高考数学(考点解读命题热点突破)专题05 函数基本初等函数的图像与性质 文

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1、高考数学(考点解读命题热点突破)专题05 函数基本初等函数的图像与性质 文 专题05 函数﹑基本初等函数的图像与性质文【考向解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题. 3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大. 【命题热点突破一】函数的性质及应用 1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，

2、规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性． 3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|. 例1、.【2021年高考四川理数】已知函数() f x是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时， ()4x f x=，则 5 ()(1) 2 f f -+

3、= . 【答案】-2 【感悟提升】(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)【变式探究】 (1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________. (2)已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1 x2＋1 ＞ 1 y2＋1 B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3 (3)设f (x )＝? ????2x ＋2，x ＜1， －ax ＋6，x ≥1(a

4、 ∈R )的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( ) A.－1 B.1 C.2 D.3 【答案】(1)1 (2)D (3)C 【命题热点突破二】 函数图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2、【2021高考新课标1卷】函数2 2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为 （A ）（B ） （C ）（D ） 【答案】D 【解析】函数f(x)=2x 2–e |x| 在[–2,2]上是偶函数，

5、其图像关于y 轴对称，因为 22(2)8e ,08e 1f =- 【探究提高】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容， 熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 【命题热点突破三】基本初等函数的图象和性质 1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α 的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12

6、，－1五种情况． 例3、【2021年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->? . ①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 【变式探究】 (1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x

7、)＝log a x的图象可能是( ) (2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)C．c>a>b D．a>c>b 【答案】(1)D (2)C 【解析】(1)方法一分a>1,0当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C； 当0递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a

8、 x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错． (2)构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x ))， b ＝g (ln2)， c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln2【高考真题解读】 1.【2021高考新课标3理数】已知43 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c 【解析】因为4 223 3 5 244a b ==>=，1223 3 3 2554c a ==>=，所以b a c A. 11

9、 0x y -> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -D.ln ln 0x y +> 【答案】C 3.【2021高考新课标1卷】函数2 2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为 （A ）（B ） （C ）（D ） 【答案】D 4.【2021高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则 1 ()m i i i x y

10、=+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11 1x y x x += =+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C 。 5.【2021年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5 ()(1)2 f f -+= . 【答案】-2 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以 (1)(1),(1)(12)(1)f f f

11、 f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =， 1 25111()(2)()()422222 f f f f -=--=-=-=-=-，所以5 ()(1)22f f -+=-. 6.【2021高考浙江理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =52 ，a b =b a ，则a = ，b = . 【答案】4 2 【解析】设log ,1b a t t =>则，因为215 22 t t a b t += ?=?=， 因此2 2222, 4.b a b b a b b b b b b a =?=?=?== 7.【2021高考

12、天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数 a 满足 1 (2 )(a f f ->，则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22 8.【2021年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 2222 ( ,)y x P x y x y -++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C 定 义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点 A ，则点 A 的“伴随点”是点A ②

13、单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线” C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P -，而11(,)22 P -的伴随点为(1,1)--，而不是 P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲 线，其伴随曲线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y

14、 x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222( ,)0y x f x y x y -=++与曲线2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x -仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线 y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是P 2222 ( ,)y x x y x y -++，消参后点P 轨迹是圆，故④错误.所以正 确的为序号为②③. 9.【2021高考山东理数】已知函数f (x )的定义域

15、为R .当x ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1 （C ）0 （D ）2 【答案】D 【解析】当12x > 时，11()()22f x f x +=-,所以当1 2 x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3 (1)(1)112f f ??=--=---=?? ，故选D. 10.【2021高考天津理数】已知函数f （x

16、）=2(4,0, log (1)13,03)a x a x a x x x ?+减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0， 23] （B ）[23，34 ] （C ）[13，2 3] { 34 }（D ）[13，2 3） { 3 4 } 【答案】 C 11.【2021高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上， ,10, ()2 ,01, 5x a x f x x x +-≤=?-≤其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的

17、值是 ▲ . 【答案】25 - 【解析】5 1911123()()()()22222255 f f f f a a -=-==?-+= -?=， 因此32 (5)(3)(1)(1)155 f a f f f ===-=-+=- 12.【2021高考江苏卷】函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[ ]3,1 - 【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2 230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[] 3,1-， 13.【2021年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->?. ①若0a =

18、，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-. 1.(2021安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln x D.y ＝x 2 ＋1 【答案】 A 【解析】 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2 ＋1是偶函数但没有零点；只有 y ＝cos x 是偶函数又有零点. 2.(2021全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝? ??? ?1＋log 2（2

19、－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】 C 3.(2021北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2} 【答案】 C 【解析】 如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1 4.(2021山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定

20、义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________. 【答案】 －3 2 【解析】 当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数， ∴? ????a －1 ＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解； 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数， ∴?????a －1 ＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得?? ???a ＝1 2，b ＝－2. ∴a ＋b ＝－32. 5．(2021天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2 |x －m | －1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝

21、 (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 【答案】C 6．(2014福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( ) 【答案】B 7．(2021课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝???? ? 1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1 ，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)等于( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 【答案】C 【

22、解析】因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 2122－1 ＝1212 ＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C 。 8．(2021陕西卷)设f (x )＝???1－x ，x ≥0， 2x ，x 则f (f (－2))＝( ) A ．－1 B.1 4 C.12 D.32 【答案】C 【解析】因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2 ＝14＞0，所以f ? ?? ??14＝1－ 14＝1－12＝1 2 . 9．(2021新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为(B) 【答案】B 围是_________________________． 【答案】(－1,3) 【解析】∵f(x)是偶函数， ∴图象关于y轴对称． 又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减， 则f(x)的大致图象如图所示， 由f(x－1)>0，得－2