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1、
习题 6
2.7 计算Li2+Ψ1
=
1
(y
200 +y 210)
和Ψ 2
=
1
(y 200 +y 211 +y 211
) 所描述状态的能量E、
2
3
角动量L2的平均值
Z 2
ˆ2
2
解题要求：熟悉类氢离子的能级公式：E
n
= -R
,角动量平方 L jnlm
= l(l +1) jnlm
和求平
n2
= i
2
n
均值公式
ˆ
2、
* ˆ
，其中
Y =
ciji (已归一化),
ˆ
。
A
= Y
AYdτ
ci
Ai
Aji
= Aiji
i =1
解：对于类氢离子， y200,y210,y211,y211
等轨道的波函数均满足正交归一，且主量子数相
同，能
3、量简并，其能级依公式 E
= -R
Z 2
可表示为 E
= -
9 R 。
n
n2
n
=
2
4
则对于波函数 Y1和Y2 有：
Ψ *Ψ dt =
1
(y +y ) * (y +y )dt =1
2
1
4、
1
200
210
200
210
Ψ *Ψ dt =
1
(y +y +y
) * (y +y +y
)dt =1
3
2
2
200
211
211
200
211
211
即这两个波函数均已归一化。（注：如波函数未归一化，则需要进行归一化！）
这两个波函数所描述状态的能量分别为：
5、
ˆ
1
9
E1 = Ψ1 *HΨ1dt =
2
(En=2 + En =2 ) = En=2 = -
4
R
E2 = Ψ
ˆ
1
9
2 *HΨ 2dt =
(En=2 + En=2 + En =2 ) = En=2
= -
R
3
4
ˆ2
2
ˆ2
利用 L jnlm =
6、 l(l +1)
jnlm 可知各轨道的 L
本征值分别为：
ˆ2
= 0,
ˆ2
2
（m=0,+1,-1）
L
200
L
21m
= 2
7、
ˆ
*
ˆ
i
2
因此由求平均值公式 A
= Y
AYdτ =
ci
Ai 可知：
ˆ2
1
ˆ2
1
2
2
8、
L
=
Ψ1*L Ψ1dτ =
2
(0 + 2
)
=
ˆ2
ˆ2
1
2
2
4 2
L
2
=
Ψ 2*L Ψ 2 dτ = (0 + 2 + 2 ) =
3
3
2.11 证明 l =1的 Qlm (q ) 函数相互正交。
9、
证明： l =1 时，m=0 or 1，有如下两个函数
Q (q ) =
6
cosq ， Q
(q ) =
3
sinq
10
2
11
2
0p Q11 (q )Q10 (q )dq = 3 42 0p cosq sinqdq = 3 82 0p sin 2qdq = 0
即l=1时两个Θlm(θ)函数相互正交。
2.12 试证明球谐函数 Y10、Y21、Y32 是方程 - i j Ylm (q,f
10、)= mYlm (q,f)的本征函数。
证明：(1)
Y =
3
cosq
10
4p
\-i
Y
= -i
(
3
cosq ) = 0 = 0 Y
j
j
4p
10
10
即 Y10 是方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数，对应的本征值 m 为 0.
(2) Y21 = 815p sin q cos qeif ,则有
-i
Y
= -i
( -
15
sin
11、 q cos q e if ) = i 2
15
sin q cos q e if = -
15
sin q cos qe if = Y
j
8p
j 21
8p
8p
21
因而 Y21 是方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数，本征值为 1.
(3) Y32 = 32105p sin 2 q cos qei 2f ， 有则
-i j Y32 = -i j ( 32105p sin 2 q cos qe i f2)
= -2i 2
105
sin 2 q cos q e i 2f = 2
105
sin 2 q cos qe i 2f = 2Y
32p
32p
32
所以方程 - i j Ylm (q,f)= mYlm (q,f)的本征函数，本征值为 2.
厦门大学结构化学答案6
