【备战2014】高中数学第44讲立体几何中的向量方法(二)空间角与距离的求解配套试题(含解析)理新人教B版

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1、 [ 第 44 讲 立体几何中的向量方法 ( 二) ——空间角与距离的求解 ] ( 时间： 45 分钟 分值： 100 分 ) 基础热身 1．设平面 α 的法向量为 a＝ (1 ，2，－ 2) ，平面 β 的法向量为 b＝ ( －2，－ 4，k) ，若 α∥ β ，则 k 等于 ( ) A． 2 B ．－ 4 C． 4 D ．－ 2 2．[2013 银川一模 ] 如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a＝(0 ， 2， 1) ， b＝ ( 2

2、， 5， 5) ，那么这条斜线与平面的夹角是 ( ) A． 90 B ． 60 C． 45 D ． 30 3．[2013 沈阳一模 ] 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为 ( ) A． 75 B ． 60 C． 45 D ． 30 4．[2013 兰州一模 ] 在空间直角坐标系 O－ xyz 中，平面 OAB的法向量为 n＝ (2 ，－ 2， 1) ，已知 P( － 1， 3， 2) ，则点 P 到平面 OAB的距离 d 等于 ( ) A． 4 B ． 2 C． 3 D ． 1

3、 能力提升 ABCD－A BCD 中，底面是边长为 2 的正方形，高 5．[2013 长春一模 ] 已知在长方体 为 4，则点 1 到截面 1 1 的距离是 ( 1 1 1 1 ) A ABD 8 3 A. 3 B. 8 4 3 C. 3 D. 4 6．[2013 西宁一模 ] 正方体 ABCD－ A B CD 中，二面角 A

4、－ BD－ B 的大小为 () 1 1 1 1 1 1 A． 60 B ． 30 C． 120 D ． 150 已知△ ABC的三个顶点坐标分别为 A(2 ， 3， 1) ， B(4 ， 1，－ 2) ， 7．[2013 西安一模 ] (6 ， 3， 7) ，则△ 的重心坐标为 ( ) C ABC 7 7 A. 6， ， 3 B. 4， ， 2

5、 2 3 14 7 C. 8， 3 ， 4 D. 2， 6， 1 8．在正方体 1 1 1 1－ 中， E 是 1 1 的中点，则异面直线 与 夹角的余弦值为 A B CD ABCD CD DE AC ( ) 1 10 1 A．－ 10 B ．－ 20 1 10 C. 20 D. 10 9．

6、在直三棱柱 A1B1C1－ ABC中，∠ BCA＝ 90，点 D1， F1 分别是 A1B1， A1C1 的中点， BC＝ CA＝ CC1，则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是 ( ) 30 1 30 15 A. 10 B. 2 C. 15 D. 10 10．已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1，直线 BC1与平面 A1BD所成的角的余弦值是 ________． 11．如图 K44－1，在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1，点 M是线 段 DC1上的动点，则点 M到直线 AD1距离的最小值是 _____

7、___． 图 K44－ 1 图 K44－ 2 12．[2013 郑州二模 ] 如图 K44－ 2 所示， ⊥平面 ， ⊥ ， ＝ ＝ 1， ＝ 2， PA ABC AC BC PA AC BC 则二面角 A－ PB－ C的余弦值为 ________． 13．在空间直角坐标系中，定义：平面α 的一般方程为： Ax＋ By＋ Cz＋ D＝ 0( A，B， C， ∈ R，且 ， ， 不同时为

8、零 ) ，点 ( 0， 0， 0) 到平面 α 的距离为： ＝ | Ax ＋ By ＋Cz ＋ D| ， 0 0 0 D A B C P x y z d A2＋ B2＋ C2 则在底面边长与高都为 2 的正四棱锥中，底面中心 O到侧 面的距离等于 ________． 14．(10 分) 如图 K44－ 3，在四棱锥 P－ ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA⊥底面 ABCD， E 是 PC的中点，已知 AB＝ 2， AD＝ 2 2， PA＝ 2，求： (1) 三角形 PCD的面积； (

9、2) 异面直线 BC与 AE所成的角的大小． 图 K44－ 3 15． (13 分 ) 如图 K44－ 4 甲，在直角梯形 ABCD中， AB∥ CD，∠ BAD＝ 90， AB＝2， AD ＝3， ＝ 1，点 ， F 分别在 ， 上，且 ＝ 1 ， ＝ 1 . 现将此梯形沿 EF 折至使 AD CD E AD BC AE 3AD BF 3BC 2 ＝ 3的位置 ( 如图乙 ) ． (1) 求

10、证： AE⊥平面 ABCD； (2) 求点 B 到平面 CDEF的距离； (3) 求直线 CE与平面 BCF所成角的正弦值． 图 K44－ 4 难点突破 16．(12 分)[2013 长沙三模 ] 如图 K44－ 5，正△ ABC的边长为 2a，CD是 AB边上的高，E， F 分别是 AC和 BC的中点，现将△ ABC沿 CD翻折成直二面角 A－CD－ B. (1) 试判断翻折后直线 AB与平面 DEF的位置关系，

11、并说明理由； (2) 求异面直线 AB与 DE所成角的余弦值； (3) 求二面角 B－ AC－ D的余弦值． 图 K44－ 5 3

12、 4

13、 5 课时作业 ( 四十四 ) 【基础热身】 1． C [ 解析 ] ∵ α ∥ β，∴ ( － 2，－ 4， k) ＝ λ (1 ，2，－ 2) ，∴－ 2＝λ ， k＝－ 2λ ， ∴k＝ 4. a b 3 2． D [ 解析 ] cos θ ＝ | a|| b| ＝ 2 ，因此所求的夹角为 30. 3． C [ 解析 ] 如图，四棱锥 P— ABCD中，过 P作 PO⊥平面

14、ABCD于 O，连接 AO，则 AO 是 AP在底面 ABCD上的射影， ∴∠ PAO即为所求线面角， ∵ AO＝ 2 AO 2 ，PA＝ 1，∴ cos ∠ PAO＝ ＝ ，∴ ∠ PAO＝ 45， 2 PA 2 即所求线面角为 45 . → | － 2－ 6＋ 2| 6 4． B [ 解析 ] d＝ | OP n| ＝ 2. | n| ＝ 22＋（－ 2） 2＋

15、 12＝ 3 【能力提升】 5． C [ 解析 ] 如图，以 D为原点建立空间直角坐标系 D－ xyz， → → ＝ 则 A1(2 ， 0， 4) ， A(2 ， 0， 0) ， B1(2 ， 2， 4) ， D1(0 ， 0， 4) ，AD1＝ ( － 2，0， 4) ， AB1 → → n＝ ( x， y，z) ，则 nAD1＝ 0， 即 (0 ， 2， 4) ， AA＝ (0 ， 0， 4) ，设平面

16、ABD 的法向量为 1 1 1 → ＝ 0， nAB1 － 2x＋ 4z＝ 0， 解得 x＝ 2z 1 1 1 2y＋ 4z＝0， 且 y＝－ 2z，不妨设 n＝(2 ，－ 2，1) ，设点 A 到平面 ABD 的距 → 4 离为 d，则 d＝ | AA1 n| | n| ＝ 3. 6． C [ 解析 ] 以 D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．

17、 设 A(1 ， 0， 0) ， D1(0 ， 0，1) ， B(1 ，1， 0) ， B1(1 ， 1， 1) ， C(0 ，1， 0) ， → 则 AC＝ ( － 1， 1， 0) 为平面 BBD 的一个法向量． 1 1 设 n ＝ ( ， ， ) 为平面 1 的一个法向量． x y z ABD → → 则 nAD1＝ 0， nAB＝ 0， 6 → →

18、－ x＋ z＝ 0， z＝ x， 又 AD1＝ ( － 1， 0，1) ， AB＝(0 ， 1， 0) ，∴ y＝ 0. ∴ y＝ 0. 取 n＝ (1 ， 0， 1) ． ∴ cos 〈 → ， 〉＝－ 1 . ∴〈 → ， 〉＝ 120，结合图形知二面角 － 1 － 1 的大小为 AC n 2 AC n A BD B

19、 120 . 7．B [ 解析 ] △ 的重心坐标为 x ＝ 2＋ 4＋ 6 3＋ 1＋ 3 7 1＋（－ 2）＋ 7 3 ＝ 4， ＝ 3 ＝ ， ＝ 3 ABC y 3 z ＝2. 8．D [ 解析 ] 如图建立直角坐标系 D－ xyz ，设 DA＝ 1，A(1 ，0，0) ，C(0 ，1，0) ，E 0，1， 1 .

20、 2 → → 1 ，若异面直线 DE与 AC所成的角为 θ， 则 AC＝ ( － 1， 1， 0) ， DE＝ 0， ， 1 2 则 cos θ ＝ |cos 〈 → ， → 〉| ＝ 10 . AC DE 10

21、 1 9． A [ 解析 ] 建立如图所示的坐标系，设 1 － ， 0， 1 ， BC＝ 1，则 A( － 1， 0， 0) ， F 2 1 1 → 1 →1 1 1 ， 1 →1 →1 1 － ，－ ， 1 1

22、 ， 0， 1 － ， B(0 ，－ 1，0) ，D 2 2 ，AF＝ 2 ，BD＝ 2 2 . ∴ cos〈 AF，BD〉＝ → → 30 AF BD 1 1 ＝ 10 . → → | AF| | BD|

23、 1 1 10. 3 [ 解析 ] 如下图，以 D为坐标原点，直线 DA， DC， DD1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴 3 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 D(0 ，0，0) ，A1( 1，0，1) ，B(1 ，1，0) ，C1(0 ， → → ， 1，0) → 1， 1) ，∴ DA＝(1 ， 0， 1) ，DB＝ (1 ，BC＝ (

24、－ 1， 0， 1) ，设平面 A BD的一个法向量 1 1 1 → x＋ z＝ 0， z＝－ x， n DA＝ 0， 为 ＝ ( x ， ， z ) ，则 1 ∴ ∴ n y → x＋ y＝ 0， y＝－ x， 令 x＝1 n DB＝ 0， 得，n＝ (1 ，－1，－ 1) ，设直线 BC 与平面 A BD所成的角为 θ，则 sin θ＝ |cos

25、 1 1 → | →1 | 2 6 BC n ＝ ＝ 3 ， 〈BC， n〉 | ＝ → 1 2 3 | BC1| | n| 2 3 ∴ cosθ ＝ 1－ sin θ ＝ 3 . 7 11. 3 [ 解析 ] 设 (0 ， ， )(0 ≤ ≤ ) ， →1＝( － ，0， ) ，

26、直线 1 的一个单位方 3 a M m m m a AD a a AD 向向量 s0＝ － 2 2 → 的距离 ，0， ，由 MD1＝ (0 ，－ m， a－m) ，故点 M到直线 AD1 2 2 d＝ → 2 →2 2 2 1 2 3 2 1 2 | MD| － | MDs | ) ＝ m＋（ a－ m） － 2（ a－ m） ＝

27、 2m－ am＋ 2a ，根式 1 1 0 － a a 3 a 2 a 1 21 2 3 内的二次函数当 m＝－ 3＝ 3时取最小值 2 3 － a 3＋ 2a ＝ 3a ，故 d 的最小值为 3 a. 2 2 12. 3 [ 解析 ] 以 C为原点， CA为 x 轴， CB为 y 轴建立空间直角坐标系 C－ xyz， 3 则 A(1 ，

28、 0， 0) ， B(0 ， 2， 0) ，C(0 ， 0，0) ， P(1 ，0， 1) ， → → 2，－ 1) → ， 2， 0) ， ∴ AP＝ (0 ， 0， 1) ， PB＝ ( －1， ，CB＝ (0 设平面 APB 的法向量为 1＝ ( x 1， y 1， 1) ，平面 的法向量为 n 2＝ ( x 2， 2， 2) ，则 n z PBC y z z1＝

29、 0， － x1＋ 2y1－ z1＝ 0，2y2＝ 0， 取 n1＝ (2 ， 2 ，0) ， n2＝ ( －1， 0， 1) ． － x2＋ 2y2－ z2＝ 0， ∴ cos〈 1， 2〉＝ － 2 ＝－ 3 . n n 6 2 3 3 结合图形知二面角 A－ PB－ C的余弦值为 3 . 2 5 如图，以底面中心 O为原点建立空间直角坐标系 O－ xyz，则 A(1 ，1， 13. [ 解析 ] 5 0) ， ( － 1， 1

30、， 0) ， (0 ， 0，2) ，设平面 的方程为 ＋ ＋ ＋ ＝ 0，将以上 3 个坐 B P PAB Ax By Cz D 标代入计算得 1 A＝ 0，B＝－ D，C＝－ 2D， 8 1 ∴平面 PAB的方程为－ Dy－ 2Dz＋ D＝0， 即 2y＋ z－ 2＝ 0，∴ d＝ |2 0＋ 0－2| 2 5 22＋ 12 ＝ 5 . 14．解： (1) ∵ PA⊥底面 ABC

31、D，∴ PA⊥ CD，又∵ CD⊥AD， ∴ CD⊥平面 PAD， ∴ CD⊥PD， 又∵ PD＝ 22＋（ 2 2） 2＝ 2 3， CD＝ 2， 1 ∴△ PCD的面积为 2 2 2 3＝ 2 3. (2) 方法一：取 PB的中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥ BC，∴∠ AEF( 或其补角 ) 是异面直线BC与 AE所成的角． 在△ AEF中， EF＝ 2，AF＝ 2， AE＝ 2， ∴△ AEF是等腰直角三角形， π π ∴∠ AEF＝ 4 ，∴异面直线 BC与 AE所成的角大小为

32、4 . 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2 ， 0， 0) ， C(2 ， 2 2，0) ，E(1 ， 2， 1) ， → ， 2， → 2， 0) ， ∴ AE＝ (1 1) ， BC＝ (0 ， 2 → → 设 AE与BC的夹角为 θ ，则 → → 4 2 AEBC cos θ＝ → → ＝ ＝ 2 . | AE|| BC| 2 2 2 π π 又∵

33、 0＜ θ ≤ 2 ，∴ θ ＝ 4 . 故异面直线 BC与 AE所成的角的大小是 π4 . 15．解： (1) 证明：由题意知 AE＝1， DE＝ 2， AD＝ 3， 2 2 2 ∴ AE＋ AD＝ DE. ∴∠ EAD＝ 90，即 EA⊥AD. 又 EA⊥ AB， AB∩ AD＝ A，∴ AE⊥平面 ABCD. (2) 作 AK⊥ DE于点 K. 由题知 AB∥ EF. ∵ AB?平面 CDEF， EF? 平面 CDEF，∴ AB∥平面 CDEF. ∴点 B到平面 CDEF的距离即为点 A 到平面 CD

34、EF的距离． ∵ EF⊥AE， EF⊥ED， ED∩EA＝ E， 9 ∴ EF⊥平面 AED，∵ AK? 平面 AED，∴ AK⊥ EF. 又 AK⊥ DE， DE∩ EF＝ E，∴ AK⊥平面 CDEF. ∴ AK的长即为点 B 到平面 CDEF的距离． 3 在 Rt△ ADE中， AK＝ 2 ， 3

35、 ∴点 B到平面 CDEF的距离为. 2 (3) 以点 A 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角 AD AB AE 坐标系， 如图，则 (0 ，2，0) ， ( 3，1，

36、0) ， (0 ，0，1) ， F 5 ，→ 1 ， → 0， ， 1 ＝ 0，－ ，1 B C E 3 BF 3 BC ＝( → 3，－ 1， 1) ，设平面 BCF的法向量 n＝ ( x， y， z) ， 3，－ 1， 0) ，CE＝ ( － → 3 BF

37、n＝ 0， 由 → 可取 n＝ 1， 3， 3 . BC n＝0， → 5 3 | | 3 65 设直线 CE与平面 BCF所成的角为 α ，则 sin α ＝ CE n ＝ 13 ＝.

38、 → n| 13 | CE|| 5 3 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 65 . CE BCF 13

39、 【难点突破】 16．解： (1) 以 D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则 (0 ，0，0) ， (0 ，0， ) ， ( ，0，0) ， (0 ， 3 ，0) ， 3 a ， a 3 . D A a B a C a E 0， 2 a，2 F 2 ， 2 a， 0 → → a a

40、∴ AB＝ ( a， 0，－ a) ， EF＝ 2， 0，－ 2 ， 从而 → ＝ 1 → ， EF 2 AB ∴ → ∥ →，又 ?平面 ， ? 平面 ， AB EF AB DEF EF DEF 故 AB∥平面 DEF.

41、 → → AB与 DE所成的角 ( 或其补角 ) ． (2) ∵ AB∥ EF，∴∠ DEF即为异面直线 → 3 a ∵ ED＝ 0，－ 2 a，－ 2 ， 10 → a a EF＝ 2， 0，－ 2 ， ∴ cos〈 → ， → 〉＝ → → EF ED ＝ 2 .

42、 EF ED → → 4 | EF|| ED| ∴异面直线 AB与 DE所成角的余弦值为 2 4 . (3) ∵ n0＝(1 ，0，0) 为平面 ACD的一个法向量，设 n＝ ( x，y，z) 为平面 ABC的一个法向 量，

43、 则 → ＝ － az → ay － ＝ 0，取 z ＝ 1，则 x 3 ＝ 3 ， ＝ 0， ＝ 3 ＝ 1 ，＝ . ∴ 1， ，1 AB n ax AC n az y n 3 3 从而 cos 〈 n，n0〉＝ n n0 21 ＝. | n|| n0| 7 所以二面角 B－AC－ D的余弦值为 21 7 . 11