2021数学分析作业参考答案

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1、数学分析作业参考答案 山东师范大学成人高等教育 数学分析课程综合作业（参考答案） 一、 选择题(本题共10小题，每题1分, 共10分） 22 22 224, 01.(,) 0, 0x x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 在原点间断, 是因为该函数( B ). (A) 在原点无定义。 (B) 在原点二重极限不存在。 (C) 在原点有二重极限,但无定义。 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值。 2 、若 2 211 x y I +≤= ?? ,22212 x y I ≤+≤=?? , 22324 x

2、y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( A ). (A) 123I I I >> ； (B) 213I I I >> ； (C) 123I I I 3、222200 3sin() lim x y x y x y →→++的值为( C ). (A) 2 (B) 0 (C) 3 (D)不存在 4、) ,(00y x f x 和 ) ,(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点) ,(00y x 可微的( A ). (A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件 5、

3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面 x y 22 1+=所围的体积是( D ). (A) d d θπr r r 42 2 2-?? (B) 20 4d r π θ?? (C) 20 d r πθ? ? (D) 4420 1 2d d θπ r r r -?? 6、设),,(z t z y y x f u ---=，则 =??+??+??+??t u z u y u x u （ D ）. (A) 12f (B) 22f (C) 32f (D) 0 7、函数() 33ln

4、 y x z +=在（1，1）处的全微分=dz （ C ）。 A ．dy dx +； B ．()dy dx +2； C ．()dy dx +2 3 ； D ． ()dy dx +3． 8、 设D 为：2 2 2 R y x ≤+，二重积分的值 ?? +D dxdy y x 22=（ C ）。 A ．2R π； B ．2 2R π； C ．3 3 2R π； D ．4 2 1R π． 9、 函数2 2 2 1z y x u ++= 在点)1,1,1(处最大方向导数为（ D ）． （A ） 21； (B) 3 1 ； (C)１； (D) 31．

5、10、 圆弧1=r 以外与圆弧θcos 2=r 以内的平面图形的面积可表示为（ B ）． (A) ??θ π θcos 21 4 rdr d ； (B) ??θ π θcos 213 02rdr d ； (C) ??θ πθcos 2160 rdr d ； (D) ??1 cos 240 θ πθrdr d ． 二、填空题(本题共10小题，每题1分, 共10分） 1、函数) ln(22x y y x z -+= 的定义域为 {} 22(,) ,1x y y x y x >-≠ 2、已知22 (,)y f x y x y x +=

6、-,则=),(y x f 2(1)1x y y -+. 3、已知 π = ?∞+∞ --dx e x 2 , 则=?∞ +--dx e x x 21 . 4、函数2 2 (,)1f x y x xy y y =++-+在) 32,31(-点取得极值. 5、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= )0,1(x f 1. 6、设xy e z =，则 =)1,1(dz ) (dy dx e + . 7、函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，是),(y

7、x f 在该点可微的 充分非必要 条件. 8、 交换积分次序：??-1 10 ),(x dy y x f dx =??-1 10 ),(y dx y x f dy ． 9、 已知2221 z y x u ++= ，则=??+??+??222222z u y u x u 0． 10、 球面169222=++z y x 在点}12,4,3{处的切平面方程为1691243=++z y x ． 三、简答题(本题共4小题，每题5分, 共20分） 1、叙述有界闭域上二元连续函数的有界性与最值性定理、一致连续性定理以及介值性定理。 2、叙述隐函数存在唯一性定

8、理。 3、叙述二重积分的定义与性质。 4.叙述高斯公式和斯托克斯公式。 四．计算题(本题共6小题，每题10分, 共60分） 1、计算D I dxdy = ??，其中D 由0,1x y y x ===及围成。 解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。 先对x 后对y 积分： 1 1 1 12 y x I dy dx dx dy === ???? 2、 计算 xdxdydz Ω ???，其中Ω 是三个坐标面与平面 x + y + z =1所围成的区域 解 画出区域 D ： 0101 y x x

9、≤≤-≤≤ x d x d y d z Ω ??? 11100 x y x dx dy xdz ---=??? 1 10 (1)x dx x x y dy -=--?? 1 2011(1)224 x x dx =-=? 3、 计算 ??d d , S z x y 其中 S 是球 面 ++=2221x y z 在 ≥≥0,0x y 部分并取球面的外侧。 解 曲面 S 在第一、五卦限部分的方程分别为 = =1122:, :. S z S z 它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分. 因积分是沿

10、1S 的上侧和2S 的下 侧进行, 故 =+??????1 2 d d d d d d S S S z x y z x y z x y (= - ?? ??() () d d d xy xy D D x y x y =?? () 2 d xy D x y =??π1 20 2d = . 3 r r π θ 4、 计算下列第一型曲面积分： 22(),S x y z ds +-??其中S 为1,z = 22 1.x y +≤ 解: S 由平面构成:2:1,S z = 22 1.x y +≤ 221 222

11、2200()(1)(1).2S D x y z ds x y dxdy d r rdr π π θ+-=+-=-?=-?????? 5、 计算积分 22()(),S y x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++?? 其中S 是边长为a 的正方体V 的表面并取外侧. 解 ： 应用高斯公式 , 有 22[ (())()()]V y x z x y xz dxdydz x y z ??? -+++?????? ()()a a V y x dxdydz dy y x dx =+=+????? 2401 ().2 a a ay a dy a

12、 =+=? 6、 验证曲线积分 ()()()L y z dx z x dy x y dz +++++?与路径无关 , 并求被积表达式的原函数(,,)u x y z . 解：由于 ,,,P y z Q z x R x y =+=+=+ 1,P Q Q R R P y x z y x z ??????======?????? 所以曲线积分与路径无关. 取0M M ，从M 沿平行于x 轴的直线到100(,,)M x y z ，再沿平行于y 轴的直线到20(,,)M x y z ，最后沿平行于z 轴的直线到3(,,)M x y z . 于是 0 000(,,)()()()x y z x y z u x y z y z ds z x dt x y dr = +++++? ?? 000000000()()()()()()y z x y z x z x y z x y x y z x y z =+-+++-+++-+ ,xy xz yz c =+++ 其中000000c x y x z y z =---是一个常数.若取为原点，则得 (,,).u x y z xy xz yz =++