专题强化训练1空间几何体及点、线、面的位置关系

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1、 专题强化训练 ( 一) 空间几何体及点、线、 面的位置关系 (建议用时： 45 分钟 ) [ 学业达标练 ] 一、选择题 1．下列说法中正确的是 ( ) A．若直线 m∥平面 α，直线 n⊥平面 β，且平面 α⊥平面 β，则直线 m⊥直 线 n B．两个平面一定将空间分成四部分 C．已知异面直线 a，b 所成的角为 45，若 a⊥平面 α，b⊥平面 β，则平面α与平面 β所成的角为 135 D．若平面 α∥平面 β，直线 a?平面 α，直线 a?平面 β，直线 a∥平面 α，则直线 a∥平面 β

2、 D [A 中， m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，可知 A 不正确； B 中，当两个平面平行时，将空间分为三部分，可知 B 不正确； C 中，根据异面直 线所成的角与二面角的平面角的定义， 可知平面 α和平面 β所成的角与异面直线 a，b 所成的角相等或互补，所以两个平面所成的角为 45或 135，C 不正确； D 中，由空间面面平行和线面平行的性质定理，可知 D 正确．故选 D.] 2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切， 已知这个球的体积是 32 π 3 ，那

3、 么该三棱柱的体积是 ( ) A ． 96 3 B ． 16 3 C．24 3 D ．48 3 D [用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示： 4π 3 32π 设球的半径为 R，则 3 R ＝ 3 ，所以 R＝ 2. 所以正三棱柱底面边长 a＝ 4 3， 第 1 页 其高 h＝ 2R＝ 4， V＝ 43(4 3)2 4＝ 48 3.] 3．已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝ 3，

4、AC＝4，AB⊥AC，AA1＝ 12，则球 O 的表面积为 ( ) 【导学号： 07742188】 A．153π B． 160π C． 169π D．360π C [ 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体， 1 13 其体对角线就是外接球的直径，所以球 O 的半径 R＝ 2 32＋42＋122＝ 2 ，所以 13 2 球 O 的表面积 S＝ 4π 2 ＝ 169π，故选 C.] 4．如图 15，∠ C＝90，AC＝BC，M， N 分别是 BC，AB 的中点，沿

5、直线 MN 将△ BMN 折起至△ B′ MN 位置，使二面角 B′-MN-B 的大小为 60，则 B′A 与平面 ABC 所成角的正切值为 ( ) 图 15 2 4 3 3 A． 5 B． 5 C． 5 D．5 C [ 设 BC＝2.过 B′作 B′ D⊥BC，垂足为 D(图略 )，则 B′D⊥ 平面 ABC， 连接 AD，则∠B′ AD 是 B′A 与平面 ABC 所成的角．由题意，知 ∠B′MB＝60， 1 3 1 2 5 2 MB′＝ MB＝1，则 MD ＝2，B′D＝ 2 ，A

6、D＝ 1＋2 ＋2 ＝2， 3 B′D 2 3 ∴tan∠B′AD＝ AD ＝ 5 ＝ 5 .] 5．如图 1-11，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形， SD⊥底面 ABCD，则下列 结论中不正确的是 ( ) 图 1-11 A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD 第 2 页 C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D．AB 与 SC

7、所成的角等于 DC 与 SA所成的角 D [ 选项 A 正确，因为 SD 垂直于平面 ABCD，而 AC 在 平面 ABCD 内，所以 AC 垂直于 SD；再由 ABCD 为正方形，所 以 AC 垂直于 BD，而 BD 与 SD 相交，所以 AC 垂直于平面 SBD， 进而垂直于 SB. 选项 B 正确，因为 AB 平行于 CD，而 CD 在平面 SCD 内，AB 不在平面 SCD 内，所以 AB 平行于平面 SCD. 选项 C 正确，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 SO，则 SA 与平面 SBD 所成

8、 的角就是 ∠ASO， SC 与平面 SBD 所成的角就是 ∠ CSO，易知这两个角相等． 选项 D 错误，AB 与 SC所成的角等于 ∠ SCD，而 DC 与 SA 所成的角是 ∠ SAB， 这两个角不相等． ] 二、填空题 6．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是 32π，则母线长为 ________． 1 4 [设圆台的母线长为 l，上、下底面半径分别为 r ，R，则 l＝2(r＋R)， 又 32π＝π(r＋ R)l＝ 2πl2，所以 l2＝16，所以 l＝4.] 7．如图 1-12，半径为 2 的

9、半球内有一个内接正六棱锥 P-ABCDEF，则此正 六棱锥的侧面积是 ________. 【导学号： 07742189】 图 1-12 6 7 [显然正六棱锥 P-ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆， 由已知，可得大圆的半径为 2.易得其内接正六边形的边长为 2.又正六棱锥 P-ABCDEF 的 第 3 页 高为 ，则斜高为 2 3 2 ＝ ，所以该正六棱锥的侧面积为 1 2 7＝ 2 2 ＋ 7 6 2 6 7.]

10、 8．已知 A 是锐二面角 α-l-β中 α内一点， AB 垂直 β于点 B，AB＝ 3，点 A 到 l 的距离为 2，则二面角 α-l-β的平面角的大小为 ________． 60 [ 过点 A 作 l 的垂线，设垂足为 C，连接 BC(图略 )．由于 AB⊥β，则△ABC 3 为直角三角形， ∠ACB 就是锐二面角 α-l -β的平面角．易得 sin∠ ACB＝ 2 ，因 此 ∠ACB＝ 60，即二面角 α-l-β的平面角的大小是 60.]

11、三、解答题 9．如图 1-13，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，O 是底面 ABCD 对角线的交点． 图 1-13 求证： (1)C1 O∥面 AB1D1； (2)A1 C⊥面 AB1D1. [ 证明 ] (1)如图，连接 A1 C1，设 A1C1∩ B1D1＝ O1，连接 AO1， ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体， ∴A1ACC1 是平行四边形， ∴A1C1∥AC 且 A1C1＝ AC， 又 O1，O 分别是 A1C1， AC 的中点， ∴O1 C1∥AO 且 O1C1＝AO，

12、 ∴四边形 AOC1O1 是平行四边形， ∴C1O∥AO1，AO1? 面 AB1D1，C1O?面 AB1D1， ∴C1O∥面 AB1D1. (2)∵ CC1⊥面 A1B1C1D1， ∴CC1⊥ B1D1， 第 4 页 又∵ A1C1⊥B1D1， ∴B1D1⊥面 A1C1CA， 即 A1C⊥B1D1，同理可证 A1C⊥AB1， 又 B1D1∩AB1＝B1，∴ A1C⊥面 AB1D1. 10．如图 1-14，在四棱锥 P-ABCD 中， AB∥ CD，

13、AB⊥ AD， CD＝ 2AB，平 面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD，PC 的中点 . 【导学号： 07742190】 图 1-14 求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD . [证明 ] (1)∵ 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PA⊥AD. ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵ AB∥ CD， CD＝2AB， E 为 CD 的中点， ∴AB∥DE，且 AB＝

14、DE. ∴四边形 ABED 为平行四边形， ∴ BE∥ AD. 又 BE?平面 PAD，AD? 平面 PAD， ∴BE∥平面 PAD. (3)∵ AB⊥ AD，且四边形 ABED 为平行四边形． ∴BE⊥CD ，AD⊥CD . 由 (1)知 PA⊥底面 ABCD，则 PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A， 第 5 页 ∴CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD， 又 E， F 分别为 CD，CP 的中点，∴EF∥PD，故 CD⊥EF. ∵EF，BE? 平

15、面 BEF，且 EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面 BEF. 又 CD? 平面 PCD， ∴平面 BEF⊥平面 PCD. [ 冲 A 挑战练 ] 1．已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方 形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8 ＋ 8 3，则球 O 的体积等于 ( ) A．32π B． 32 2π 3 3 C．16π D． 16 2π 3

16、 A [ 依题意，设球 O 的半径为 R，四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a、高为 h， 1 则有 h≤R，即 h 的最大值是 R.又 AC＝ 2R，则四棱锥 S-ABCD 的体积 VS-ABCD ＝3 2 2R3 2R h≤ 3 .因此，当四棱锥 S-ABCD 的体积最大，即 h＝ R 时，其表面积等于 ( 2 1 2R 2 2 2R 2 R) ＋42 2 ＋R ＝8＋8 3，解得 R＝2，因此球 O 的体积等于 4πR3 32π

17、 3 ＝ 3 ，选 A.] 2．如图 1-15 所示，点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外， PA⊥平面 ABCD， PA＝AB，则异面直线 PB 与 AC 所成的角是 ( ) A．90 B．30 C．45 D． 60 第 6 页 图 1-15 D [ 连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PD，取 PD 的中点 Q，连接 OQ，AQ(图 略 )，则 OQ∥PB.设正方形 ABCD 的边长为 a.因为 PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝a， 所以 PD＝PB＝

18、DB＝AC＝ 2a.因为在 △DBP 中， O，Q 分别是边 BD，PD 的中 PB 2a 2a 2a 点，所以 OQ＝ 2 ＝ 2 .在△ADP 中， AQ＝ 2 ，又 OA＝ 2 ，所以 △AOQ 是 等边三角形，所以 ∠AOQ＝60.因为 OQ∥PB，所以异面直线 PB 与 AC 所成的 角为 60.] 3．在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠ PCA＝ 90，△ ABC 是边长为 4 的正三角形，PC＝4，M 是 AB 边上的一动点，则 PM 的最小值为 ________． 2 7 [ 连接 CM，则由题意

19、知 PC⊥平面 ABC，可得 PC⊥CM，所以 PM＝ PC2＋CM2，要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可， 3 在 △ABC 中，当 CM⊥ AB 时，CM 有最小值，此时有 CM＝4 2 ＝ 2 3，所以 PM 的最小值为 2 7.] 4．如图 1-16，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知 △ A′ ED 是△ AED 绕 DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题： 图 1-16 ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上； ②恒有平面 A′

20、GF⊥平面 BCED； ③三棱锥 A′ -FED 的体积有最大值； ④直线 A′E 与 BD 不可能垂直． 其中正确命题的序号是 ________. 【导学号： 07742191】 ①②③ [ 对于命题 ①，由题意，知 A′G⊥ DE，FG⊥ DE，A′ G∩FG＝G， 故 DE⊥平面 A′FG.又 DE? 平面 ABC，所以平面 A′FG⊥平面 ABC，故该命题 第 7 页 正确；对于命题 ② ，由① 可知正确；对于命题 ③ ，当 A′ G⊥ 平面 ABC 时，三棱 锥 A′-FED 的体

21、积有最大值， 故命题 ③正确；对于命题 ④，当 A′E 在平面 ABC 上的射影与直线 BD 垂直时，易证 A′E 与 BD 垂直，故该命题不正确． ] 5．由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1-B1CD1 后得到的几何体如图 1-17 所示．四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E⊥ 平面 ABCD. 图 1-17 (1)证明： A1 O∥平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM⊥平面 B1CD1. [证明 ] (1)取 B1D1 的中

22、点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCD-A1B1C1D1 是四棱柱， 所以 A1O1∥ OC，A1O1＝OC， 因此四边形 A1OCO1 为平行四边形，所以 A1O∥O1C. 又 O1C? 平面 B1CD1，A1O?平面 B1CD1， 所以 A1O∥平面 B1CD1. (2)因为 AC⊥BD，E， M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EM⊥BD. 又 A1E⊥平面 ABCD， BD? 平面 ABCD， 所以 A1E⊥BD. 因为 B1D1∥ BD， 所以 EM⊥B1D1，A

23、1E⊥B1D1. 又 A1E，EM? 平面 A1EM，A1 E∩ EM＝E， 所以 B1D1⊥ 平面 A1EM. 第 8 页 又 B1D1? 平面 B1CD1， 所以平面 A1EM⊥平面 B1CD1. 第 9 页