椭圆双曲线抛物线必背的经典结论

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1、新梦想教育辅导讲义 学员编号（卡号）： 年 级： 第 课时 学员姓名： 辅导科目： 教师： 课 题 授课时间： 月 日 备课时间： 月 日 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 椭圆 双曲线抛物线必背的经典结论 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2. PT平分△PF1

2、F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为. 8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式： ,( , ). 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结A

3、P 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则， 即。 12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦

4、点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为. 8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , 当在右支上时，,. 当在左支上时，, 9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线

5、长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。 12. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 13. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 椭 圆 1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平

6、行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则. 4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,

7、F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立. 7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. 8. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是. 9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. 10. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则. 11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) . 12. 设A、B是椭圆（

8、 a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) . 13. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形

9、中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论） 双曲线 1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）. 3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则

10、（或）. 4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. 8. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且. （1）;（2

11、）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是. 9. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. 10. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或. 11. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) . 12. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1). (2) .(3) . 13. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x

12、轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲

13、线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线 结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。 结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。 结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意

14、义为过抛物线顶点的动弦的斜率． 基础回顾 1. 以AB为直径的圆与准线相切； 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. A、O、三点共线； 9. B、O、三点共线； 10. ； 11. （定值）； 12. ；； 13. 垂直平分； 14. 垂直平分； 15. ； 16. ； 17. ； 18. ； 19. ; 20. ; 21. . 22. 切线方程 高考资源网 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论1：交点在准线上 先猜后

15、证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上． 结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有 结论6PA⊥PB． 结论7PF⊥AB．

16、 结论8 M平分PQ． 结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 结论10 结论11 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①， 结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA． 结论14 结论15 点M平分PQ 结论16 学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 教学主管意见： 家长签字： ___________ 新梦想教务处