研讨其变化规律研讨其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、准确定义、几何意义极限思想、准确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:独一性、有界性、保号性、子数列的收敛性独一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.作业：作业：P56 习题一习题一 1713，1811923211收敛准那收敛准那么么
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