第3章 习题解答

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1、第3章 习题解答 第三章 刚体的定轴转动 3.1请思考下面关于刚体转动惯量的问题： （1）刚体的转动惯量与那些因素有关？ （2）“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？ 3.2 两大小相同、质量相等的圆盘，一个圆盘的质量均匀分布，另一个圆盘的质量主要集中在圆盘边缘，两圆盘绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动。问： （1）如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个圆盘转动的角速度较大？ （2）如果它们的角加速度相同，哪个圆盘受到的力矩大？ （3）如果它们的角动量相等，哪个圆盘转的快？ 3.3为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能只与外力矩有关，而与内力

2、矩无关？ 3.7请判断下面物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关： （1）位矢；（2）位移；（3）速度；（4）动量；（5）角动量；（6）力；（7）力矩 3.8 一质量为M ，半径为r 的匀质圆盘旋转时，在某一瞬间突然有一片质量为m 的小碎片从圆盘的边缘飞出，则飞轮的转动惯量变为（ ） A 、212Mr B 、21()2M m r - C 、221 2 Mr mr - D 、不能确定 C 3.9在刚体的定轴转动中，如果合外力矩的方向与角速度的方向一致，则以下说法正确的是（ ） A 、合力矩增大时， 物体角速度一定增大； B 、合力矩减小时， 物体角速度一定减小；

3、 C 、合力矩减小时，物体角加速度不一定变小； D 、合力矩增大时，物体角加速度不一定增大。 A 3.10一匀质圆盘状飞轮，质量为20kg ，半径为30cm ，当它以每分钟60转的速率，绕垂直与圆盘面且通过圆盘圆心的轴转旋转时，其动能为（ ） A 、2 16.2J π B 、2 8.1J π C 、8.1J D 、2 1.8J π D 3.11在自由转动着的水平转台的边缘站着一人，当该人从边缘沿径向走到转台中心的过程中，系统的转动动能（ ） A 、不变 B 、减小 C 、增加 D 、先减小后不变 C 3.12运动员手握两只哑铃，站在无摩擦旋转的水平平台上，开始时此人两手

4、平握哑铃，人、哑铃、平台组成的系统以角速度ω旋转，随后，此人将哑铃下垂于身体两侧，在此过程中，下面说法正确的时（ ） A 、角动量守恒，机械能守恒； B 、角动量守恒，机械能不守恒； C 、角动量不守恒，机械能守恒； D 、角动量不守恒，机械能不守恒。 B 3.13一根长为 、质量为M 的匀质棒，自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射向棒的中心，并以02v 的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角为0 90，则0v 的大小为（ ） A B C D 、 22 163M g m A 3.14一质量为m ，半径为R 的匀质薄圆盘，在水平面上绕通

5、过中心且垂直盘面的轴转动。设圆盘与水平面之间的滑动摩擦因素为μ。若开始以角速度0ω旋转，问： （1）圆盘停止转动经过多长时间？ （2）上述过程中摩擦力矩所作的功？ 解：（1）摩擦力矩 222dM r rdr g g r dr σπμπσμ=??= 式中，σ为质量面密度。 32 20 2 2233 R m R M dM g r dr g mg R R πσμπμμπ====?? 而21 2 M I mR ββ== 所以2 2132 mg R mR μβ= 得角角速度为43g R μ β= 故00t ωβ=-?，0 34R t g ωμ ?= （2）

6、根据动能定理有 222 00 11024 f A I mR ωω=-=- 3.15一根长度为l 均匀木棒，质量为m ，可绕水平轴O 在竖直平面内转动(无摩擦)，开始时棒水平静止放置，当棒在重力的作用下转动到与水平方面成θ角时，求： (1) 力矩作功；(2) 杆的角的加速度；(3) 杆的角加速度。 解：(1)根据定轴转动力矩作功的计算式 z dW M d θ= 式中 0 s i n (90)c o s 22 z M mg mg θθ= -= 所以 0cos sin 22 W mg d mg θθθθ==? (2) 根据定轴转动的转动定理 z M I β= 式中

7、2 13I m = 再利用 cos 2z M mg θ= 可得 3cos 2g βθ= (3) 利用机械能守恒： 21sin 22 I mg ωθ= 所以 ω= 3.16弹簧、定滑轮和物体的连接如图3-16所示，弹簧的劲度系数为2.0N.m -1；定滑轮的转动惯量是0.5kg.m 2，半径为0.30m ，问：当6.0kg 质量的物体落下0.40m （竖直高度）时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。 解：当物体落下0.40m 时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即 2 2 2222121r Iv mv

8、 kh mgh ++=， 将kg m 6=，2/8.9s kgm g =，m h 4.0=，2 5.0kgm I =，m r 3.0=代入，得 s m v /01.2= 3.17如图3-17所示，物体1和2的质量分别为1m 与2m ，滑轮的转动惯量为J ，半径为r ，如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 和2T (设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦) 解： 以滑轮为研究对象：12T r T r J β-= 以物体1为研究对象：111m g T m a -= 以物体2为研究对象：222T m g m a μ-= 绳子与滑轮间无相对滑动：a r β=

9、联立上面四式，可得 2222112212J m r m r T m g J m r m r μ++=++，22 112222 12J m r m r T m g J m r m r μμ++=++ 22 1222 12m r m r a g J m r m r μ-=++ 3.18一长=0.4m 、质量1M kg =的匀质细棒，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始时，细棒处于自然竖直状态，现有一质量8m g =的子弹，以200/m s υ=的速率从A 点射入棒中，A 点与O 点的距离为34 ，如图3-18所示。求： （1）棒开始运动时的角速度； （2）棒的最大偏转角。

10、解：系统绕杆的悬挂点的角动量为 21 34 0.48L mvl kgm s -== 子弹射入后，整个系统的转动惯量为 222054.016 9 31kgm ml Ml I =+= 由角动量守恒有 s rad I L /88.8== ω ⑵子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为 2 12 2.13W I J ω==动 当杆转至最大偏转角θ时，系统动能为零，势能的增加量为 ()()3 1241cos 1cos W Mgl mgl θθ?=-+-势 由机械能守恒，势动W W ?= 得 24.94=θ。 3.19 如图3-19所示，转台绕中心竖

11、直轴以角速度0ω作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J =510-5 kg m 2。现有砂粒以1g/s 的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r =0.1m 的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为02ω所花的时间。 解：要使转台角速度变为102ω，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系 的转动惯量加倍才行，即 J r m =2 沙粒。将2 5105m kg J ??=-和m r 1.0=代入得 kg m 3105-?=沙粒 所以 s s g kg t 5/11053=?= - 3.20一脉冲星质量为1.51030kg ，半径为20km 。自旋转速为2.1 r

12、/s ，并且以1.010-15r/s 的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。 解：脉冲星的转动惯量为 2 52mr I = 转动动能为 2 225121r m I W ωω== 转动动能的变化率为 225dW d mr dt dt ω ω = ()2 30415250.4 1.510210 2.12 1.0102 1.9910/J s ππ-=?????????=? 由d dt ω α= ，t ωα=，得停止自旋所需要的时间为 151522.1/ 2.1101.010/r s t s r s ωα-= ==??