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1、第一章 运动学
1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]（1）分离变量得，
积分 ，
可得 ．
（2）公式可化为，
由于v = dx/dt，所以
积分 ．
因此 ． 证毕．
1．5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加
2、速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]（1）角速度为
ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rads-1)，
法向加速度为
an = rω2 = 230.4(ms-2)；
角加速度为
β = dω/dt = 24t = 48(rads-2)，
切向加速度为
at = rβ = 4.8(ms-2)．
（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即
．
由此得，
即 ，
解
3、得 ．
所以
=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ = rω2，
即 24t = (12t2)2，
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
1．8 一升降机以加速度1.22ms-2上升，当上升速度为2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h = h1 - h2，所
4、以
，
解得时间为
= 0.705(s)．
算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程
h = (a + g)t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
v1
h
l
v2
θ
v3
α
α
v⊥
[解答]雨对地的速度等于
5、雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，
即 ． 证毕．
方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
，
所以
，
即 ．
方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l = (v1 – v2sinθ)t，
h = v2cosθ∙t．
两式消去时间t即得所求． 证毕．
大学物理第一章习题解答
