《整式的乘除与因式分解》教案(第一部分)

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1、 第十五章 整式的乘除与因式分解 15．1．1 整式 教学目标 1 ．单项式、单项式的定义． 2 ．多项式、多项式的次数． 3、理解整式概念． 教学重点 单项式及多项式的有关概念． 教学难点 单项式及多项式的有关概念． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题 1 ．要表示△ ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？ 2 ．小王用七小时行驶了 Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论： 1、要表示△ ABC 的周长，需要知道它的

2、各边边长．要表示△ ABC?的面积需 要知道一条边长和这条边上的高．如果设 BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为 h，?那么△ ABC的周长可以表示为 a+b+c；△ ABC的面积可以表示为 1 ch． 2 2 ．小王的平均速度是 S ． t 问题：这些式子有什么特征呢？ （ 1）有数字、有表示数字的字母． （2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接． 归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和 表示数的字母连接起来的式子叫做代数式． 判断上面得到的三个式子： a+b+c、 1 ch、 S 是不是代数式？（

3、是） 2 t 代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关 的整式． Ⅱ．明确和巩固整式有关概念 （出示投影） 思考： 先填空，再看看列出的代数式有什么特点． （ 1）边长为 x 的正方形的周长为 _________； （ 2）一辆汽车的速度是 v 千米 / 时，行驶 t 小时所走过的路程为 _______ 千米． （3）如图，正方体的表面积为 _______，正方体的体积为 ________； （ 4）设 n 表示

4、一个数，则它的相反数是 ________．结论：（ 1）正方形的周长： 4x． （2）汽车走过的路程： vt ． （3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等， ?所以它的 表面积为 6a2 ；正方体的体积为长宽高，即 a3 ． （4）n 的相反数是－ n． 分析这四个数的特征． 它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而 a+b+c、 1 ch、 S 中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指 2 t 数各不相同，字母的个数也不尽相同． 请同学们阅读课本 P160～P161单项式有关概念．

5、 根据这些定义判断 4x、vt 、 6a2、a3、-n 、a+b+c、 1 ch、 S 这些代数式中，哪 2 t 些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数． 结论 :4x 、vt 、6a2、a3、-n 、 1 ch 是单项式．它们的系数分别是 4、1、6、1、 -1 、 1 2 ．它们的次数分别是 1、2、2、3、1、2．所以 4x、 -n 都是一次单项式； 2 2 1 3 vt 、6a 、? ch 都是二次单项式； a 是三次单项式． 问题 :vt 中 v 和 t 的指数都是 1，它不是一次单项式吗？

6、 结论 : 不是．根据定义，单项式 vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这 两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以 vt 是二次单项式而不是一 次单项式． 生活中不仅仅有单项式， 像 a+b+c，它不是单项式， 和单项式有什么联系呢？ 写出下列式子（出示投影） 结论 : （ 1） t-5 ．（2）3x+5y+2z． （3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即 1 ab-3.12 r2． 2 （4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为 32、43，所以它们的面积和是 18．

7、于是得这所住宅的建筑面积是 x2+2x+18． 我们可以观察下列代数式： a+b+c 、t-5 、3x+5y+2z、 1 ab-3.12 r2 、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的 2 和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？ 这样推理合情合理．请看 投影，熟悉下列概念． 几个单项式的和叫做多项式． 多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项． 多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数． 根据定义，我们不难得出 a+b+c、 t-5 、3x+5y+2z、 1 ab-3.12 r2、 x2+2

8、x+18 2 都是多项式．请分别指出它们的项和次数． a+b+c 的项分别是 a、 b、 c． t-5 的项分别是 t 、 -5 ，其中 -5 是常数项． 3x+5y+2z 的项分别是 3x、5y、2z． 1 ab-3.12 r2 的项分别是 1 ab、-3.12r 2 ． 2 2 x2+2x+18 的项分别是 x2、2x、 18． 找多项式的次数应抓住两条， 一是找准每个项的次数， ?二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式， 后两个是二次多项式． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，

9、它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在． 我们把单项式与多项式统称为整 式． Ⅲ．随堂练习 1 ．课本 P162 练习Ⅳ．课时小结 通过探究，我们了解了整式的概念． 理解并掌握单项式、 多项式的有关概念 是本节的重点， 特别是它们的次数． 在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义， ?发展符号感． Ⅴ．课后作业 1 ．课本 P165～ P166 习题 15．1─1、5、8、9 题． 2 ．预习“整式的加减” ． 课后作业：《课堂感悟与探究》 15． 1． 2 整式的加减（ 1

10、） 教学目的： 1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。 2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言 表达能力。 教学重点： 会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。 教学难点： 正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。 教学过程： 一、课前练习： 1、填空：整式包括 和 2、单项式 2x 2 y 的系数是 、次数是 3 3、多项式 3m 3 2m 5 m 2 是 次 项式，其中二次项 系数是 一次项是 ，常数项是

11、 4、下列各式，是同类项的一组是（ ） （A） 2 2 1 2 （ ） 2 与 2 2 与 x y 与 （ ） abc 2 3 yx B 2m n 2m n C ab 3 5、去括号后合并同类项： (3a b) (5a 2b) (7a 4b) 二、探索练习： 1 、如果用 a 、b 分别表示一个两位数的十位

12、数字和个位数字， 那么这个两位数 可以表示为 交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的 两位数为 这两个两位数的和为 2、如果用 a 、b、c 分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那 么这个三位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位 数字后得到的三位数为 这两个三位数的差为 ●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？ 说说你是如何运算的？ ▲整式的加减运算实质就是 运算的结果是一个多项式或单项式。 三、巩固练习： 1、填

13、空：（1） 2a b 与 a b 的差是 （ 2）、单项式 5x 2 y 、 2x 2 y 、 2xy2 、 4 x2 y 的和为 （ 3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，一个三角形需六个棋子，三个三角形需 （ ）个棋子， n 个三角形需 个棋子 2、计算： （ 1） (3 2 7 k ) (4 2 3 1) k k k （ 2） (3x2 2 xy 1 x) (2x 2 xy x) 2 （ 3） 3a

14、5a (a 2) 4 1 3、（1）求 x 2 7x 2 与 2 x2 4 x 1的和 (2) 求 4k 2 7k 与 k 2 3k 1的差 4、先化简，再求值： 5x2 3x 2(2 x 3) 4x2 其中 x 1 2 四、提高练习： 1、若 A 是五次多项式， B 是三次多项式，则 A+B一定是 （A） 五次整式 （ B）八次多项式 （C）三次多项式 （ D）次数不能确定 2、足球比赛中，如果胜一场记 3a 分，平一场记 a 分，负一场 记 0 分，那么某队在比赛

15、胜 5 场，平 3 场，负 2 场，共积多少分？ 3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被 14 整除，请证明这个结论。 4、如果关于字母 x 的二次多项式 3x 2 mx nx 2 x 3 的值与 x 的取值无关， 试求 m、n 的值。 五、小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。 六、作业：第 8 页习题 1、 2、 3 15． 1． 2 整式的加减（ 2） 教学目标 ：1. 会进行整式加减的运算， 并能说明其中的算理， 发展有条理的思考及其语言表达能力。 2. 通过探索规律的问题，

16、进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。 教学重点 ：整式加减的运算。 教学难点 ：探索规律的猜想。 教学方法 ：尝试练习法，讨论法，归纳法。 教学用具： 投影仪 教学过程 ： I 探索练习： 摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚棋子，摆第 2 个需要 枚棋子，摆第 3 个 需要 枚棋子。按照这样的方式继续摆下去。 （1）摆第 10 个这样的“小屋子”需要 枚棋子 （2）摆第 n 个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用 不同的方法解决

17、这个问题吗？小组讨论。 二、例题讲解： 三、巩固练习： 1、计算： （ 1）（14x3－2x2 ）＋ 2（x3－x2） （2）（ 3a2＋2a－6）－ 3（a2－ 1） （ 3） x－（ 1－2x＋x2） +（－ 1－x2） （4）（8xy－3x2）－ 5xy－ 2（ 3xy－2x2 ） 2、已知： A=x3－ x2 －1，B=x2－ 2，计算：（1）B－A （ 2） A－ 3B 3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于 180，如果三角形中第一个角等于第二个角的 3 倍，而第三个角比第

18、二个角大 15，那么 （1）第一个角是多少度？ （2）其他两个角各是多少度？ 四、提高练习： 1、已知 A＝a2＋ b2－ c2 ，B＝－ 4a2 ＋2b2＋3c2 ，并且 A＋ B＋ C＝ 0，问 C 是什么样的多项式？ 2、设 A＝2x2 －3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2 －6xy＋2y2－3x－ y，若│ x－2a│＋ （y＋3）2＝ 0，且 B－2A＝a，求 A 的值。 3、已知有理数 a、b、c 在数轴上（ 0 为数轴原点）的对应点如图： 试化简：│ a│－│ a＋ b│

19、＋│ c －a│＋│ b＋c│ c a b 0 小 结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。 作 业：课本 P14 习题 1.3 ： 1（2）、（ 3）、（6）， 2。 《课堂感悟与探究》 15．2． 1 同底数幂的乘法 教学目标 （一）教学知识点 1 ．理解同底数幂的乘法法则． 2 ．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．（二）能力训练要求 1 ．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力． 2 ．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用， ?使学生初步理解特

20、殊──一般──特殊的认知规律． （三）情感与价值观要求 体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．教学重点 正确理解同底数幂的乘法法则．教学难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则．教学方法 透思探究教学法： 利用学生已有的知识、 经验对所学内容进行自主探究、 发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能 力． 教具准备 投影片（或多媒体课件） ．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境 复习 an 的意义： an 表示 n 个 a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂； a 叫做底数， ?n 是指

21、数． （出示投影片） 提出问题： （出示投影片） 问题：一种电子计算机每秒可进行 1012 次运算，它工作 103 秒可进行多少次运算？ [ 师] 能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [ 生] 运算次数 =运算速度工作时间 所以计算机工作 103 秒可进行的运算次数为： 1012103． [ 师]1012 3 如何计算呢？ 10 [ 生] 根据乘方的意义可知 1012103=(10 10) （101010） =(10 1010) =1015．

22、 12个10 15个 10 [师 ]很好，通过观察大家可以发现 1012、103 这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像 1012103 的运算叫做同底数幂的乘法． 根据实际需要， 我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1 ．做一做出示投影片： 计算下列各式： 5 2 （1）2 2 （2）a3a2 （3）5m5n（m、n 都是正整数） 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系， 并能用自己的语 言描述． [ 师] 根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． 5 2 [生 ]（1）2

23、 2 =（22222）（22） =27=25+2． 因为 25 表示 5 个 2 相乘，；22 表示 2 个 2 相乘，根据乘方的意义，同样道理 可得 a3 a2=（aaa）（ aa）=a5=a3+2． 5m5n= (5 5 5) (5 5 5) =5m+n ． m个5 n 个5 （让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）． [ 生] 我们可以发现下列规律： （一）这三个式子都是底数相同的幂相乘． （二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2 ．议一议出示投影片 aman 等于什么（ m

24、、n 都是正整数）？为什么？ [师生共析 ] aman 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： aman= (a a a) (a a a) = a a a =am+n m个a n个a (m+n) 个a m n m+n 于是有 a a =a （m、n 都是正整数），用语言来描述此法则即为： [ 师] 请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则． [ 生]am 表示 n 个 a 相乘，an 表示 n 个 a 相乘，aman 表示 m 个 a 相乘再乘以 n 个

25、a 相乘，也就是说有（ m+n）个 a 相乘，根据乘方的意义可得 aman=am+n． [ 师] 也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加． 3 ．例题讲解出示投影片 [ 例 1] 计算： （ ） 6 （1）x25 x 2 a a 4 3 m 3m+1 （3）22 2 （ 4） x x [例 2]计算 amanap 后，能找到什么规律？ [ 师] 我们先来看例 1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？ [ 生 1] （1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的

26、法则． [ 生 2] （ 3）也可以，先算 2 个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘， 仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了． [ 师] 同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演， ?看谁算得 又准又快． 生板演： （1）解： x2x5=x2+5=x7． 6 1 6 1+6 7 （2）解： aa=a a =a =a ． （3）解： 22423=21+423=2523=25+3=28． （4）解： xmx3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1

27、． [师 ]接下来我们来看例 2．受（ 3）的启发，能自己解决吗？ ?与同伴交流一 下解题方法． 解法一： amanap=（aman）ap =am+nap=am+n+p； m n p m n p）=amn+p m+n+p． 解法二： a a a =a （a a a =a 解法三： amanap= a a a a a a a aa m个a n 个a p个a =am+n+p． 评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；

28、 ?解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓 思维的创新精神． [ 生] 那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，  ?就 一定是底数不变，指数相加． [ 师] 是的，能不能用符号表示出来呢？ [生 ]am1am2, amn=am1+m2+mn [ 师] 太棒了．那么例 1 中的第（ 3）题我们就可以直接应用法则运算了． 22423=21+4+3=28． Ⅲ．随堂练习 1．课本 P166 练习 Ⅳ．课时小结 [ 师] 这节课我们学习了同底数幂的乘法的

29、运算性质， ?请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？ [ 生] 在探索同底数幂乘法的性质时， 进一步体会了幂的意义． 了解了同底数幂乘法的运算性质． [ 生] 同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时， ?我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用 这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即 aman=am+n （m、n 是正整数）． Ⅴ．课后作业 1 ．课本 P175 习题 15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．《三级训练》 板书设计 15． 2．1 同底数幂的乘法 一

30、、计算机运算次数： 1012 3 计算 1012103= (10 10 10 10) （ 101010）=10 1010 =10 12个10 15个10 二、算一算，找规律 1． 2522=（ 22222）（22） =(2 2 2) =27； 7个2 2． a3 a2=（aaa）（ aa） =aaaaa=a5； 3． 5m5n= (5 5 5) (5 5 5) = 5 55=5m+n m个5 n 个5

31、(m+n) 个5 三、同底数幂的乘法法则： m n m+n 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即 a a =a （m、 n 都是正整数） 15．2．3 幂的乘方 教学目标 ：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。 2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。 教学重点 ：会进行幂的乘方的运算。 教学难点 ：幂的乘方法则的总结及运用。 教学方法 ：尝试练习法，讨论法，归纳法。 教学用具： 投影仪、常用的教学用具 活动准备 ： 2

32、3  （2）x2x2 x+x4x （3）（0.75a ）3（ 1 a）4 （ 4） x3 xn-1 － xn-2 x4 4 教学过程： 通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。 一、探索练习： 1、 6 4 表示 _________个___________相乘 . (6 2 ) 4 表示 _________个 ___________相乘 . a3 表示 _________个___________相乘 . (a 2) 3 表示 ______

33、___个___________相乘 . 在这个练习中，要引导学生观察，推测 (6 2) 4 与(a 2 ) 3 的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。 2 、（62）4 =________ ________________________ =__________( 根据 an am=anm) =__________ （ 33）5=___________________________ _______ =__________(  根据  an am=anm) =__________ （ a2）3=_______ __

34、______________ =__________(  根据  an am=anm) =__________ （ am）2=_________________ =__________(  根据  an am=anm) =__________ （am） n=________________, ______________ =__________( 根据 an am=anm) =__________ 即 （ am）n= ______________( 其中 m、n 都是正整数

35、 ) 通过上面的探索活动 , 发现了什么 ? 幂的乘方 ,底数 __________,指数 __________. 学生在探索练习的指引下 ,自主的完成有关的练习 ,并在练习中发现幂的乘方的法则 ,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘 方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点 （如底数、指数发生了怎样的变化） 并运用自己的语言进行描述。 然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。 二、巩固练习： 1、1、计算下列各题： （ 1）（103）3 （ ） （

36、 2 ） 3 4 （ 3） [（－ 6） 3 4 2 [ ] ] 3 （ 6）－（ as）3 （ 4）（x2） 5 （5）－（ a2）7 （ 7）（x3） 4x2 （8）2（x2）n－（ xn） 2 （ 9） [（x 2） 3] 7 学生在做练习时， 不要鼓励他们直接套用公式， 而应让学生说明每一步的运算 理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。 2、判断题，错误的予以改正。 （ 1） a5+a5=2a10

37、 （ ） （ 2）（s3） 3=x6 （－ ）6 － 6 （ ） （ 3）（－ 3） 2（－ 3）4 （ ） （ 4） x3 3 （ = 3 = 3 （ ） +y x+y ）3 = （ 5） [（m－ n） 3]4－[（m－n）2] 6=0 （ ） 学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用 . 三、提高练习： 1、1、计算 5（P3） 4（－ P2） 3+2[（－ P） 2] 4（－ P5） 2 [ （－

38、 1）m]2n+1m-1 +02002―（― 1）1990 2、若（ x2）n=x8，则 m=_____________. 3、、若 [（x3）m]2=x12，则 m=_____________。 m 2m 9m 4、若 x x =2，求 x 的值。 6、已知 am=2,an=3,求 a2m+3n 的值 . 小 结：会进行幂的乘方的运算。 作 业：课本 P16 习题 1.7： 1、2、3。 《三级训练》 15． 2．3 积的乘方 教学目标 （一）教学知识点 1 ．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义． 2

39、 ．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题． （二）能力训练要求 1 ．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能 力． 2 ．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力． （三）情感与价值观要求 在发展推理能力和有条理的语言、 符号表达能力的同时， 进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美． 教学重点 积的乘方运算法则及其应用． 教学难点 幂的运算法则的灵活运用． 教学方法 自学─引导相结合的方法． 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做

40、基础， 本节课可放手让学生自学， 教师引导学生总结， 从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题． 教具准备 投影片． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [ 师 ] 还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为 1.1 103cm， ?你能计算出它的体积是多少吗？ 3 3 3 [ 生] 它的体积应是 V=（1.1 10 ） cm ． [ 生] 不是，底数是 1.1 和 103 的乘积，虽然 103 是幂，但总体来看， ?我认为应是积的乘方才有道理． [ 师] 你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一

41、个运算法则？ ?有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒． Ⅱ．导入新课 老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳． 1 ．填空，看看运算过程用到哪些运算律， 从运算结果看能发现什么规律？ （1）（ ab）2=（ ab）（ab） =（ aa）（bb）=a( )b( ) 3 ( ) ( ) （2）（ ab） =______=_______=a b n ( ) ( ) （n 是正整数） （3）（ ab） =______=______=a b 2 ．把你发现的规律用

42、文字语言表述，再用符号语言表达． 3 ．解决前面提到的正方体体积计算问题． 4 ．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法． 5 ．完成课本 P170 例 3． 出示投影片 学生探究的经过： 1．（1）（ ab）2 =（ab） （ab）= （ aa） （bb）= a2b2 ，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则． ?同样的方法可以算出（ 2）、（3）题． （2）（ab）3 =（ab）（ab） （ab）=（aaa）（ bbb）=a3b3； （3）（ab）n = (ab) (ab)

43、  = (a a  a) (b b  =anbn n个ab  n个a  n个b 2 ．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积． 用符号语言叙述便是： （ab） n=anbn（n 是正整数） 3．正方体的体积 V=（1.1 103）3 它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算： V= （1.1 103）3=1.14 （103）3=1.14 1033=1.14 109=1.331 109（ cm3） 通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则： n n n （ab）

44、=a b （n 为正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4 ．积的乘方法则可以进行逆运算．即： an bn=（ ab）n（n 为正整数） 分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指 数与左边指数相等，那么可以总结为： an bn= ( a a 同指数幂相乘，底数相乘，指数不变． 看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算． n n n a) (b b b) ──幂的意义 n个a n个b = (a b) (a b)( a b) ──乘法交换律、结合律

45、 n个(a b) ＝（ ab）n ──乘方的意义 5 ．[ 例 3] 计算 （1）（2a）3 =23a3=8a3． （2）（-5b ）3=（ -5 ）3b3=-125b3． 2 2 2 2 2 2 22 2 4 2 4 （3）（xy ） =x （y ） =x y =x y =x y ． （学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导， ?使各个层面的学生都能学有所获） [ 师] 通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用． ? 可以作如下归纳总结： 1 ．积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ ab）n=

46、anbn（n为正整数）． 2 ．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（ abc）n=anbncn （ n 为正整数）． 3 ．积的乘方法则也可以逆用．即 anbn=（ab） n，anbncn=（ abc） n，（n 为正整数）． Ⅲ．随堂练习 1 ．课本 P170练习 （由学生板演或口答） Ⅳ．课时小结 [ 师] 通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？ [ 生] 通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则， 还能理解它的真正含义． [ 生] 其实数学新知识的学习， 好多都是由旧知识推理出来的． 我现在逐渐体

47、 会到温故知新的深刻道理了． [ 生] 通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质， 而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用． Ⅴ．课后作业 1 ．课本 P175 习题 15．2─1．（5）、（6），2， 3 题． 2 ．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误． 3 ．预习“ 15．2．4 整式的乘法”一节． 板书设计 《三级训练》 15．3．1 平方差公式 教学目标 （一）教学知识点 1 ．经历探索平方差公式的过程． 2 ．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．（二）能力训练要求

48、 1 ．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2 ．培养学生观察、归纳、概括的能力． （三）情感与价值观要求 在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美． 教学重点 平方差公式的推导和应用． 教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学方法 探究与讲练相结合． 通过计算发现规律， 进一步探索公式的结构特征， 在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用． 教具准备 投影片． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [ 师] 你能用简便方法计算下列

49、各题吗？ （1）20011999 （2）9981002 [ 生甲 ] 直接乘比较复杂， 我考虑把它化成整百， 整千的运算， 从而使运算简单， 2001 可以写成 2000+1， 1999 可以写成 2000-1 ，那么 20011999 可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出． [ 生乙 ] 那么 9981002=（ 1000-2 ）（ 1000+2）了． [ 师] 很好，请同学们自己动手运算一下． [ 生] （1）2001 1999=（2000+1）（2000-1 ） 2 =2000 -1 2000+1 2000+1（ -1 ） =4

50、000000-1 =3999999 ． （2）998 1002=（1000-2 ）（1000+2） 2 =1000 +10002+（-2） 1000+（-2） 2 =1000000-4 =1999996 ． 2 2 [师 ]20011999=2000 -1 2 2 9981002=1000 -2 它们积的结果都是两个数的平方差， 那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索． Ⅱ．导入新课 [ 师] 出示投影片 计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1 ） （2）（m+2）（m-2）

51、 （3）（2x+1）（2x-1 ） （4）（x+5y）（x-5y ） 观察上述算式， 你发现什么规律？运算出结果后， 你又发现什么规律？再举两例验证你的发现． （学生讨论，教师引导） [ 生甲 ] 上面四个算式中每个因式都是两项． [ 生乙 ] 我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（ 1）是 x 与 1 这两个数的和与差的积；算式（ 2）是 m与 2 这两个数的和与差的积；算 式（ 3）是 2x 与 1?这两个数的和与差的积；算式（ 4）是 x 与 5y 这两个数的和 与差的积． [ 师] 这个发现很重

52、要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现． [ 生] 解：（1）（x+1）（x-1 ） =x2+x-x-1=x 2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2 2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1 ） 2 2 2 =（ 2x） +2x-2x-1=（ 2x） -1 2 2 =x +5y x-x 5y-（5y） [ 生 ] 从刚才的运算我发现： 也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我

53、们前面的简便运算得出的是同一结果． [ 师] 能不能再举例验证你的发现？ [ 生] 能．例如： 5149=（ 50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12． 即（ 50+1）（50-1）=502-12． （ -a+b ）（-a-b ） =（ -a ）（ -a ）+（-a ）（-b ）+b（-a ） +b（-b ）=（ -a）2-b2=a2-b2 这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差． [ 师] 为什么会是这样的呢？

54、[ 生] 因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后， 中间两项是同类项， 且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了． [ 师] 很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明． [ 生] 这个规律用符号表示为： （a+b）（a-b）=a2-b2．其中 a、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式． 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2． [ 师] 同学们真不简单．老师为你们感到骄傲． 能不能给我们发现的规律 （a+b） （ a-b ）=a2-b 2 起一个名字呢？

55、 [ 生] 最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？ [ 师] 有道理．这就是我们探究得到的 “平方差公式”，?请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式． （出示投影） 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用． 在应用中体会公式特征， 感受平方差公式给运算带来的方便， 从而灵活运用平方差公式进行计算 （出示投影片） 例 1：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2 ）

56、 （2）（b+2a）（2a-b ）（3）（-x+2y ）（-x-2y ） 例 2：计算： （1）102 98 （2）（y+2）（y-2 ）- （y-1 ）（y+5） [ 师生共析 ] 运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座． 在例 1 的（ 1）中可以把 3x 看作 a， 2 看作 b． 2 2 即：（3x+2）（3x-2） =（ 3x） -2 （a+b）（a-b）=a2-b2 同样的方法可以完成（ 2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（ 2）应先作如下转化： （b+2a）（

57、2a-b ） =（ 2a+b）（2a-b ）． 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则． （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题． ?也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的） [例 1]解：（1）（3x+2）（ 3x-2）=（3x）2-22=9x2-4． 2 2 2 2 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（ 2a-b）=（2a） -b =4a -b ． [ 例 2] 解：（1）10298=（100+2）（ 100-2 ） 2 2 （2）（y+2）（y-2 ）- （y-1 ）（y+5） 2 2 2 =y

58、 -2 -（y +5y-y-5 ） =y2 -4-y2-4y+5 =-4y+1 ． [ 师] 我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？ [ 生] 我觉得应注意以下几点： （1）公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即 整式． （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式． （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式， ?但通过加法或乘法 的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式． [ 生] 运算的最后结果应该是最简才行． [ 师] 同学们总结得很好． 下面请同学们完成一

59、组闯关练习． 优胜组选派一名 代表做总结发言． Ⅲ．随堂练习 出示投影片： 计算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b ）（a-b ） （3）（3a+2b）（3a-2b ） 5 2 5 2 （4）（a -b ）（a +b ） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c ） 2 2 （6）（a-b）（a+b）（a +b ） Ⅳ．课时小结 通过本节学习我们掌握了如下知识． （1）平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． ?这个公式叫做乘法的平方差公式．即（ a+b）（a-b）=a2-b2．

60、 （2）公式的结构特征 ①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公 式． ?如：（x+y-z ）（x-y-z ） =[ （x-z ） +y][ （ x-z ）-y]= （ x-z ）2-y2 ． Ⅴ．课后作业 1 ．课本 P179 练习 1、 2． 2 ．课本 P182～ P183 习题 15．3─1 题．《三级训练》 板书设计 15．3．1 平方差公式 一、 1．用简便方法计算 （1）200119

61、99 （2）9981002 2 ．计算： （1）（ x+1）（ x-1 ） （2）（ m+2）（ m-2） （3）（ 2x+1）（2x-1 ） （4）（ x+5y）（x-5y ） 二、探究、归纳规律──平方差公式； 文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号语言：（a+b）（a-b ）=a2-b 2 三、应用、升华： 1 ．例 1： 例 2： 2 ．闯关练习四、小结 15． 3． 2． 1 完全平方公式（一） 教学目标 （一）教学知识点 1 ．完全平方公式的推导及其应用． 2 ．完全平方公式的

62、几何解释． （二）能力训练要求 1 ．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力． 2 ．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力． （三）情感与价值观要求 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣， 培养创新能力和探索精 神． 教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用． 教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算． 教学方法 自主探索法 有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的．

63、 教具准备 投影片． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [ 师] 请同学们探究下列问题： （出示投影片） 一位老人非常喜欢孩子． 每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块塘，, （1）第一天有 a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有 b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（ a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块 糖？ （4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们

64、得到的糖果总数哪个多？ 多多少？为什么？ 2 [ 生] （1）第一天老人一共给了这些孩子 a 糖． 2 （2）第二天老人一共给了这些孩子 b 糖． （3）第三天老人一共给了这些孩子（ a+b）2 糖． （4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即： （a+b） 2（a2+b2） 我们上一节学了平方差公式即（ a+b）（a-b ）=a2 -b 2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题． [ 师] 老师很欣赏你的观察力，这正是我们这节课要研究的问题． Ⅱ．导入新课 [师 ]能不能将（ a+b）2 转化为我们学

65、过的知识去解决呢？ [生 ]可以．我们知道 a2=aa，所以（ a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了． 2 [ 师] 像研究平方差公式一样， 我们探究一下（a+b） 的运算结果有什么规律． 计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（ p+1）（ p+1）=_______； （2）（m+2） 2=_______； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （4）（m-2）2=________； （5）（a+b）2=________； （6）（a-b） 2=________． [生甲 ]（ 1）（p+1） 2=（p+1）（p+1） =p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2） 2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m 2+22=m2+4m+4 （3）（ p-1）2=（p-1）（ p-1）=p2+p（ -1）+（-1）p+（ -1）（-1）=p2-2p+1（4）（ m-2）2=（ m-2）（ m-2）=m2+m（-2）+（-2）m+（ -2）（-2）=m2-4m+4