求极限的方法--三角函数公式

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1、高数中求极限的16种措施——好东西 如果高等数学是棵树木得话,那么 极限就是她的根, 函数就是她的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式体现出来的,因此也具有函数的性质。函数的性质表目前各个方面 ﻫ一方面 对　极限的总结 如下ﻫ 极限的保号性很重要　就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致ﻫ1　极限分为　一般极限 ， 尚有个数列极限, （区别在于数列极限时发散的, 是一般极限的一种）ﻫﻫ2解决极限的措施如下:(我能列出来的所有列出来了！！！！！你还能有补充么？？?)ﻫ1 等价无穷小的转化,

2、(只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用　但是前提是必须证明拆分后极限仍然存在) e的X次方-１ 或者　（1+x)的a次方-１等价于Ax 等等　。　所有熟记 (x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2 ＬHopｉtal 法则　(大题目有时候会有暗示　要你使用这个措施）ﻫ一方面她的使用有严格的使用前提！!!!!！ﻫ必须是 X趋近 而不是Ｎ趋近！!！！!!!（因此面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限， 固然n趋近是x趋近的一种状况而已，是必要条件 (尚有一点 数列极限的n固然是趋近于正无穷的 不也许是负无穷！）ﻫ必须是 函数的导数要存在！！！！!!！！（如果告诉你g（x

3、），　没告诉你与否可导， 直接用无疑于找死!!） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！!!!!！！！! 固然还要注意分母不能为０ ﻫLHopitaｌ 法则分为3中状况 １ 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 2　0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷不小于无穷小成倒数的关系)因此 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成１中的形式了 3 0的0次方 １的无穷次方 无穷的0次方 对于(指数幂数)方程 措施重要是取指数还取对数的措施， 这样就能把幂上的函数移下来了，　就是写成0与无穷的形式了 , （ 这就是为什么只有3种形式的因素, LNx两端都趋近于无穷时候她的幂移下来

4、趋近于0 当她的幂移下来趋近于无穷的时候　ＬNX趋近于０）ﻫ ３泰勒公式 (具有ｅ的x次方的时候　，特别是具有正余旋 的加减的时候要　特变注意 ！!!!）ﻫE的ｘ展开 ｓina 展开 cos 展开　lｎ1＋x展开 ﻫ对题目简化有较好协助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决措施ﻫ取大头原则 最大项除分子分母!!！！!!!！！!！ﻫ看上去复杂解决很简朴 !！！!！！!！!！ 5无穷不不小于有界函数的解决措施ﻫ面对复杂函数时候， 特别是正余旋的复杂函数与其她函数相乘的时候，一定要注意这个措施。ﻫ面对非常复杂的函数　也许只需要懂得它的范畴成果就出来了!！! 6夹逼定理(重要对付的是数

5、列极限！）ﻫ这个重要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ,放缩和扩大。ﻫ 7等比等差数列公式应用（对付数列极限） (q绝对值符号要不不小于1)ﻫ ﻫ8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数） (对付的还是数列极限）ﻫ可以使用待定系数法来拆分化简函数 ﻫ９求左右求极限的方式(对付数列极限） 例如懂得Xn与Xn＋1的关系, 已知Xｎ的极限存在的状况下， ｘn的极限与ｘn+1的极限时同样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 ﻫ１０ ２　个重要极限的应用。　这两个很重要 ！!!！！对第一种而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小均有对有相应的形式ﻫ（地2个事实

6、上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意也许是用地2　个重要极限） １1　尚有个措施 ，非常以便的措施 就是当趋近于无穷大时候ﻫ不同函数趋近于无穷的速度是不同样的!!！！!!！!！!！！！！! x的x次方　快于　x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数　快于　对数函数　（画图也能看出速率的快慢） !!！!!!ﻫ当x趋近无穷的时候 她们的比值的极限一眼就能看出来了 ﻫ12　换元法　是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元, 但是换元会夹杂其中　ﻫﻫ13如果要算的话 四则运算法则也算一种措施 ,固然也是夹杂其中的 14尚有对付数列极限的一种措施， 就

7、是当你面对题目实在是没有措施　走投无路的时候可以考虑　转化为定积分。 一般是从0到１的形式 。 ﻫ 15单调有界的性质ﻫ对付递推数列时候使用 证明单调性!!!！！！ ﻫ16直接使用求导数的定义来求极限 , (一般都是ｘ趋近于0时候,在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意)ﻫ（当题目中告诉你F（０)＝0时候 f（０)导数=０的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！！！） 第一部分 三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 coｓ(α＋β)=cｏsα·coｓβ-sinα·sinβ cos(α-β)＝cｏsα·ｃｏｓβ+sinα·sinβ

8、 　　sin(α±β)=sｉnα·cosβ±ｃoｓα·sinβ 　　tan(α+β)＝（taｎα+tanβ)／(1-taｎα·tａnβ）　 　 ｔan(α－β)＝(ｔanα-tanβ)/(1+ｔaｎα·tanβ)　 ·和差化积公式： 　 siｎα+sｉｎβ=2sｉｎ[（α+β)／2]coｓ[（α－β）／2］　 　 siｎα-sinβ=２cos[(α＋β)/2]siｎ[(α-β)/2]　 cosα+cosβ＝2cos[（α+β)/2］ｃos［(α－β）/2］ 　 ｃosα－cosβ=-2sｉｎ［(α+β)/2]sin［(α-β)/2］ ·积化和差公式：

9、　　ｓinα·ｃoｓβ=(1/2)[ｓiｎ(α+β)＋ｓin(α-β)] 　　ｃosα·sｉnβ=(1/2)[sin(α＋β)-ｓin(α-β)] 　　cｏsα·coｓβ＝（1/2)[coｓ(α＋β)＋cos（α-β）]　 　 ｓiｎα·sinβ＝-（1/2)［coｓ（α+β)-cos(α-β)] 　　·倍角公式：　 　 sin(2α)=2sinα·cｏsα=２/(tanα+cｏｔα) 　 cos(2α）=(cosα)^2－（sinα)^2＝2（ｃｏsα)＾2-1=1－2(ｓinα)＾2 　 　 ｔａn(2α)=2ｔanα/(1-tａn^２α) 　 cot(2α)=（

10、coｔ＾2α－1)/（2cｏtα) 　seｃ(2α)=ｓeｃ^2α／(１-tan^２α) 　　ｃsc(2α)=1/2*ｓeｃα·cｓｃα 　·三倍角公式: ｓin(３α)　= ３ｓiｎα-4siｎ^３α = 4sinα·ｓin（60°+α)sin(6０°－α） 　 ｃoｓ(3α) ＝ 4ｃos^3α-3coｓα = ４ｃosα·cｏs（６０°+α)coｓ（６0°-α) 　tan（3α) =　(3tanα-ｔan^3α)/(1－３tａn＾2α）　= ｔanαtaｎ(π/3＋α)tan(π/３-α) 　 ｃot(3α)=(cot＾3α-3ｃｏtα）/（3ｃｏt

11、^2α－1） ·n倍角公式： 　　sin(nα)＝nｃｏｓ^(n-１)α·sinα-C(n,3)ｃｏs^(n-３)α·sｉn^3α+Ｃ(n，5）cos^(n-5）α·sｉｎ＾5α-… 　cos(nα)=ｃｏs^nα－C（n,2）cos^(ｎ-2)α·ｓin^２α+C(n,４)cｏｓ^（n-4）α·sｉn^4α-… 　　·半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2） coｓ(α／2)=±√（(１+cｏｓα)／2)　 tａn(α/2)=±√（（１-cｏsα)／(1+coｓα))=sinα/(1+ｃosα)=(1-coｓα)/sinα

12、cot(α/2)=±√（(１+cosα)/(1－ｃoｓα）)=(１＋ｃosα)/sinα=sinα/(1-coｓα）　 　　sec（α/２)=±√((2secα／(secα+1）) 　　csc(α／２)=±√（(2seｃα/(sｅcα-1)) 　　·辅助角公式: 　 Asinα＋Bcoｓα＝√(A^2+B^2)siｎ（α+φ）(tａnφ＝Ｂ／A) Ａsinα+Ｂcosα＝√(A＾２+B＾2)cｏs(α-φ)（tanφ=A/B） ·万能公式　 　 sｉn(a)= （２tan（a／2)）/(1+tａn^2(ａ/2)） 　 cos(a)＝ (1-ｔａｎ^２(a／2

13、))/(1+ｔan^２(a/2)） ｔaｎ(a)= (2tan（a/2))/(1-tan^2(a/２))　 　 ·降幂公式 　siｎ^2α＝（1-coｓ(2α))／2=veｒsｉn(２α)/2 　　coｓ^2α=(1＋ｃoｓ(2α）)/2＝covers(2α)／2 tan^2α=(1－cos(2α))/(１+ｃos(2α)) ·三角和的三角函数： ｓin(α+β+γ)＝sｉｎα·coｓβ·ｃoｓγ+coｓα·siｎβ·cosγ+cosα·coｓβ·sinγ－ｓｉｎα·siｎβ·sinγ 　cos(α+β+γ）＝cosα·cosβ·cｏsγ－co

14、sα·sｉnβ·sinγ-sｉnα·cｏsβ·sｉnγ-ｓinα·sinβ·cosγ ｔan(α+β＋γ)=(tanα+tａnβ+tanγ-tａnα·ｔanβ·tanγ）/(1-tanα·ｔanβ－tanβ·tanγ-tanγ·ｔａnα)　 ·其他公式 ·两角和与差的三角函数 　 cos(α+β）=ｃｏsα·cｏsβ-sinα·siｎβ 　cos(α-β）=cosα·cｏsβ＋ｓinα·sinβ sｉn(α±β）＝sinα·cosβ±cosα·sinβ 　ｔan(α+β)=(tａｎα＋taｎβ)/（1-ｔanα·tanβ) 　　ｔaｎ(α-β

15、)＝（tａnα-tanβ）/(１＋ｔanα·ｔanβ) 　·和差化积公式: 　 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/２］ 　 sinα-sinβ=2ｃｏｓ[(α+β)/２］sin［(α－β）/２] cｏsα+cosβ=2cos［(α+β)/2]cｏｓ[（α－β)/2]　 　　coｓα－cosβ=-2sin［(α+β)/2］sin[(α－β）／2]　 　 ·积化和差公式: 　　ｓiｎα·cｏsβ=（1/2）[ｓin（α＋β)+sin(α-β)] 　ｃｏsα·ｓiｎβ=（1/2)[sin（α+β）-sｉn(α-β)] cos

16、α·cｏsβ＝(1／2)[ｃos(α+β)＋cos(α-β)] 　ｓｉｎα·siｎβ=-(1/2）[cos(α+β)-cos（α-β)] 　·倍角公式: 　　sｉn(2α）=2ｓiｎα·cosα=２/(tanα+ｃotα） ｃos(2α)=(cｏsα)＾２－(sinα)^２=２(cosα）^２-1=1－2(siｎα)^2 　 tan（２α)=2tａｎα／(1-tan^２α)　 ｃot(２α)=（ｃot＾2α-1）/（２ｃoｔα) 　sec（2α）＝sｅc^２α／(1-tan^2α） 　　cｓc（2α)=１/2＊ｓｅcα·ｃscα ·三倍角公

17、式: 　sin(3α) ＝ 3sｉnα-4sin^3α　=　4siｎα·sｉn（６0°+α）sｉｎ（60°-α） cos（3α） = ４ｃos^3α－3ｃosα　=　4coｓα·cos(6０°+α)cos(60°-α) 　tan(3α) = (３tanα-ｔan^3α)/(1-3tａn＾2α) = tanαtａn(π／3+α)tan（π/3-α) cot（3α)=（cot^3α-3ｃｏtα)／(3cot^2α-1)　 　·ｎ倍角公式: 　 sｉｎ（ｎα)=ｎcｏs＾（n-1)α·ｓiｎα-Ｃ(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)coｓ＾(

18、n-5)α·sin^５α-… 　 cｏｓ(nα)=coｓ^nα－C（n,2)ｃoｓ＾(ｎ－2)α·sin＾２α+C(ｎ,4)cｏｓ^(n-4)α·sin^4α-…　 　·半角公式: 　　sin(α/2)=±√((1-ｃｏsα)/2) cos(α/2)＝±√((1+cosα)/2) taｎ（α/2）＝±√(（1－coｓα)/（1+cosα))=sinα／（1+cosα)=(1-cosα)/ｓｉnα 　 ｃot（α/2）=±√（(１＋coｓα)／(１-cosα）)＝(1+cosα）／sinα=siｎα／（1-coｓα)　 　　sｅｃ(α/2)=±√((2ｓecα／

19、(ｓecα+1)）　 ｃｓc(α/２)＝±√((2sｅcα/(ｓｅcα-1))　 　·辅助角公式：　 　　Ａsｉnα＋Bcosα=√(A＾2+B＾2）sｉn(α＋φ)(tanφ＝B/A) 　 Aｓinα＋Bｃｏsα=√（Ａ^2+B^2）cos（α-φ)(ｔanφ=A/B） ·万能公式 　　sin(ａ)= (２tan（a/2)）/(１＋tan^2(a/2)) 　 cos(a）= (1-tan^2（a／2）)／（1＋tan＾２(a／2)) 　 tan(a)＝ (２ｔａｎ(a/2)）/(１－tan＾2（a/2))　 　　·降幂公式 sin^２α＝(1－c

20、oｓ(2α))/2=versiｎ(2α)/2　 　　ｃoｓ^２α=(1＋cｏs（２α）)／2＝coveｒs（2α)/2 ｔan＾2α=(１-ｃos(2α)）/(1+coｓ（２α）） 　 ·三角和的三角函数： 　 sin（α＋β+γ)=ｓｉnα·cosβ·coｓγ+ｃｏsα·sinβ·ｃｏｓγ+ｃoｓα·cosβ·ｓinγ-sinα·sinβ·siｎγ 　 ｃoｓ(α＋β+γ)=ｃosα·cosβ·cｏsγ-cosα·sｉnβ·sinγ-sｉnα·cosβ·sinγ-sｉｎα·sinβ·ｃosγ 　　tan(α＋β+γ）＝（taｎα+taｎβ+ｔanγ-taｎα·tａｎ

21、β·taｎγ)/(1－tanα·tanβ-tanβ·ｔａｎγ-tanγ·ｔanα) 　·其他公式 　 1+ｓin(a)＝(ｓin（a/2)+coｓ（a/2))＾2　１-ｓｉn(a）=（siｎ(a/2）－cos(a/2))^2 　csc(a）=１/sin(a）　seｃ(a)＝１／cｏｓ(ａ) 　cos30=sｉｎ6０ 　　ｓin30=cos6０　 ·推导公式　 tａnα+cotα＝２/sin2α　 　 tanα-coｔα=-2ｃｏt２α 1+ｃｏｓ２α=2ｃｏs^2α 　1－cos２α=２sin＾２α 　1＋sinα=[sin(α/2）+cos（α/２）]^2 　１+siｎ(a)=(ｓin(a/２)＋cos（a/2))^２ １-sｉｎ（a)=(sin(a/2)-cｏs(ａ/２)）＾2 csc(ａ)=１/sｉn(a) sｅｃ(ａ）=１/cos(a) 　 ｃｏs30=siｎ60 　sｉn30=cｏs6０ ·推导公式 tａnα+cｏｔα=2/sin2α　 　　ｔanα－ｃoｔα=－２cot2α 　1+ｃos2α=2cos＾2α 1-cos2α=2siｎ^2α 　1＋sｉｎα=[ｓin(α/2)+cos(α/2)]＾2