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1、蚌埠学院 高等数学2023-3-121一、问题的提出一、问题的提出二、无穷小的比较二、无穷小的比较三、等价无穷小代换定理三、等价无穷小代换定理四、小结与思考判断题四、小结与思考判断题 第一章 蚌埠学院 高等数学2023-3-122例如:20lim3xxxxxxsinlim02201sinlimxxxx2210,sin,sin.xx xx xx当时都是无穷小极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不不存存在在观察各极限观察各极限型）型）（00一、问题的提出一、问题的提出结论:蚌埠学院
2、 高等数学2023-3-123(1)lim0,();o如果就说是比高阶的无穷小记作（是比低阶的无穷小）.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设(2)lim(0),;C C如果就说 与 是同阶的无穷小;,1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地(3)lim(0,0),.kC Ckk如果就说是的 阶的无穷小二、无穷小的比较二、无穷小的比较蚌埠学院 高等数学2023-3-124，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx203;xxx当时，是比高阶的无穷小).0()3(2 xxox即即0sinxxx当时，与 是等价无穷小sin (0)
3、.xx x即例如:，331)11ln(lim xxx11ln(1)3xxx当时，与是同阶无穷小蚌埠学院 高等数学2023-3-125例例1.解.tan,0:32的的五五阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 2350tanlimxxxx30tanlim()1xxx230,tan5.xxxx故当时为 的 阶无穷小例例2.0,tansin.xxxx当时 求关于 的阶数解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx ,21 tansin.xxx为 的三阶无穷小蚌埠学院 高等数学2023-3-126(),.o称是的主要部分证必要性设，limlim1，0()()oo，即充
4、分性()o设()limlimo()limo（）1，1、等价充要性:意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式定理定理1三、等价无穷小代换定理三、等价无穷小代换定理蚌埠学院 高等数学2023-3-127例如:sin(),xxo x).(21cos122xoxx 0,x 当时常用等价无穷小:0,x 当时2sin tan arcsin arctan ln(1)11,1 cos,(1)1(0)2xaxxxxxxxexxxax a21sin ,1 cos.2xxxxxycos1 221yx xOy蚌埠学院 高等数学2023-3-128例例3.解)1ln(lim1lim00uuxeuxx 01lim.xxe
5、x求1,xeu 令ln(1),xu即0,0,xu则当时 有uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1.1 0 ln(1),1.xxxx xe即，当时，蚌埠学院 高等数学2023-3-129若 ，则上述各式中的 x 可换为 f(x)。)(limxfxx如：时时 x xx)sin(xxx)(lnlnxex 时时 x2、等价无穷小代换定理.limlim,lim,则则存存在在且且设设证 lim)lim(limlimlim.lim 蚌埠学院 高等数学2023-3-1210例例3.20tan2lim.1cosxxx求解210,1cos,tan 2 2.2xxxxx当时220(2)
6、lim(1 2)xxx原式.8注意：注意：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限例例4.0(1)sinlim.arcsinxxxx求解0,sin,arcsin.xxxxx当时0(1)limxxxx原式.1 0lim(1)xx蚌埠学院 高等数学2023-3-1211例例5 5.30tansinlim.sin 2xxxx求0,tan,sin.xxxxx当时30lim(2)xxxx原式.0 解0,x 当时tansintan(1cos)xxxx31,2xsin2 2,xx33012lim(2)xxx原式1.16错解错解无穷小代
7、换原则：积商可部分代换，和差只能总体代换.注意：不能滥用等价无穷小代换.蚌埠学院 高等数学2023-3-1212另例2.0tan 5cos1lim.sin 3xxxx求解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx 22015()()2lim3()xxo xxo xxo x原式20()1()52lim()3xo xo xxxxo xx5.35522400011tansinsin1limlimlimsin0sinxxxxxxxxxxx另例1.蚌埠学院 高等数学2023-3-12131 无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2 等价无穷小代换高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶,lim,limlim.设且存在 则四、小结与思考判断题四、小结与思考判断题代换：求极限的又一方法蚌埠学院 高等数学2023-3-1214解答1：不能例当 时x ,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但()lim()xg xfx lim sinxx 不存在且不为无穷大故当 时，x和 不能比较。)(xf)(xg思考判断题思考判断题1、任何两个无穷小量都可以比较阶的大小。2、无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小。作业：作业：P59 1、4（1、2、3）、）、5（1）解答2：不一定
无穷小量比较替换
