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1、第四节 第一型曲线积分 第一型曲线积分的计算 ttytxtytxfsyxf Lyxft tyytxxL L d,d, , , 22 的计算公式为 则第一型曲线积分上连续在 线为一简单的平面光滑曲若 baL dxyxyxfdsyxf 21)(,(),( 则的方程为若曲线 ,),( bxaxyyL L dfdsyxf L )()s i n)(,c o s)(),( )( 22 ，则有：若曲线 限应上限大于下限。 化成定积分时积分性第一型曲线积分无方向注 ,: 222 22 )()()( )()( : dzdydxds dydxds 弧微分公式 ttztytxtztytxfszyxf Lzyxf t
2、tzztyytxx L L d)()()(,d, , , , 222 则曲线积分上连续在若函数 其参数方程为曲线光滑空间 .0,: 222 yRyxLdsxL求 0 22 R RL dx xR xRxds dx xR R dxxyds RxRxRyL 22 2 22 )(1 ,:)( 法一 1例 解 dRRds Ry Rx L 2222 c oss i n 0, s i n c os :)( 法二 0s i nc o s 020 2 RdRxdsL dyds y x OB dxds x xy AB dxds x y OA 10 0 : 2 10 1 : 10 0 : .)1,0(),0,1()
3、,0,0(:,)( 的折线连接三点 BAOLdsyxL o x y A B 21 2 1 2 2 1 2)( 1 0 21 0 2 1 0 1 0 1 0 yx y dydxxdxdsyx L 2例 解 . 1 2 9 :,)( 222 222 zx zyxLdszyx L 其中计算 ,s i n2,c o s2 2 1 yx ：可用参数方程表示为 1 42 ) 2 1( 2 2 yx 等式 20,c o s2 2 1 ,1 z zx 得代入 3例 解 , 1 1 42 ) 2 1 ( : 2 2 zx y x L 20, c os2 2 1 s i n2 c os2 2 1 z y x L
4、的参数方程为：于是 182 2 9)( 2 0 222 ddszyx L d dds 2 )s i n2()c o s2()s i n2( 222 的柱面面积。高为轴母线平行于 为准线表示以时当 ),(, ,),(,0),( yxfzz Ldsyxfyxf L 2s i n 0 s i n c os 0,1: 0 22 ddsyA y x yyxL L 解 . 0122 A yzzyx 下方那部分的侧面积 上方与位于平面求圆柱面 4例 作 业 习题 6.4 P.110-111 1.(1)(2)(4)(6)(7); 3 曲面面积计算公式 第五节 第一型曲面积分 d x d yzzA xy Dyx
5、zz xy D yx xy 22 1 ),( 的面积平面上的投影区域，则 在是的方程为设光滑曲面 xzD zx d x d zyyA xz 221 平面投影向 yzD zy d y d zxxA yz .1 22 平面投影类似的，向 d xd y F FFF A FzyxF xyD z zyx z | 0,0),( 222 隐函数 的面积。 部分在求球面 )0(|2222 babzazyx 例 1 解 2222222: yxazbayxD xy 222 2 22 1 , yxa a zz z y z z x z yx yx xyD d x d y yxa aA 222 2 baad a a d
6、 ba 42 2 0 0 22 22 第一型面积分的计算 : 根据二重积分及第一型曲面积分的定义 ,可把第 一型曲面积分化成二重积分计算。 则连续 上在上有一阶连续偏导数在域为 面上的投影区在的方程为设光滑曲面 , ),(,),(, ),( zyxfDyxzD xyyxzz xyxy xyD yx d x d yzzyxzyxfdAzyxf .1),(,(),( 22 则平面上的投影在的方程为若 ,:),( xzDzxyy xz xzD zx d x d zyyzzxyxfdAzyxf .1),(,(),( 22 注 .1),(:.1 22 dxdyzzdAyxzz yx 则平面上的投影在方程
7、为若 ,:),(.2 yzDzyxx yz yzD zy d y d zxxzyzyxfdAzyxf .1),),(),( 22 例 2 dxdy yxa a dxdyzzdA yxa y z yxa x z yx yx 222 22 222222 1 , . :, 222223 所围立体的表面 与计算 yxzyxazdAz 1 z 2 xyD x o y 解 ., ,: 2222 22 2 yx y z yx x z yxz yx ,: , 222121 yxaz d x d yd x d yzzdA yx 21 22 1S z 2S xyD x o y 2: 2 22 ayxD xy dx
8、d yyx dxd y yxa a yxa dAzdAzdAz xy xy D D 2)( )( 322 222 3222 1 2 333 2 20 32020 2220 2)( aa d dd ada 555 40 19 108 3 aaa 例 3 .)0,0(1 ,0,0,)( 222 222 所围成的闭曲面 为由计算 yxzyx yxdAzyx 321 )()( 222 dAzyx ,0,11 ,0: 22 yzyx x z y 12 3 yzD dy dzzy dAzyx )( )( 22 222 1 4 1 0 32 2 dd 解 分成则需把面投影向若 33 ,)1( xy xzD
9、d x d zzx dAzyx 4 )( )( 22 222 2 .0,0,1: .0,0,1: 22 3 3 22 yxyxz yxyxz 下 上 .0,1,0: 222 xzxy .0,0 ,1: 2223 yx zyx x z y 12 3 dAzyxdAzyx )()()( 222222 33 3 下上 . 22 22 22 1 1 1 ,0,0,1: yx zz yxyxD yx xy 投影域为 1 0 2 2 0 2222 1 2 1 1 .1 1 1 .1 dd dxdy yx dxdy yx xyxy DD .0,1: ,)2( 22 3 yzyD yz yz 投影域为平面投影向若 2 2 1 0 222 222 11 1 .1 )( 3 d dd y d z zy dAzyx yzD 的面积3222 33 )3( ( dAdAzyx .23)(, 222 dAzyx综上 x z y 12 3 作 业 习题 6.5 P.115-116 1.(1)(4); 2.(1)(2)(3)(4)(5)(6);
型曲线积分与第一型曲面积分
