差分方程及其Z变换法求解

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1、差分方程及其差分方程及其Z Z变换法求解变换法求解11011()(1).(1)()(1).(1)()nnmmy kn Ta y knTay kTa y kTb r km Tbr kmTbr kTb r kT 一、离散系统的差分方程模型一阶前向差分方程：(1)()()ykTay kTbr kT一阶后向差分方程：()(1)()y kTaykTbr kT二阶前向差分方程：12(2)(1)()()ykTa ykTa y kTbr kT二阶后向差分方程：12()(1)(2)()y kTa ykTa ykTbr kT依此类推，可得n阶差分方程：(1)()()y kay kbr k()(1)()y kay

2、kbr k12(2)(1)()()y ka y ka y kbr k12()(1)(2)()y ka y ka y kbr k()()()()y tKe tK r ty t-Kr(t)e(t)y(t)1/s例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为()()()(1)y tKy tKr t用一阶前向差分方程近似：0(1)()()limTykTy kTdyy tdtT(1)()()(2)ykTy kTTT很小式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：(1)(1)()()(3)ykTKTy kTKTr kT(1)(1)()()y kKy kKr k 二、离散系统差分方程的模拟图连续系统采用积分器s-1

3、作为模拟连续系统微分方程的主要器件；与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。1zx1(kT)x2(kT)x2(z)x1(z)x1(0)11z 例2：画出例2所示离散系统的模拟图由图：12112(1)()()(0)()xkTx kTzXzzxXzr(kT)KTKT-1y(kT)y(k+1)T1z-(1)-(-1)()+()y kTKTy kTKTr kT(1)(-1)()()y kTKTy kTKTr kT(1)(-1)()()y kKy kKr k 三、差分方程的解差分方程的求解：迭代法、z变换法。11011()(1).(1)()(

4、1).(1)()nnmmy kn Ta y knTay kTa y kTb r km Tbr kmTbr kTb r kT 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。特点：适用于计算机处理求解。例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=1(k)利用初始条件 y(0)=0,y(1)=1，则有：y(k+2)=-3y(k+1)-2y(k)+1(k)y(2)=-3y(1)-2y(0)+1(0)=-3*1-2*0+1=-2y(3)=-3y(2)-2y(1)+1(1)=-3*(-2)-2*1+1=5。*()()2(2)5(3)yttT

5、tTtT 例3：用Z变换法解二阶差分方程 y(k+2)T+3y(k+1)T+2y(kT)=1(kT)初始条件为：y(0)=0,y(T)=1 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=1(k)初始条件为：y(0)=0,y(1)=1Z变换法：是用z变换实数位移定理、将差分方程化为以z为变量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。Z变换法得到解的收敛表达式，而不是级数形式，更具有直观性，便于理论分析与研究。22 ()-(0)-()3()-(0)2()1zz Y zz yzy TY zzyY zz*0()()()nyty kTtkT解:1()()1/6 1/2(1)2/3(2)kky kT

6、zy z01/6 1/2(1)2/3(2)()kkntkT222()(32)(1)1/61/22/3 (32)(-1)-112zY zzzzzzzzzzzzz22(32)()11zzzzY zzzz222()()0.24(1)(0.24)zU zzY zzzzzz ()0.446 1.429(-0.4)-1.875(-0.6)kky kT(1)(0.4)(0.6)zzzzz22 ()-(0)-()()-(0)0.24()()z Y zz yzy TzY zzyY zU z解:例4：求y(k+2)T+y(ky(kT)=u(kT)在单位阶跃函数作用下的解。初始条件y(0)=0,y(T)=1。0()0.446 1.429(0.4)1.875(0.6)()(-)0.763(-)0.24(-4).kkky ttkTt Tt tTtT 0.4461.4291.875-(-1)(0.4)(0.6)zzzz()1()1zU zZtz