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1、 管清华 群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群 的元素可以是字母、数字、对称操作、点阵等。 群 表示一个拥有满足 封闭性 、 结合律 、有 单位元 、 有 逆元 的 二元运算 的 代数结构 。 平移是将物件的每点向同一方向移动相同距离 它可以视为将同一个矢量加到每点上，或将坐标系 统的中心移动所得的结果。即是说，若 v是一个已 知的矢量， p是空间中一点 ,平移 T(p)=p+v 将同一点平移两次，结果可用一次平移表示，即 V=V1+V2，因此所有平移的集是一个群，称为平 移群 晶体在微观上的空间点阵结构是其 平移对称性 的表现 由此导出了 14种平移群（即我们所熟知的 14种布 拉菲
2、点阵：简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单 正交、底心正交、体心正交、面心正交、三角、简 单四方、体心四方、六角、简单立方、体心立方、 面心立方） 对称操作 对称元素 平移对称操 作 空间点阵 反映对称操 作 反映面 旋转对称操 作 对称轴 总的来说， 对称操作 分为两大类 :点式对称操作和 非点式对对称操作 . 在进行操作时，至少有一个点保持不动的称为点式 对称操作，如前述的反映对称和旋转对称 . 没有不动点的对称操作称为非点式对称操作，如平 移对称。 顾名思义点对称操作组成的群 点对称操作分为两类： 1、第一类点对称操作 旋转对称操作 2、第二类点对称操作 象转操作（反演操作与旋转操作相结合
3、的操作） 1次旋转对称操作（恒等操作相当于转了 360度） 2次旋转对称操作 （旋转轴上的点不动） 同理有 3、 4、 6次旋转对称操作 表示方法： 1（ C1）、 2（ C2）、 3（ C3）、 4 （ C4）、 6（ C6） 参见 晶体结构的对称群 P33 俞文海 一次象转操作 相当于反演操作 -m 如图 其矩阵形式如下： 二次象转操作可分为反演操作 +2次旋转操作，如 下图：（ 可以看出其就是反映操作） 与旋转操作类似象转操作也有五种分别为 1、 2、 3、 4、 6 次象转操作。 其中由于 3、 6次象转操作可分解为反演操作（ m） +旋转操作（ 3、 6） 所以点式操作只有 8个独立
4、操 作， 1,2,3,4,6 和 。 。 现在，我们来介绍点对称操作的集合所构成的点群 晶体学点群共有 32种，称为 32种晶体学点群，简 称 32种点群。 为什么晶体学点群有 32种而不是更多或更 少 ? 晶体结构的对称群 3.7-会给以严格的数学推 导 在此不一一赘述 我们从正方点阵出发介绍 .点群与晶体结构 对称性的关系 比如正方体有 48个 对称操作 ： 沿着立方轴转 /2,， 3/2，有 3个立方轴，共 9种 沿着面 对角线 转 ，有 6条面对角线，共 6种 沿着 体对角线 转 2/3， 4/3，有 4条体对角线， 共 8种 不动算 1种，共 9+6+8+1=24种。 这 24种转动
5、加上中心反演也有 24种，故共 48种， 记为 Oh，其中 24 种纯转动记为 O。 点式操作 如上依此类推，三斜晶系有 Ix2=2种，单斜晶系有 3x26种，等等， 7种晶系共计 66种点式空间操作 理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三 个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无 限的点阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对 称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个 面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个： 点阵，与其相应的操作是平移； 螺旋轴，相应的操作是转动和平 移组成的复合对称操作。操作进 行时，先绕一轴转动一定角度， 然后再沿与此轴平行的方向进行 平移（或先平移
6、再转动）， 该轴就称螺旋轴。螺旋轴的轴次也只有 1， 2， 3， 4， 6。对 于 n重螺旋轴，沿轴向的平移，因晶体的周期性要求，由公 式决定。其中，为轴向上的点阵周期， m是整数，并且 mn。 滑移面。相应的操作是镜映和平移组成的复合操作 。操作进行时，先通过某一平面进行镜映，然后在 与平面平行的方向上平移一定距离，该平面就称滑 移面。 我们再看一个 n滑移的例子 .如图 6,1所示，滑移面 垂直于 c方向，轨迹为 (x， y， s）滑移量为 (a+b)/2 ，则其对 (x， y,z)点的操作为 应该注意，与点阵、螺旋轴、滑移面对应的对称操 作，空间上的每一点都移动了，具有这种性质的操 作称
7、空间操作。因为空间操作直接与晶体微观结构 的周期性相联系，故也称微观对称操作，其阶为 。与空间操作相对应的对称操作要素只能存在于无 限的结构中，而不能存在于有限的晶体中。 包括了这些与平移有关的操作之后，晶体的对称运 动可以全部分类成 230个对称操作群，称晶体空间 群，也称空间群。 如果考虑实际晶体的某些物理性质，则不仅有空间 位置上的对称特征，而且会有物理性质上的对称特 征 .例如，磁性有南北两极，电荷有正负两类，自旋 有上下两态等等 .这些具有相反两种状态的性质，可 以用反对称操作来描述 . 以磁体的南北极为例： SiO2, 为 -石英和 -石英的总称。两者相 转变温度在 570。常含不
8、同数量的气态、 液态和固态物质的机械混入物。 -石英具有压电性而 -石英不具有压电性 -石英属于六方晶系，图 2-121为其在（ 0001） 面上的投影。在结构中存在六次旋转轴，围绕对 称轴的硅离子，在（ 0001）投影图上可连成正六 边形。 -石英与 -石英不同的是， -石英的 Si-O-Si键 角不是 150 而是 137 。由于这一角度的变化 ，使 -石英结构变为三方晶系。围绕三次旋转对 称轴的离子已不再形成正六边形，而是复三方形 ( 见下图） 由于 -石英属于原子晶体三方晶系、无对称中心的 32点群 空间群 P312或 P322 由于在结构中存在六 次旋转轴， 点群 622。空间群 P
9、642 或 P622， 围绕对称 轴的硅离子，在（ 0001）投影图上可 连成正六边形。所以 即使应力产生应变正 负电荷中心仍然重合 ，不会产生静电偶极 矩 晶体结构的对称群 （平移群 、点群、 空间群 、色群），俞文海，中国科技大学出版社， 1991 本书系统地介绍了晶体 学中、平移群 点群 空 间群和色群及其在晶体 学中的应用。内容深刻 易懂，虽然出版于 1991年但仍不失为一 本经典的教材。 以晶体的一个三次对称轴或 者三次倒转轴为 c轴，三个水 平轴正端 120 且与 c轴正交 。通常采用四轴定向。 =90 ； =120 ； abc。但是也有部分三方 晶系的宝玉石采用三轴定向 。在这种情况下 c轴不是三次 对称轴。三个结晶轴和三次对称轴均呈斜交状态 并且角度相同。彼此绕三次对称轴分布 =90 ， a=b=c
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