MATLAB数学建模

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1、基于MATLAB的高等数学实验主 讲:张 朝 元数学与计算机学院应用数学教研室_.3.-4.第一章第一章 MATLABMATLAB基本知识基本知识 第二章第二章 MATLABMATLAB矩阵和数组计算矩阵和数组计算第三章第三章 MATLABMATLAB符号运算符号运算第四章第四章 MATLABMATLAB绘图绘图第五章第五章 MATLABMATLAB语言的程序设计语言的程序设计第六章第六章 MATLABMATLAB应用应用一、一、MATLABMATLAB简介和特点简介和特点 二、二、MATLABMATLAB的安装与启动的安装与启动三、三、MATLAB MATLAB 基本知识基本知识四、四、MA

2、TLABMATLAB基本操作基本操作 上机练习上机练习 第一章第一章 MATLABMATLAB基本知识基本知识 MATLAB 是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，是由美国MathWorks 公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的，功能强大、操作简单的语言。主要特点：主要特点：运算符和库函数极其丰富，语言简洁，编程效率高，既具有结构化的控制语句,又有面向对象的编程特性。图形功能强大。功能强大的工具箱。易于扩充。Back1、MATLAB的运行方式：命令行方式和M文件方式 例1.1、求矩阵 ，的和。3652A0297B2、MATLAB的窗口 3、MATL

3、AB的帮助系统 4、“clear”命令和“clc”命令 Back1、MATLAB的常用操作键 表1.1 命令窗口常用功能键功能键功能，Ctrl-p重新调入上一命令行，Ctrl-N重新调入下一命令行，Ctrl-B光标左移一个字符，Ctrl-F光标右移一个字符Home，Ctrl-A光标移到行首End，Ctrl-E光标移到行尾Esc清除命令行Del，Ctrl-D删除光标处字符Backspace删除光标左边字符Ctrl-K删除至行尾2、MATLAB的变量和函数 MATLAB的变量命名规则：变量必须以字母打头，之后可以是任意字母、数字或下划线；变量名区分字母大小写；变量名不能超过19个字符。调用单值函数

4、格式：变量名=函数名（P1，P2）P为输入参数 表1.2 MATLAB中特殊变量名 变量名称含义ansMATLAB默认变量pi圆周率eps计算机中的最小数，inf无穷大，如1/0NaN不定值，如0/0、i(j)虚数单位nargin所用函数的输入变量数目nargout所用函数的输出变量数目reamin最小可用正实数realmax最大可用正实数522/表1.3 基本函数表 函数名称功能函数名称功能sin正弦fix朝零方向取整cos余弦ceil朝正无穷大方向取整tan正切floor朝负无穷大方向取整cot余切round四舍五入到整数sec正割rem除后取余数csc余割sign符号函数asin反正弦a

5、bs绝对值acos反余弦angle复数相角atan反正切imag复数虚部acot反余切real复数实部asec反正割conj复数共轭acsc反余割log10常用对数sinh双曲正弦log自然对数cosh双曲余弦expe为底指数tanh双曲正切sqrt平方根coth双曲余切 运算符号：+、-、*、/、3、数字变量的运算及显示格式四种显示格式：short 小数点后4位（默认）long 小数点后14位short e 5位指数形式 long e 15位指数形式4、数据的输入输出函数变量名=input（提示信息）输出函数 从键盘输入数据 disp（输出项）5、MATLAB的符号表达式 定义方式：变量名=

6、表达式 6、逻辑关系运算表1.5 逻辑关系运算表关系运算符关系运算符功能功能逻辑运算符逻辑运算符功能功能=等于&逻辑与=不等于/逻辑或大于=大于等于1.计算 的值；2求 ；3计算 ；4求 的值；5求15、35的最大公因数；6.计算3.14朝零取整；7用变量名y1表示方程8熟悉MATLAB的各窗口。50cos323xx3ln43tan4e 上机练习上机练习 第二章第二章 MATLABMATLAB矩阵和数组计算矩阵和数组计算一、矩阵的建立一、矩阵的建立二、矩阵元素的操作二、矩阵元素的操作三、矩阵的基本运算三、矩阵的基本运算四、矩阵的线性变换四、矩阵的线性变换五、矩阵的分解五、矩阵的分解六、向量运算

7、六、向量运算七、多项式运算七、多项式运算一、矩阵的建立一、矩阵的建立直接输入矩阵的元素 利用函数创建zeros 零矩阵 ones 常数矩阵 eye 单位矩阵rand 均匀分布的随机矩阵randn 正态分布的随机矩阵linspace 线性等间隔向量 logspace 对数等间隔向量利用数据文件装入利用矩阵编辑器（Matrix Editor）创建二、矩阵元素的操作二、矩阵元素的操作1、选取矩阵中某些元素而构成新的矩阵或数组 b=a（m行：n行，r列：s列）表示从a中抽出m到n行、r到s列b=a（：，r列：s列）表示所有行均选b=a（m行：n行，：）表示所有列均选c=a（m，r）表示第m行r列元素被

8、选中 2、小矩阵拼成大矩阵 大矩阵c=a;b把b的元素补进a矩阵中 三、矩阵的基本运算三、矩阵的基本运算1、矩阵的四则运算加（+）、减（-）乘法（*）、点乘（.*）除法（左除和右除/）1/ABBABABA1点除（./）2、矩阵与标量的四则运算3、矩阵的幂运算 A.n p.B A.B Ap 4、矩阵的指数运算、对数运算和开方运算 矩阵的指数运算 exam exam1 exam2矩阵的对数运算 logm 矩阵的开方运算 sqrtm5、矩阵的转置 矩阵的逆矩阵 inv6、矩阵元素的行列式的值：det 矩阵的秩：rank 矩阵的迹：trace 矩阵的范数：norm 矩阵的条件数：cond7、矩阵a的特

9、征值(n)特征向量(m)：m,n=eig(a)例2.5 求矩阵A=2，2，-1，1；4，3，-1，2；8，5，-3，4；3，3，-2，2的行列式、迹、范数、条件数、秩和特征值特征向量。例2.6 解线性方程组12121243132143214321xxxxxxxxxxxxxx四、矩阵的线性变换四、矩阵的线性变换rot90矩阵逆时针旋转90度；fliplr矩阵作左右翻转；fliqud矩阵作上下翻转；diag产生对角矩阵；tril产生下三角矩阵；triu产生上三角矩阵；reshape矩阵重建；size矩阵尺寸；length向量长度。五、矩阵的分解五、矩阵的分解Cholesky分解：chol（A）三角

10、分解：L，U=lu（A）正交分解：Q，R=qr（A）六、向量运算六、向量运算1、向量的产生 2、向量运算 向量名=初值：增量：终值 向量可用中括号以及其中的数字产生 linspace（初值，终值，数据个数）例2.8、建立一个10以内的正奇数向量；建立一个110内的有4个数的向量。向量与标量的运算 向量间的运算 和x1+x2 差 x1-x2 点积dot(x1,x2)叉积cross(x1,x2)混合积 dot(x1,cross(x2,x3)七、多项式运算七、多项式运算多项式一般可表示为：nnnnaxaxaxaxf1110)(,110nnaaaaT1、多项式构造 命令：poly2sym 例2.11、

11、构造多项式 243)(245xxxxxf2、求多项式的值3、多项式四则运算 命令：polyval(p,s)加“+”减“-”乘conv(a,b)除q,r=deconva,b 第三章第三章 MATLABMATLAB的符号计算的符号计算一、符号定义一、符号定义 二、代数式的符号运算二、代数式的符号运算三、可视化符号函数计算器三、可视化符号函数计算器 四、函数的极值和零点四、函数的极值和零点五、求极限五、求极限六、求导数和偏导数六、求导数和偏导数七、积分运算七、积分运算八、级数八、级数九、解方程和微分方程九、解方程和微分方程 上机练习上机练习 1、创建符号变量符号变量名=sym（表达式）Syms 符号

12、变量名1 符号变量名2 符号变量名3 2、符号赋值符号要用具体数值代替 格式为：R=subs(s,old,new)表达式R的值可用命令：vpa(R)一、符号定义一、符号定义 符号表达式的化简函数 表2.1 符号化简函数表函数格式函数格式说明说明collect(s,x)合并自变量x的同幂系数expand(s)符号表达式s的展开factor(s)因式分解numden(s)分式通分simple(s)表达式的最简型simplify(s)化简horner(s)表达式s的嵌套形式二、代数式的符号运算二、代数式的符号运算三、可视化符号函数计算器三、可视化符号函数计算器 函数自运算 启动可视化符号函数计算器：

13、funtool函数与常数的运算 两函数间运算 其它功能 可进行函数的运算操作 四、函数的极值和零点四、函数的极值和零点函数名函数名函数格式函数格式说明说明一元函数极小值x=fminbnd(fun,a,b)fun为待求极值的单变量函数，a,b为求极值的区间，x为函数极值点，y为极值。x,y=fminbnd(fun,a,b)多元函数极小值fminsearch(fun,a)fun为待求极值的多变量函数，a为极值点附近的初始值。fminsearch(fun,a)函数零点x=fzero(fun,a)a为极值点附近的初始值，a,b为求零点的区间，x为函数零点，y为零点的函数值。x=fzero(fun,a,

14、b)x,y=fzero(fun,a)x,y=fzero(fun,a,b)表2.2 函数的极值和零点的主要函数表 五、求极限五、求极限表2.3 符号极限的函数格式 函数格式函数格式说明说明limit(s)s为符号表达式。表达式中默认自变量趋于0时的极限limit(s,a)表达式s中默认自变量趋于a时的极限limit(s,x,a)表达式s中自变量x趋于a时的极限limit(s,x,a,right)表达式s中自变量x趋于a时的右极限limit(s,x,a,left)表达式s中自变量x趋于a时的左极限六、求导数和偏导数六、求导数和偏导数nnfx1、表达式的导数 diff(s,x,n)2、多元函数的偏导

15、数 diff(函数f(x,y),变量x,n)求出3、求雅可比矩阵 jacobian（函数f(x,y,z)；函数g(x,y,z)；函数h(x,y,z)，x,y,z）fffxyzgggxyzhhhxyz七、积分运算七、积分运算表2.3 符号积分的函数格式 函数格式函数格式说明说明int(s)求表达式s对默认自变量的不定积分int(s,x)求表达式s对自变量x的不定积分int(s,a,b)求表达式s对默认自变量从a到b的定积分int(s,x,a,b)求表达式s对自变量x从a到b的定积分八、级数八、级数表3.3 泰勒级数的函数格式 函数格式函数格式说明说明taylor(s)表达式s在默认自变量等于0处

16、的5阶taylor展式taylor(s,n)表达式s在默认自变量等于0处的n-1阶taylor展式taylor(s,n,a)表达式s在默认自变量等于a处的n-1阶taylor展式taylor(s,x,n,a)表达式s在自变量x等于a处的n-1阶taylor展式表3.4 级数求和函数格式 函数格式函数格式说明说明symsum(s)计算符号表达式s（级数通项）对于默认自变量的不定和symsum(s,x)计算符号表达式s对自变量x的不定和symsum(s,a,b)计算符号表达式s对于默认自变量的从a到b的有限和symsum(s,x,a,b)计算符号表达式s对于自变量x从a到b的有限和九、解方程和微分

17、方程九、解方程和微分方程表2.3 符号方程求解函数格式 1 212,nns ss x xx函数格式函数格式说明说明solve(s)求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为默认自变量solve(s,x)求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为xsolve()求解符号表达式 组成的代数方程组，自变量分别为九、解方程和微分方程九、解方程和微分方程表2.4 符号微分方程求解的函数格式 函数格式函数格式说明说明r=dsolve(eq,cond,var)eq 常微分方程cond边界条件或初始条件var自变量 （可求特解，不给初始条件即为通解）。r=dsolve(eq1,eq2,cond1,var1)第四章

18、第四章 MATLABMATLAB绘图绘图一、二维图形绘制一、二维图形绘制 二、三维图形绘制二、三维图形绘制 上机练习上机练习 1 1、plotplot函数常用形式函数常用形式 plot(x,y)plot(x)plot(x,y,参数参数)表5.1 颜色控制符字符字符颜色颜色字符字符颜色颜色b蓝色m紫红色c青色r红色g绿色w白色k黑色y黄色 plot(x1,y1,参数参数1,x2,y2,参数参数1)表5.2 线型控制符符号符号线型线型符号符号线型线型-实线（默认）:点连线-.点划线-虚线表5.3 数据点标记符控制符控制符标记标记控制符控制符标记标记.点h六角形+十字号p五角星*星号v下三角o（字母

19、）圆圈上三角x叉号右三角s正方形左三角d菱形2 2、图形的修饰与控制、图形的修饰与控制坐标轴的调整axis(),maxminmaxminyyxxaxis（控制字符串）表5.4 axis控制符字符串字符串功能功能auto自动设置坐标系square将图形设为正方形equalx、y坐标轴的单位长度相同normal关闭axis(square)和axis(equal)函数的作用xy使用笛卡尔坐标系ijmatrix坐标系（原点在左上方，x向右，y向下）on打开所有轴标记和背景off关闭所有轴标记和背景对图形坐标轴的刻度进行标示：set(gca，xtick，标示向量)set(gca，ytick，标示向量)文

20、字标示 title(字符串)图形标题xlabel(字符串)x轴标注ylabel(字符串)y轴标注 text（x，y，字符串)在坐标(x,y)处标注 gtext（字符串）用鼠标在指定处标注图例注解格式：legend（字符串1，字符串2，参数）表5.6 图例参数的含义参数参数表示的含义表示的含义0尽量不与数据冲突，自动放置在最佳位置1放置在图形右上角（默认）2放置在图形左上角3放置在图形左下角4放置在图形右下角-1放置在图形视窗外右边图形保持hold保持当前图形hold on保持当前图形及轴系的所有特性hold off解除hold on 网格控制grid on添加网格线grid off去掉网格线图

21、形窗口分割subplot(m,n,p)图形的填充fill(x,y,color)3 3、特殊坐标二维图形、特殊坐标二维图形表5.7 特殊坐标二维图形函数函数名称函数名称命令格式命令格式说明说明对数坐标图形semilogx(x,y,参数)绘制半对数坐标图，其中x轴取10为底的对数坐标。semilogy(x,y,参数)绘制半对数坐标图，其中y轴取10为底的对数坐标。loglog(x,y,参数)绘制x、y轴都取10为底的对数坐标图形。极坐标图形polar(,r，参数)绘制相角为，极径为r的极坐标图形，角为弧度。4 4、其它二维图形、其它二维图形 绘函数图：fplot（函数，maxmin,xx）MATL

22、AB绘制特殊二维图形 表5.8 特殊二维图形函数函数名称函数名称命令格式命令格式说明说明饼图pie(x,参数)根据矩阵或向量x绘制饼图。条形图bar(x,参数)垂直方向的条形图。barh(x,参数)水平方向的条形图。用法同上。梯形图stairs(x)X为向量，绘制梯形图。stairs(x,y)x,y均为向量，绘制梯形图。概率分布图hist(x,y)x,y为向量，绘制条形图。Back1 1、三维数据生成、三维数据生成生成空间网格：x,y,z=meshgrid(x,y,z)创建双峰函数：x,y,z=peaks(n)2 2、空间曲线的绘制、空间曲线的绘制plot3(x1,y1,z1,参数1,x2,y

23、2,z,参数1，)若x,y,z是同样长度的矢量，则绘制出一条在三维空间贯穿的曲线；若x,y,z是 阶的矩阵，则绘制出m条三维空间曲线。nm3 3、空间曲面的绘制、空间曲面的绘制表5.9 三维曲面图形函数函数名称函数名称命令格式命令格式说明说明三维网格曲面mesh(x,y,z,c)mesh(x,y,z)mesh(z,c)；mesh(z)带等高线的三维网格曲面meshc(x,y,z,c)meshc(x,y,z)meshc(z,c)；meshc(z)绘制有等高线（xoy面）的三维网格曲面。带底座的三维网格曲面meshz(x,y,z,c)meshz(x,y,z)meshz(z,c)；meshz(z)绘

24、制带有底座（在xoy面）的三维网格曲面。填充颜色三维网格曲面surf(x,y,z,c)surf(x,y,z)surf(z,c)；surf(z)一、命令文件一、命令文件 二、函数文件二、函数文件三、程序流程语句三、程序流程语句 上机练习上机练习 第五章第五章 MATLABMATLAB语言的程序设计语言的程序设计一、命令文件一、命令文件 1 1、创建、创建M M文件文件菜单操作 FileNewM-file命令操作 edit命令按扭 用“新建”小图标打开M文件 菜单操作 Fileopen命令操作 edit命令按扭 用“打开”小图标创建M文件 2 2、M M文件的调试文件的调试文本编辑器窗口文本编辑器

25、窗口的调试功能例1、编写一个命令文件，将变量a，b的值互换，并运行。程序设计：a=1 3 5 7 9;b=2 4 6 8 10;c=a;a=b;b=c;a bBack二、函数文件二、函数文件functionfunction输出变量名输出变量名1 1，2=2=函数名（输入变量名或符号表达式）函数名（输入变量名或符号表达式）例2、编写一个函数文件，对两个数进行加、减运算。Back程序设计：functionhe,ca=hc(a,b)he=a+b;ca=a-b;三、程序流程语句三、程序流程语句程序的三种基本结构 顺序结构选择结构循环结构MATLAB的程序流程语句 if语句switch语句try语句 选

26、择结构：循环结构：while语句for语句 均以end为结束标志 1 1、if if if 表达式 语句组end单分支单分支if 语句语句基本格式为：双分支双分支if 语句语句基本格式为：if 表达式 语句组1else 语句组2end多分支多分支if 语句语句基本格式为：if结构是一种条件分支结构，判断某个条件是否成立，如果成立则执行结构内的语句，否则就跳出if分支结构，执行后面的命令。if 表达式语句else if 表达式语句else 表达式 语句 endend程序设计：a=100;b=20;if aa)else fprintf(ab)end例3、比较两个数a和b的大小运行结果：ab2 2、

27、switchswitch基本格式为：switch 表达式 case 表达式1 语句组1 case 表达式2 语句组2 case 表达式n 语句组n otherwise 语句组n+1 endswitch结构是一种典型的多分支选择结构，根据表达式的结果执行后面与表达式一致的case中的语句。例4、从键盘输入一个数字，判断它能否被5整除？程序设计：n=input(请输入一个数字n=)switch mod(n,5)case 0 fprintf(n是5的倍数,n)otherwise fprintf(n不是5的倍数,n)end运行结果：请输入一个数字：n=44 44不是5的倍数3 3、whilewhile

28、是条件循环语句，格式为：while 表达式 语句体 end4 4、for for 是记数循环语句，一般格式为：for与end之间的部分称为循环体，i一般定义为一个循环向量（增量可自定义，缺省值为1）。这样变量i从初值开始，循环体中的语句每执行一遍i就增加一个增量，直到i=终值为止。for i=初值:增量:终值 指令1 指令nend例5、求1+2+100的和?程序设计：sum=0;设定初值（必须要有）for i=1:100;for循环，增量为1 sum=sum+I;循环体 end 结束循环sum 运算结果运行结果：sum=5050例6、计算1100的奇数的和。程序设计：x=0;sum=0;设定初

29、值（必须要有）while x101;while循环，逻辑表达式为x101 sum=sum+x;循环体1 x=x+2;循环体2 end 结束循环sum 运算结果运行结果：sum=25505 5、其它流程控制语句其它流程控制语句 continue语句：用于控制for循环和while循环 跳过某些执行语句 break语句：用于终止for循环和while循环的执行 return语句：用于终止当前的程序序列，并返回到调用的函数或键盘操作中，也用于终止keyboard方式 try语句：是一种试探性执行语句 Back 上机练习上机练习 1、用一M文件接受键盘输入的数据，求其立方值。2、编写一程序，计算平面直

30、角坐标系内两点间的距离。3、计算分段函数2,1221,11,222xxxxxxxy4、求201!nn5、编写程序：选取一个正整数（由键盘输入），若为偶数则除以2，若为奇数则乘3加1，重复该过程至该数变为1。的值。第六章第六章 MATLABMATLAB应用应用一、数据分析一、数据分析二、数值插值和曲线拟合二、数值插值和曲线拟合三、数值积分与微分方程数值解三、数值积分与微分方程数值解 上机练习上机练习 四、数学建模实例四、数学建模实例表6.1 基本统计命令 函数名称函数名称功能功能函数名称函数名称功能功能max(x)找x各列的最大元素 prod(x)求x各列元素之积mean(x)求x各列的的平均值

31、 sum(x)求x各列元素之和median(x)找x各列的中间元素 sort(x)使x各列元素按递增排min(x)找x各列的最小元素一、数据分析一、数据分析表6.2 离差函数和相关函数函数名称函数名称功能功能函数名称函数名称功能功能var(x)求x各列的方差cov(x,y)求x和y的协方差std(x)求x各列标准差corrcoef(x)求x的自相关阵range(x)求x各列的极差corrcoef(x,y)求x和y相关系数cov(x)求x的协方差1 1、数值插值、数值插值 一维插值：一维插值：Y1=interp1(X,Y,X1,Y1=interp1(X,Y,X1,参数参数)二维插值：二维插值：Z

32、1=interp2Z1=interp2（X,Y,Z,X1,Y1,X,Y,Z,X1,Y1,参数参数)表6.3 线性插值主要参数 参数名称参数名称说说 明明nearest最近点插值法。根据两点间的插值点与这两点间的位置远近插值linear线性插值。把相邻的数据点用直线连接，按所生成的曲线进行插值，是默认的插值方法。spline三次样条插值。用已知数据求出样条函数后，按样条函数插值。cubix三次多项式插值。用已知数据构造出三次多项式进行插值。bicubic双立方插值。利用已知数据点拟合一个双立方曲面，然后根据插值点的坐标插值。（二维插值独有）二、数值插值和曲线拟合二、数值插值和曲线拟合2 2、曲线

33、拟合、曲线拟合 PP，S=polyfitS=polyfit（X,Y,NX,Y,N）说明：说明：X X，Y Y是两个等长的向量，是两个等长的向量，X X是采样点，是采样点，Y Y是采样点函数值，是采样点函数值，P P是长度为是长度为N+1N+1的向量，代表的向量，代表N N次多项式，次多项式，即多项式系数矩阵即多项式系数矩阵 S S是采样点的误差向量。是采样点的误差向量。1 1、辛普生积分、辛普生积分 quad(quad(函数文件名函数文件名，a,b)a,b)2 2、梯形法积分、梯形法积分 trapz(x,y)trapz(x,y)3 3、欧拉法积分、欧拉法积分 cumsum(y)cumsum(y

34、)4 4、牛顿、牛顿柯西法积分柯西法积分 quad8(quad8(文件名文件名，a a，b)b)5 5、微分方程的龙格、微分方程的龙格库塔法库塔法 X,Y=ode23(f,x0,xn,y0)X,Y=ode23(f,x0,xn,y0)X,Y=ode45(f,x0,xn,y0)X,Y=ode45(f,x0,xn,y0)三、数值积分与微分方程数值解三、数值积分与微分方程数值解假设：只考虑群体的生与死，不考虑迁移；设单位时间的出生率为b，单位时间的死亡率为d)(tN为t时刻群体数量，设00)(NtN),(ttt在 有 trtdbtNtNttN)()()()(令0t则 NrdtdN解上述常微分方程得)(

35、00)(ttreNtNMalthus模型 四、数学建模实例四、数学建模实例群体生长模型 讨论生物群体（包括微生物、植物、动物、以至于特定地区人口）的变化规律 对模型进行验证 根据美国财政部的估计，1965年_月时全世界的总人口数是33.4亿，而从1960年到1970年间世界人口的平均增长率是2%用MATLAB画出1900年至2000年间的人口变化曲线)1965(02.04.33)(tetN于是 t=1900:10:2000;N=33.4.*exp(0.02.*(t-1965);plot(t,N);title(Malthusb人口曲线)用这个模型去预测更远的未来：输入：N2050=33.4*ex

36、p(0.02*(2050-1965)显示：N2050=182.8298 输入：N2500=33.4*exp(0.02*(2500-1965)显示：N2500=1.4815e+006 6104815.1这表明Malthus模型虽在短期人口预测上有较好的效果，但不适宜长期预报。Nr设 r为)1()1()(kNNrNrNrNrNdtdN则 其中 rk 00)(NtN0tt 解这个微分方程：n=dsolve(Dn=n*r*(1-n/k),n(0)=n0,t)得 n=k/(1+exp(-r*t)*(k-n0)/n0)即)(00)1(1)(ttreNkktNLogistic模型 Logistic模型有以下

37、特点：若 ，则 ，单调上升，且 即为环境资源能够允许的最大人口数（称为环境容纳量）；kN 00)(tN)(tNktNt)(lim在N=k/2时Logistic曲线有一拐点，这说明群体总数在达到其最大值一半前是加速生长期，超过一半后则是减速生长期，在此期间内生长速度逐渐降低，并趋于0。某些生态学家估计生命系数的自然值为0.029，这样可估计出世界人口容量约为107.6亿，则Logistic模型即为：)1965(029.0)1965(029.02216.216.107)14.336.107(16.107)(tteetN绘制这个函数在1500，2500内的曲线：输入 t=1500:10:2500;N=107.6./(1+2.2216.*exp(-0.029.*(t-1965);plot(t,N,);title(logistic人口曲线)