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1、 111 12121212 122221122,nnnnnnnnnnppppppppp (7.4)设设12,n 及及12,n 都都是是线线性性空空间间V的的基基，且且 1212(,)(,)nnP ，(7.5)111 12121212 122221122,nnnnnnnnnnppppppppp (7.4)1212(,)(,)nnP ，(7.5)111212122212.nnnnnnpppppppppP到到基基12,n 的的过过渡渡矩矩阵阵 定义定义 1 称称(7.4)或或(7.5)为为基基变变换换公公式式，P为为由由基基12,n 定理定理 1 在在n维线性空间维线性空间V中，基中，基12,n 到
2、到12,n 的过渡矩阵的过渡矩阵P为可逆矩阵为可逆矩阵 1122nnxyxyxyP 或或 11221nnyxyxyxP (7.6)证明证明定理定理 2 设设V，在基在基12,n 及基及基12,n 下的坐标分别为下的坐标分别为12(,)nx xx及及12(,)ny yy若由若由基基12,n 到基到基12,n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为P，则，则 证明证明称称(7.6)为为坐标变换公式坐标变换公式 例例 1 故由故由123,到到123,的过渡矩阵为的过渡矩阵为 2123,1xx 2221231,1xxxxxx 211231xx 2212xx 231231xx 111111,101P 111111,1
3、01P11102201111122P112233111111101xyxyxy1122331102201111122yxyxyx本本节节完完 令令1212(,)(,)nnP 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 0Px有非零解有非零解 若若P不可逆，不可逆，为为0Px的的一一个个非非零零解解，即即 12nkkkx定理定理 1 在在n维线性空间维线性空间V中，基中，基12,n 到到12,n 的过渡矩阵的过渡矩阵P为可逆矩阵为可逆矩阵 12.nkkk0P 1212(,),nnkkPk 01212(,)nnkkk 1 122nnkkk 这这表表明明12,n 线线性性相相关关，矛矛盾盾，因此因此P可逆可逆 证证毕毕 因因 由由于于12,n 线线性性无无关关，定定理理 2 证明证明 11221212(,)(,)nnnnxyxyxy 1212(,),nnyyyP 故故(7.6)成立成立 证证毕毕
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