洛朗Laurent级数展开

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1、 3.5 洛 朗 (Laurent)级 数 展 开已 知 ： 当 f(z)在 圆 |z-z0|R内 解 析 时 ， Taylor定 理 告 诉 我 们 ， f(z)可 展 开 成 幂 级 数 。问 题 的 提 出为 了 研 究 函 数 在 奇 点 附 近 的 性 质 ， 需 要 函 数 在孤 立 奇 点 z0邻 域 上 的 展 开 式 。考 虑 ： 当 f(z)在 圆 |z-z0|R内 有 奇 点 时 ， 能 否展 开 成 幂 级 数 或 展 开 成 类 似 于 幂 级 数 的 形 式 。 一 、 双 边 幂 级 数 (含 有 正 、 负 幂 项 ) 0 0 )(k kk zza .)(.)(

2、)( )()(.)(. )( 0202010 10120200 kkkkk kk zzazzazzaa zzazzazza zza其 中正 幂 部 分 称 为 解 析 (正 则 )部 分 ，负 幂 部 分 称 为 主 要 (无 限 )部 分 。 1 0 )(k kk zza 收 敛 区 域 (环 )的 确 定 ：正 则 部 分 收 敛 (圆 )区 域 为 ：负 幂 部 分 令 则设 即 负 幂 部 分 在 |z-z 0|=R2的 圆 外 收 敛 。 0 0 )(k kk zza )(1 0k kk zza )0( | 110 RRzz 01zz . 33221 aaa 21| RR 0| 22

3、0 RRzz ， 由 此 ， 我 们 可 以 用 它 的 正 幂 项 级 数 和 负 幂 项 级 数的 敛 散 性 来 定 义 原 级 数 的 敛 散 性 。规 定 ： 当 且 仅 当 正 幂 项 级 数 和 负 幂 项 级 数 都 收 敛时 ， 原 级 数 收 敛 ， 并 且 把 原 级 数 看 成 是 正 幂 项 级数 与 负 幂 项 级 数 的 和 。讨 论 ：(1)若 R1R2， 则 双 边 幂 级 数 就 在 R2|z-z0|R1环状 区 域 内 收 敛 ， 环 状 收 敛 域 称 为 收 敛 环 。双 边 幂 级 数 在 收 敛 环 内 绝 对 且 一 致 收 敛 ， 在 环 外发

4、 散 ， 在 环 上 敛 散 性 不 定 。 正 则 部 分 主 要 部 分 0 0 )(k kk zza 1 0 )(k kk zza01zz 收 敛 环R 2|z-z0|R1 双 边 幂 级 数 的 性 质定 理 1： 双 边 幂 级 数 在 收 敛 环 上 的 和 函 数 是 一 解 析 函数 ， 并 且 在 任 意 较 小 的 闭 圆 环 上 一 致 收 敛 。 k kk zza )( 011022 | RRzzRR 定 理 2： 设 双 边 幂 级 数 的 收 敛 环 B为 R2|z-z0|R1， 则 f(z)(1) 在 B内 连 续 ；(2) 在 B内 解 析 ， 且 逐 项 可

5、导 ；(3) 在 B内 可 逐 项 积 分 。 k kk zzazf )()( 0 定 理 3： 设 函 数 f(z)在 环 状 区 域 R2|z-z0|R1的 内 部 单 值 解 析 ， 则 对 于 环 内 任 一 点 z， f(z) 必 可 展 开 成 ， 其 中 k kk zzazf )()( 0 C kk dzfia 10 )( )(21称 为 洛 朗 系 数 ， C为 环 域内 按 逆 时 针 方 向 绕 内 圆一 周 的 任 一 闭 合 曲 线 (也可 取 圆 周 ) 几 点 说 明 ：(1) z=z0(即 展 开 中 心 )可 能 不 是 f(z)的 奇 点 ， 但 在 |z-z

6、0|R2上 ， 存 在 奇 点 (即 内 圆 以 内 存 在 奇 点 )；(2) 洛 朗 系 数 ， 因 为 成 立 的 条 件 是 f(z)在 C内 解 析 ；(3) 洛 朗 展 开 的 唯 一 性 ；! )( 0)( k zfa k k C kk dzfikzf 100)( )( )(2 !)( (4) 如 果 只 有 环 心 z0是 f(z)的 奇 点 ， 则 内 圆 半 径 可以 任 意 小 ， 同 时 z可 以 无 限 地 接 近 z0点 ， 这 时 就 称 为 f(z)在 它 的 孤 立 奇 点 z0的 邻 域 内 的 洛朗 展 开 式 。 若 f(z)在 z0不 解 析 (不 可

7、 微 或 无 意 义 )，而 在 去 心 邻 域 0|z-z0|内 解 析 ， 则 称 z=z0是 f(z)的 孤 立 奇 点 。 若 在 z0无 论 多 么 小 的 邻 域 内 ， 总 有 除z0外 的 奇 点 ， 则 称 z0为 f(z)的 非 孤 立 奇 点 。泰 勒 级 数 在 其 收 敛 圆 内 具 有 的 许 多 性 质 在 收 敛 圆 环域 R 2|z-z0|R1内 的 洛 朗 级 数 也 具 有 。在 收 敛 圆 环 域 内 的 洛 朗 级 数 可 以 逐 项 求 导 、 逐 项 积分 、 和 函 数 是 解 析 函 数 。 k kk zza )( 0 求 洛 朗 展 开 式

8、的 系 数 Cn洛 朗 展 开 式 的 系 数 Cn用 公 式 计 算 是 很 麻 烦 的 ， 由 洛 朗 级 数 的 唯 一 性 ， 我 们 可 用 别 的 方 法 ， 特 别是 代 数 运 算 、 代 换 、 求 导 和 积 分 等 方 法 展 开 ， 这样 往 往 更 便 利 (即 间 接 展 开 法 ) 。同 一 个 函 数 在 不 同 的 收 敛 圆 环 域 内 的 洛 朗 级 数 一般 不 同 ； 由 洛 朗 级 数 的 唯 一 性 可 知 ， 同 一 个 函 数在 相 同 的 收 敛 圆 环 域 内 的 洛 朗 级 数 一 定 相 同 。 例 1： 在 z0=0的 邻 域 上 把

9、 展 开 。 z zsinz zzf sin)( 有 孤 立 奇 点 z=0， 并 在 0|z|内 有)|0( .!5!31)!12( )1(1sin)( 0 4212 zzzn zzz zzf n nn无 负 幂项若 定 义则 为 f 1(z)的 泰 勒 级 数 0 1 0 sin)(1 zzz zzf 实 际 是 对 f(z)的 解 析 延 拓 )|( )!12( )1(0 1 0 sin)( 0 21 zn zzzz zzf n nn 例 2： 将 分 别 在 区 域 |z|1、 1|z|以 及 z0=1的 邻 域 上 展 成 洛 朗 级 数 。 f(z)的 奇 点 为 z= 1， 展

10、开 中 心 z0=0不 是 奇 点 ， z0=1是 奇 点 。 (1)若 在 |z|1上 ， 只 可 展 开 为 泰 勒 级 数11)( 2 zzf 0 20 22 )( 1 1)( k kk kzzzzf (2) 无 穷 多 个 负 幂 项 ， 但 z0=0不 是 f(z)的 奇 点(3)展 开 中 心 z0=1 ， 为 奇 点第 一 项 已 经 是 展 开 式 的 一 项 ， 第 二 项 z=1不 是奇 点 ， z=-1是 奇 点 ， 可 在 |z-1|2上 展 开 为 泰勒 级 数 0 120 22 222 111 /11 1111)( k kk k zzz zzzzf 111121)1

11、)(1( 111)( 2 zzzzzzf 0 2 1)1(412/)1(1 141 2)1( 1211121 k kk zz zz kk kk k k kkk kkz zz zzzf )1(21)1( 2 )1()1(1121 2 1)1(411121)( 1 21 0 210 有 限 项 负 幂 项 例 3： 将 函 数 在 区 域 |z|1、1|z|2、 2|z|内 展 成 洛 朗 级 数 。(1)在 |z|1内 ， 有 |z/2|1 无 负 幂 项 ， 因 为 f(z)在 圆 域 |z|1内 处 处 解 析 。)2)(1( 1)( zzzf zzzzzf 2 11 1)2)(1( 1)(

12、 00 2212/1 1212 11 1 k kkk k zzz zz 1| 211221)( 0 100 zzzzzf k kkk kkk k (2)在 1|z|2内 ， 有 |1/z|1(3)在 2|z|1， 有 |2/z|1， |1/z|1)2|1( 12 12 11221 )/11( 1)2/1(2 1)( 10 1 0 10 1 00 zzz zz zzz zzzzf k kk kk k kk kk k kk kk无 限 多 项 正 幂 项 和 负 幂 项 )|2( 121121 )/11( 1)/21( 1 1121)( 000 zzzzzz zzzz zzzf k kkk kk

13、kk无 正 幂 项 和 无 限 多 项 负 幂 项例 4： 将 在 0|z|1及 1|z|上 展 成 洛朗 级 数 。(1)在 0|z|1内 222 )1( 1zz 22222 1 1211)1( 1 zdzdzzzz 令 n=k-2(2)在 1 |z| 内 0 1230 23 22121 k kk k zkzzdzdz 236226 222 /11 121)/11( 1 )1( 1 zdzdzzzz zz 0 1230 23 1)2(21121 k kk k zkzzdzdz 令 n=-(k+2)|1( )2(2 2 zznn n )1|0( )2(2 2 zznn n 例 5： 把 在 以 z=0为 中 心 的 圆 环 区 域 内 展成 洛 朗 级 数 。例 ： 把 函 数 在 0|z|内 展 开 成 洛 朗级 数 。 e 1/z在 0|z|内 处 处 解 析 ， 从 而 有 2)( zezf z .!5!4!3!2111 .!3!2111 322 32222 zzzzz zzzzezze zz 展 开 式 是 唯 一 的 ！ zezzf /13)( .!41!31!2111 432/1 zzzze z .!5 1!41!31!2 .!41!31!2111 )( 223 4323 /13 zzzzz zzzzz ezzf z