计算方法实验+编程代码

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1、作多 计算方法实验报告 1在区间［-1,1］上分别取n=10,20,用两组等距节点对龙格函数f (x)二 1 + 25 x 2 项式插值，对每个n值，分别画出插值函数及/(x)的图形。 解：n=10时： n=20 时: 作分 2在区间［-1,1］上分别取n=10,20,用两组等距节点对龙格函数f (x)二一 1 + 25 x 2 段线性插值，对每个n值，分别画出插值函数及/(x)的图形。 解：n =10: n=20 时: 12 3对龙格函数f (x)二 在区间［-1,1］上取x =-1 + k, k二0,1,2 n , n分别 1 +

2、25 x 2 k n 取10,20,试分别求3次、5次最小二乘拟合多项式,打印出此曲线拟合函数,分 别画出此拟合函数及f (x)的图形。 3次最小二乘拟合 n=10 时： n=20 时: 5次最小二乘拟合 n=10 时： n=20 时: 4取点x = cos " +1兀,k = 0,1,2 n , n分别取10,20,对龙格函数f (x)= k 2(n +1) 1 + 25 x 2 作多项式插值，对每个n值，分别画出插值函数及/(x)的图形。解：n=10时： n=20 时: 5 比较上面三组近似函数，说说你的体会。你能在此基础上

3、做进一步的探索吗， 比如n如果继续增加下去，结果会如何？ 附注：编程语言不限，但用 matlab 等语言编程时，不得直接调用现成的插值与逼近函数， 需要你在我们课堂教学的基础上，编程实现上述算法。 解：用不同方法进行插值，得出的插值函数差异较大。其中，最小二乘拟合的曲 线精度较低，多项式插值拟合的曲线精度较高。曲线拟合的精度不仅和拟合方法 有关，还和采样点位置的选取、个数有关。如1，4 题都是多项式插值，但是第 4 题的拟合度最高。 n 值越大，拟合的函数会更加接近原函数。 程序： 1．等距节点多项式插值 clear; clc; syms x n=input('input n='

4、); x1=linspace(-1,1,n+1); y1=1./(1.+25*x1.八2); yy=zeros(1,n+1); fx=0; for i=1:n+1; lga=1; for j=1:n+1 ■厂 ・~ ・ if j~=i lga=lga*(x-x1(1,j))/(x1(1,i)-x1(1,j)); else end end fx=fx+y1(1,i)*lga; end disp(fx); x=-1:0.01:1; plot(x,eval(fx),'rh') hold on a=linspace(-1,1,100); y2=1./(1.+25*a.

5、八2); plot(a,y2,'b') lege nd（'插值函数','龙格函数'） 2. 分段线性插值 function y=div(x0,y0,x,n) for j=1:n if (x>=x0(j))&&(x<=x0(j+1)) y=(x-x0(j+1))/(x0(j)-x0(j+1))*y0(j)+(x-x0(j))/(x0(j+1)-x0(j ))*y0(j+1); else continue end end end clear; clc; n=input('input n='); x0=linspace(-1,1,n+1); yy=zeros(2001,

6、1); for i=1:1:2001 xx(i,1)=0.001*(i-1)-1; y二div(x0,1./(1+25*x0.八2), xx(i,1), n); disp(y); yy(i,1)=y; end plot(xx,yy,'r','LineWidth',1.5) a=linspace(-1,1,100); hold on plot(a,1./(1+25*a.八2),'b','Li neWidth',1.5) lege nd('插值函数','龙格函数') 3. ①三次最小二乘拟合 clear ; n=input('input n='); x0=ones(n+1,

7、1); x1=zeros(n+1,1); x2=zeros(n+1,1); x3=zeros(n+1,1); y1=zeros(n+1,1); for k=0:1:n x1(1+k,1)=-1+2*k/n; y1(1+k,1)=1./(1+25*x1(1+k,1).八2); x2(k+1,1)=x1(k+1,1)*x1(k+1,1); x3(k+1,1)=x1(k+1,1)*x1(k+1,1)*x1(k+1,1); end A=[x0 x1 x2 x3]; B=A'*A; C=A'*(y1); D=B\C; x=linspace(-1,1,51); y二D(4,1)

8、*x.八3+D(3,1)*x.八2+D(2,1)*x+D(1,1); a=linspace(-1,1,101); y0=1./(1+25*a.八2); plot(x,y,'rh') hold on plot(a,y0,'b','LineWidth',2) lege nd('插值函数','龙格函数') ②五次最小二乘拟合 clear ; n=input('input n='); x0=ones(n+1,1); x1=zeros(n+1,1); x2=zeros(n+1,1); x3=zeros(n+1,1); x4=zeros(n+1,1); x5=zeros(n+

9、1,1); y1=zeros(n+1,1); for k=0:1:n x1(1+k,1)=-1+2*k/n; y1(1+k,1)=1./(1+25*x1(1+k,1).八2); x2(k+1,1)=x1(k+1,1)*x1(k+1,1); x3(k+1,1)=x1(k+1,1)*x1(k+1,1)*x1(k+1,1); x4(k+1,1) = (x1(k+1,1)).八4; x5(k+1,1) = (x1(k+1,1)).八5; end A=[x0 x1 x2 x3 x4 x5]; B=A'*A; C=A'*(y1); D=B\C; x=linspace(-1,1,

10、51); y二D(6,1)*x.八5+D(5,1)*x「4+D(4,1)*x.八3+D(3,1)*x.八2+D(2,1)*x+ D(1,1); a=linspace(-1,1,101); y0=1./(1+25*a.八2); plot(x,y,'rh') hold on plot(a,y0,'b','LineWidth',2) lege nd('插值函数','龙格函数') 4. 多项式插值 clear; clc; syms x n=input('input n='); x1=zeros(1,n+1); y1=zeros(n+1); for k=0:1:n x1(

11、1,k+1)=cos((2*k+1)*pi/(2*(n+1))); y1(1,k+1)=1./(1.+25*x1(1,k+1).八2); end yy=zeros(1,n+1); fx=0; for i=1:n+1; lga=1; for j=1:n+1 ■厂 ・~ ・ if j~=i lga=lga*(x-x1(1,j))/(x1(1,i)-x1(1,j)); else end end fx=fx+y1(1,i)*lga; end disp(fx); x=-1:0.01:1; plot(x,eval(fx),'rh') hold on a=linspace(-1,1,100); y2=1./(1.+25*a.八2); plot(a,y2,'b','LineWidth',1.5) lege nd('插值函数','龙格函数')