空间曲线的切线与法平面

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1、14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1求曲线上过点求曲线上过点 的切线方程，这里的切线方程，这里),(0000zyxM设空间曲线用参数方程表示为设空间曲线用参数方程表示为:(),(),()xx tyy tzz t 000000(),(),()xx tyy tzz t 14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面2由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 和点和点 的割线方程的割线方程),(zyxM0M000000()()()()()()()()()Xx tYy tZz tx tx ty ty tz tz t 在上式各端的分母都

2、除以在上式各端的分母都除以0tt 000000000()()()()()()()()()Xx tYy tZz tx tx ty ty tz tz ttttttt 14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面3由于切线是割线的极限位置，在上式中令由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，就得到曲线在点取极限，就得到曲线在点 的的切线方程切线方程：000000()()()()()()Xx tYy tZz tx ty tz t 000(),(),().x ty tz t 由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点 的切线的一组方向数是的切线的一组方向数是0tt0M0M(切向量切向量)14.4

3、.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面4 曲线在点曲线在点 的法平面就是过的法平面就是过 点且与该点点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的的切线垂直的平面，于是切线的(切向量切向量)方向数就方向数就是法平面的是法平面的(法向量法向量)法方向数，从而过法方向数，从而过 点的法点的法平面方程是平面方程是000000()()()()()()0 x tX xy tYyz tZ z 0M0M0M14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面5如果曲线的方程表示为如果曲线的方程表示为(),()yy xzz x ,(),()xxyy xzz x 可以把它写成如下的以可以把它写成如下的以 为参

4、数的参数方程为参数的参数方程x于是可得曲线在点于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下：的切线方程和法平面方程如下：0M00000()()1()()XxYy xZz xy xz x 00000()()()()()0Xxy xYyz xZz 14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面6一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：(,)0(,)0F x y zG x y z 设设 ，设上述方程组在点，设上述方程组在点 确定了一对函数确定了一对函数0(,)0(,)MD F GD y z 0M(),()yy xzz x由这两个方程可解出由这两个方程可解出

5、(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)dydzD F GD F GD F GD F GD z xD y zD x yD y zdxdx 这时容易把它化成刚才讨论过的情形：这时容易把它化成刚才讨论过的情形：14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面7从而可得曲线在点从而可得曲线在点 的切线方程：的切线方程：0M000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMXxYyZzD F GD F GD F GD y zD z xD x y 和法平面方程和法平面方程000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)MMMD F GD F GD F GXxYyZzD

6、y zD z xD x y 14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面8解：解：2tt 1 ,2 ,3txytzt 在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为 t=1 1 ,2,3 T 切切线线方方向向数数为为切线方程：切线方程：121123xyz 法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：即：x+2 y+3 z=8例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的切线及法平面方程。处的切线及法平面方程。23,xt ytzt (1,2,1)14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面9例例2.求曲线求曲线 在在 点点 （1，-2，1）处的切线及法平面方程

7、。）处的切线及法平面方程。0,6222 zyxzyx222600 xyzxyz 方方程程组组 解解：转转化化为为,x方方程程组组两两端端关关于于 求求导导 得得222010dydzxyzdxdxdydzdxdx dyzxdxyzdzxydxyz 12 11,2,101dydxdzdx ，14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面10 1,2,1121101XYZ 切切线线方方程程为为 所所以以过过点点的的 1,2,110100XYZZXZ 所所以以过过点点的的 法法平平面面方方程程 为为即即14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面11ZYXO0MT例例3 求两柱面求两

8、柱面222222,xyRxzR 的交线在点：的交线在点：,222RRR 处的切线方程。处的切线方程。解解:222222,xyRxzR 中分别对中分别对 求导数，得求导数，得220220dyxydxdzxzdx dyxdxydzxdxz x解方程组得解方程组得14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面12所以所以切线方程为：切线方程为：222111RRRxyz 即即2(2)(2)x Ry Rz R 此直线可看作是此直线可看作是 平面与平面平面与平面 的交线。的交线。2x yR y z 从而在点从而在点 有：有：,222RRR 1,1dydzdxdx 14.4.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1323,244:,.xt ytztxyz 在在曲曲线线求求出出一一点点，使使过过此此点点的的切切线线 平平行行于于平平面面例例 21,2,3.Ttt 曲曲线线的的切切向向量量为为 1,2,1.n 已已 知知 平平 面面 的的 法法 向向 量量 为为21430.T ntt 按按题题设设，应应有有解解之之，得得11.3tt 或或 121 111,1,1,.3 927MM 于于是是所所求求的的点点为为或或解解: