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1、1 xxgxf d)()()1( ;d)(d)( xxgxxf 证 d)(d)( xxgxxf .)()( xgxf 等式成立 . （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 第二节 不定积分的基本性质 d)(d)( xxgxxf 与基本积分公式 一、不定积分的基本性质 2 ,)(d)(d d )3( xfxxfx xxfxxf d)(d)(d ,)(d)( )4( CxFxxF CxFxF )()(d 这些性质不难由不定积分的定义直接获得。 xxkf d)()2( xxfk d)( （ k 是常数， )0k 3 二、基本积分公式 Ckxxk d)1( (k是常数 ); );1( 1 d)2(
2、1 Cxxx ;lnd)3( Cxxx xx de 特别， C x e xa x d)4( ; ln Ca a x xx dc o s)5( ;s in Cx xx ds i n)6( ;c o s Cx 4 二、基本积分公式 xx2c o sd)7( xx ds e c 2 ;tan Cx xx2s i nd)8( xx dc s c 2 ;c o t Cx xx d1 1)10( 2 )c o ta r c(a r c t a n CxCx 或 x x d 1 1)9( 2 )a r c c o s(a r c s i n CxCx 或 5 直接积分法 分项积分法 xxxx d)124(
3、)1( 23 4x C xxx x d)ec o s2s i n( )2( xco s xxx d)32( )3( 2 xxxx d)9624( C x x x 9ln966ln 24ln4 C a axa xx ln d例 1 求下列不定积分 3 3 2 x 23 3 2 x x xs in2 Cx e xx de )4( 2 xx d)e( 2 Cx 22 eln/)e( C x 2e 2 6 例 2 求下列不定积分 xxx d)1( )1( 2 xxxx d)2( 2 3 2 1 2 1 Cxxx 2 5 2 3 5 2 3 42 xx xx d21 2 x xx xx d )1( 1
4、)2( 2 2 xxx xx d)1( )1( 2 2 xxx d)11 1( 2 Cxx |lna r c t a n 7 例 2 求下列不定积分 x xx xxx d 1 21)1( )3( 2 22 x xx x d) 1 21( 2 2 x xx x d) 1 21( 2 22 1 x |ln x Cx a r c s i n2 x xx d )1( 1 )4( 22 xxx d)1 11( 22 x xx xx d )1( 1 22 22 Cxx a r c t a n1 8 例 2 求下列不定积分 xxx d1 )5( 2 4 xxxx d1 1)1)(1( 2 22 xxx d)
5、1 11( 22 Cxxx a r c t a n 3 3 xxx d1 11 2 4 9 xxx dc o s2s i n )1( Cx c o s2 三角恒等变形 例 3 求下列不定积分 xxx ds i n1 c o s )2( 2 xxx xx ds i nc o s s i nc o s 22 xxx d)s i nc o s( Cxx c o ss i n xxx dc o ss i n 1 )3( 22 xxx xx dc o ss i n c o ss i n 22 22 xxx d)c s cs e c( 22 Cxx c o tt a n xx xx dc o s c o
6、ss i n2 xx ds in2 10 例 3 求下列不定积分 xxx x ds i nc o s 2c o s )4( xxx xx ds i nc o s s i nc o s 22 xxx d)s i nc o s( Cxx c o ss i n xx dt a n )5( 2 Cxx t a n xx d)1( s e c 2 xx d2s i n )6( 2 xx d2c o s1 Cxx )s i n(21 xxs in1 d )7( xxx x d)s i n1)(s i n1( s i n1 xxxx d)t a ns e c( s e c 2 Cxx s e ct a n
7、xxx dc o ss i n1 2 11 训练： 求下列不定积分 xx d)1( )1( 22 xxx d)12( 24 Cxxx 35 3251 xxx d39 )2( xx d)3( Cxx 332 23 xx d2c o s )3( 2 xx d2c os1 Cxx )s i n(21 xxx d2c os1 c os1 )4( xxx ds i n2 c os1 2 xxxx d)c otc s c( c s c21 2 Cxx )c s c( c o t21 xxx d11 )5( 2 2 xx d)1 21( 2 Cxx a r c t a n2 12 练习： P194 习题五
不定积分的基本性质与基本积分公式
