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1、4.3.2 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 问 题 提 出 1. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 两 点 间的 距 离 公 式 是 什 么 ？ 2. 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 若 已知 两 个 点 的 坐 标 ， 则 这 两 点 之 间 的距 离 是 惟 一 确 定 的 ， 我 们 希 望 有 一个 求 两 点 间 距 离 的 计 算 公 式 ， 对 此 ，我 们 从 理 论 上 进 行 探 究 . 4 知 识 探 究 （ 一 ） :与 坐 标 原 点 的 距 离 公 式 思 考 1:在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A（ x， 0， 0） ， B（ 0，
2、y， 0） ， C（ 0，0， z） ， 与 坐 标 原 点 O的 距 离 分 别 是什 么 ？ x yz OAB C|OA|=|x|OB|=|y|OC|=|z| 5 思 考 2:在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 坐 标平 面 上 的 点 A（ x， y， 0） ， B（ 0， y，z） ， C（ x， 0， z） ， 与 坐 标 原 点 O的 距 离 分 别 是 什 么 ？ x yzO A 2 2| |O A x y= +2 2| | ,O B y z= + 2 2| |O C x z= +BC 6 思 考 3:在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 点 P（ x， y， z） 在
3、 xOy平 面 上 的 射 影 为M， 则 点 M的 坐 标 是 什 么 ？ |PM|,|OM|的 值 分 别 是 什 么 ？ x yzO PMM(x,y,0)|PM|=|z| 2 2| |O M x y= + 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 若已 知 两 个 点 的 坐 标 ， 则 这 两 点之 间 的 距 离 是 惟 一 确 定 的 ， 我们 希 望 有 一 个 求 两 点 间 距 离 的计 算 公 式 ， 对 此 ， 我 们 从 理 论上 进 行 探 究 . xy P1(x1,y1) P2(x2, y2)Q(x2,y1)O x2y2 x1y1 长 a， 宽 b， 高 c的 长 方
4、 体 的 对 角 线 ， 怎 么 求 ？ 2 2 2d a b c d ca b O Pz yx xy z在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ,点 P(x， y， z)到 xOy平 面 的 距离 ， 怎 么 求 ？ xOyyOzxOzd zd xd y一 、 探 究 ： 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式垂 线 段的 长 O Pz yx d x0y0 z0 2 20 02 20 02 20 0 xyzd y zd x zd x y 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ,点 P(x0， y0， z0)到 坐 标 轴的 距 离 ， 怎 么 求 ？ 垂 线 段的 长 x yzo1.空 间 点 到
5、 原 点 的 距 离A B C( , , )P x y z |BP|=|z|2 2|OB|= x +y2 2 2|OP|= x +y +z 2.如 果 是 空 间 中 任 意 一 点 P1（ x1， y1， z1） 到 点 P2（ x2， y2， z2） 之 间 的 距 离 公 式 会 是 怎 样 呢 ？如 图 ， 设 P1（ x1， y1， z1） 、 P2（ x2， y2， z2）是 空 间 中 任 意 两 点 ， 且 点 P1（ x1， y1， z1） 、P2（ x2， y2， z2）在 xOy平 面 上 的 射 影 分 别 为 M,N,那 么 M,N的 坐 标 为 M（ x 1， y1
6、，0） ， N（ x2， y2， 0） . O yzx MP1 P2NM1 N2N1 M2 H 在 xOy平 面 上 , 2 22 1 2 1MN = (x -x ) +(y -y ) .过 点 P1作 P2N的 垂 线 ， 垂 足 为 H,则 1 1 2 2MP = z ,NP = z ,所 以 2 2 1HP = z -z . 1 2在 Rt PHP中 ， 2 21 2 1 2 1PH = MN = (x -x ) +(y -y ) , 因 此 ， 空 间 中 任 意 两 点 P1（ x1， y1， z1） 、P2（ x2， y2， z2） 之 间 的 距 离2 2 21 2 2 1 2
7、1 2 1PP = (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .根 据 勾 股 定 理2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1PP = PH + HP = (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点 P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 (x,y,z):1 21 2 1 2222 ,.x xx y yy z zz 二 、 空 间 中 点 坐 标 公 式 例 1 在 空 间 中 ， 已 知 点 A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)， 求 A、 B两 点 之 间 的 距 离
8、 .应 用 举 例 ： 例 2 已 知 两 点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)， 点 P在 z轴 上 ， 若|PA|=|PB|， 求 点 P的 坐 标 . P139.B3例 4 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD-ABCD中 ， 点 P、 Q分 别 在 棱 长 为 1的 正 方体 的 对 角 线 BD和 棱 CC上 运 动 ， 求 P、 Q两点 间 的 距 离 的 最 小 值 ， 并 指 出 此 时 P、 Q两 点的 位 置 . A D B CCBA Ox yz P(x,y,z 1) Q(0,1,z2)H (x,x,0)2 2 21 1 1 22 21 2 1| | (1 )
9、 ( )1 1( ) 2( )2 2PQ z z z zz z z= - + + -= - + - + 25 练 习 zx yA B COAD CBMN 2 21 2 1 2 1 2平 面 ： |PP |= (x -x ) +(y -y )，类 比 猜 想2 2 21 2 1 2 1 2 1 2空 间 ： |PP |= (x -x ) +(y -y ) +(z -z ) .一 、 两 点 间 距 离 公 式 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 点 P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 (x,y,z):1 21 21 2222x xx y yy z zz 二 、 空 间 中 点 坐 标 公 式 作 业 :P138练 习 ： 1， 2， 3。
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