2021-2021年全国普通高等学校高考数学三模试卷（文科）（含答案）

《2021-2021年全国普通高等学校高考数学三模试卷（文科）（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021年全国普通高等学校高考数学三模试卷（文科）（含答案）（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 2021-2021年全国普通高等学校高考数学三模试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．设集合M={x|0≤x＜1}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则集合M∩（∁RN）=（　　） A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2} 2．已知向量=（1，2），=（2，m），若∥+2，则m=（　　） A．4 B．﹣6 C．2 D．﹣2 3．若sin（）=，则cos（）（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 4．若函数f（x）=2﹣ax+1+2a满足f（﹣x）=f（x）对一切x∈R恒成立，则f（0）=（　

2、　） A．8 B．4 C．2 D．1 5．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其和是3的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．已知复数z=a+bi， =a﹣bi（a，b∈R，i为虚数单位），则下列叙述正确的是（　　） A．|z|≥z B．a≠0且b≠0 C．z∈R D．z与在复平面内对应的点关于虚轴对称 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a10=7+a11，则S17的值是（　　） A．119 B．120 C．130 D．140 8．已知如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 9．如图是某几何体的三视图，则该

3、几何体的体积为（　　） A．1 B． C． D． 10．函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上有且只有2个极值点，则ω的取值范围是（　　） A．[，] B．（，） C．（，] D．[，） 11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l交y轴于点E，若=3，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D． 12．如图所示，若干个斜边长为2的等腰直角三角形的斜边在x轴上，横坐标为x的直线l自y轴开始向右匀速移动，设所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x），则在定义域[0，+∞）内，关于函数f（x）的判断正确的是（　　）

4、 A．f（x）是周期函数 B．f（x）﹣2=f（x+1） C．f（x+2）﹣1=f（x） D．f（x）﹣1=f（x+2） 二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分） 13．设O为坐标原点，若x，y满足不等式组，则的最小值是． 14．在正项等比数列{an}中，a3﹣4a1=0，则=． 15．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为． 16．设函数f（x）=是一个奇函数，则满足f（2﹣x2）+f（x）＜0的x的取值范围是． 三、解答题（本大题共5小题） 17．在锐角△AB

5、C中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC． （1）确定角A的大小； （2）如果a=3，求△ABC周长的最大值． 18．如图所示的几何体P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，且AD∥BC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PB⊥AC． （1）证明：PA=PC； （2）证明：CF∥平面PBE． 19．2021年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2021年以来最严重的污染过程．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2021年12月份星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：

6、 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 车流量x（万辆） 1 2 3 4 5 6 7 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 27 31 35 41 49 56 62 （1）在表中，画出车流量和PM2.5浓度的散点图； （2）求y关于x的线性回归方程； （3）（i）利用所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时，PM2.5的浓度； （ii）规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车

7、流量在多少万辆以内（结果以万辆为单位，保留整数）？ 参考公式：回归直线的方程是： =x+，其中==， ==． 20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x﹣y=4相切，直线l：y=kx+1与圆O交于P、Q两点． （1）若•=﹣2，求实数k的值； （2）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l2与圆O交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值． 21．已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（，f（））处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设g（x）=，求g（x）的单调区间． [选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，A、B

8、、C、D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． （1）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD； （2）若BD平分∠ABC，AE=2AB，求证：EC=2AD． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），设平面直角坐标系原点与极坐标系极点重合，x轴正半轴与极轴重合，且曲线C的极坐标方程为ρ2=． （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： （2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|． （1）求函数f（x）的值域；

9、 （2）若∀x∈R，不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1．设集合M={x|0≤x＜1}，集合N={x|x2﹣2x﹣3≥0}，则集合M∩（∁RN）=（　　） A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】解不等式x2﹣2x﹣3≥0，从而可得N={x|x≥3或x≤﹣1}，从而求解． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3≥0， ∴x≥3或x≤﹣1； ∴N={x|x≥3或x≤﹣1}， ∴∁RN={x|﹣

10、1＜x＜3}， ∴M∩（∁RN）={x|0≤x＜1}， 故选A． 2．已知向量=（1，2），=（2，m），若∥+2，则m=（　　） A．4 B．﹣6 C．2 D．﹣2 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求解即可． 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，m）， ∴+2=（5，2+2m）， 又∥+2， ∴（2+2m）﹣52=0， 解得m=4． 故选：A． 3．若sin（）=，则cos（）（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】两角和与差的余弦函数；诱导公式一；同角三角函数间的基本关系． 【分析

11、】先根据诱导公式求出cos（+a）=；再结合二倍角公式即可求出结论． 【解答】解：∵sin（﹣a）=cos[﹣（﹣a）]=cos（+a）=； ∴cos（+2a）=cos2（+a） =2cos2（+a）﹣1 =2﹣1 =﹣． 故选：A． 4．若函数f（x）=2﹣ax+1+2a满足f（﹣x）=f（x）对一切x∈R恒成立，则f（0）=（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【考点】复合函数的单调性． 【分析】根据f（﹣x）=f（x），建立方程关系求出a的值即可得到结论． 【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）对一切x∈R恒成立， ∴函数f（x）是偶函数， 则2﹣ax+1+

12、2a=2， 即x2﹣ax+1+2a=x2+ax+1+2a， 则﹣ax=ax，则﹣a=a，即a=0， 则f（x）=2+1，f（0）=2， 故选：C． 5．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其和是3的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】本题是一个古典概型，．试验发生包含的事件是从1至8这八个自然数中，任取两个不同的数，满足条件的事件是这两个数的和是3的倍数，可以列举出所有的符合条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果 【解答】解：从1，2，3，4中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有（1，2），（

13、2，4）， 所以根据古典概型公式得：p=， 故选B． 6．已知复数z=a+bi， =a﹣bi（a，b∈R，i为虚数单位），则下列叙述正确的是（　　） A．|z|≥z B．a≠0且b≠0 C．z∈R D．z与在复平面内对应的点关于虚轴对称 【考点】复数的基本概念． 【分析】利用复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：∵z=a+bi， ∴|z|=∈R，当b≠0时，z为虚数，一个实数与一个虚数不能进行大小比较，故A错误； 在复数复数z=a+bi中，a，b可以取任意实数，故B错误； z=|z|2∈R，故C正确； 当z=1+i时，，z与在复平面内对应

14、的点关于实轴对称，不关于虚轴对称，故D错误． 故选：C． 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a10=7+a11，则S17的值是（　　） A．119 B．120 C．130 D．140 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列通项公式得2a10=a9+a11=7+a11，从而得到a9=7，由此能求出S17的值． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，2a10=7+a11， ∴2a10=a9+a11=7+a11， 解得a9=7， ∴ =17a9 =177 =119． 故选：A． 8．已知如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）

15、 A．4 B．6 C．8 D．9 【考点】程序框图． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到S=105时满足条件，退出循环输出i的值，从而得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： S=1，i=3 不满足条件S≥100，执行循环体，S=3，i=5 不满足条件S≥100，执行循环体，S=15，i=7 不满足条件S≥100，执行循环体，S=105，i=9 满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为9． 故选：D． 9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥

16、，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果． 【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形， 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1， ∴四棱锥的体积是． 故选B． 10．函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上有且只有2个极值点，则ω的取值范围是（　　） A．[，] B．（，） C．（，] D．[，） 【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据函数f（x）有极值点得出f′（x）=0有实根，再根据余弦函数的图象与性质，列出方程组求出ω的取值范围． 【解答】

17、解：∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）， ∴f′（x）=ωcosωx， 又x∈（﹣，）， ∴ωx∈（﹣ω，ω）， ∵f（x）在区间（﹣，）上有且只有2个极值点， ∴f′（x）=0在区间（﹣，）上有且只有2零点， ∴， 解得， 即＜ω＜． 共有选：B． 11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作渐近线的垂线l，垂足为M，l交y轴于点E，若=3，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C．3 D． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用=3，求出M的坐标，代入渐近线y=x，即可得出结论． 【解答】解：如图

18、所示． 取右焦点F（c，0），渐近线y=x． ∵FM⊥OM，∴可得直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）， 令x=0，解得y=，∴E（0，）． ∵=3， ∴M（，）， 又M在渐近线y=x上，∴=•， 解得a=b． ∴该双曲线的离心率e==2． 故选：B． 12．如图所示，若干个斜边长为2的等腰直角三角形的斜边在x轴上，横坐标为x的直线l自y轴开始向右匀速移动，设所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x），则在定义域[0，+∞）内，关于函数f（x）的判断正确的是（　　） A．f（x）是周期函数 B．f（x）﹣2=f（x+1） C．f（x+2）﹣1=f（x） D

19、．f（x）﹣1=f（x+2） 【考点】函数的图象． 【分析】由题意可得，所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x）在定义域[0，+∞）内单调递增，当x每增加2个单位，面积f（x）增加一个单位，由此可得结论． 【解答】解：所有的三角形被直线l掠过的阴影部分的面积为f（x）在定义域[0，+∞）内单调递增，故排除A； 由于当x每增加2个单位，面积f（x）增加一个单位，故B、D不正确，C正确， 故选：C． 二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分） 13．设O为坐标原点，若x，y满足不等式组，则的最小值是　1　． 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面

20、区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC的斜率最小， 由得，即C（1，1），此时OC的斜率k=1， 则的最小值为1， 故答案为：1． 14．在正项等比数列{an}中，a3﹣4a1=0，则=　3　． 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知得，从而由正项等比数列的性质得q=2，由此利用等比数列通项公式和前n项和有求出的值． 【解答】解：∵正项等比数列{an}中，a3﹣4a1=0， ∴，解得q=2或q=﹣2（舍）， ∴==3． 故

21、答案为：3． 15．底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为　36π． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上， 记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R﹣4，或OO1=4﹣R（此时O在PO1的延长线上）， 在Rt△AO1O中，R2=8+（R﹣4）2得R=3，∴球的表面积S=36π 故答案为：36

22、π． 16．设函数f（x）=是一个奇函数，则满足f（2﹣x2）+f（x）＜0的x的取值范围是　（﹣1，2）　． 【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质． 【分析】由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得x的不等式，解此二次不等式，求得x的范围． 【解答】解：函数f（x）=是一个奇函数， 设x＜0，则﹣x＞0， 且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）=﹣x（x﹣2）， 化简可得ax（2﹣x）=x（2﹣x），∴a=1． 即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数， 它的图象如图． 由f（2﹣x2）+

23、f（x）＜0，可得2﹣x2＞﹣x，即x2﹣x﹣2＜0， 求得x∈（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 三、解答题（本大题共5小题） 17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC． （1）确定角A的大小； （2）如果a=3，求△ABC周长的最大值． 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）由正弦定理结合sinC≠0，化简已知可得sinA=，结合A为锐角，可得A的值． （2）由已知及正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得a+b+c=6sin（B+）+3，由范围，利用正弦函数的图象和性质即可

24、得解其最大值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）在△ABC中，∵c=2asinC． ∴由正弦定理可得： sinC=2sinAsinC，… 又∵sinC≠0， ∴sinA=， ∵A为锐角，可得A=… （2）由正弦定理可得：， 又， ∴b=2sinB，c=2sinC， ∴a+b+c=3 =3+2sinB+2sin（﹣B） =3+3sinB+3cosB =6sin（B+）+3，… ∵在锐角△ABC中，， ∴＜B+＜， ∴当B+=时，即B=时，a+b+c取最大值为9． ∴△ABC周长的最大值为9… 18．如图所示的几何体P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形

25、，且AD∥BC，点E是边AD上的一点，AE=BC=AB，AD=3BC，点F是PD的中点，PB⊥AC． （1）证明：PA=PC； （2）证明：CF∥平面PBE． 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】（1）设AC，BE的交点为O，连结PO．通过证明AC⊥平面PBE得出AC⊥PO，从而得出△POA≌△POC，于是PA=PC． （2）取PE的中点M，连结FM，BM．利用中位线定理证明四边形BCFM是平行四边形，得出CF∥BM，从而得出CF∥平面PBE． 【解答】证明：（1）设AC，BE的交点为O，连结PO． ∵AD∥BC，AE=BC=AB， ∴四边形ABCE是菱形， ∴AC⊥

26、BE，OA=OC． 又AC⊥PB，BE，PB⊂平面PBE，PB∩BE=B， ∴AC⊥平面PAC，∵PO⊂平面PBE， ∴AC⊥PO，又OA=OC， ∴△POA≌△POC， ∴PA=PC． （2）取PE的中点M，连结FM，BM． ∵F，M分别是PD，PE的中点， ∴MFDE， ∵BC∥AD，AD=3BC，AE=BC， ∴BCDE， ∴BC． ∴四边形BCFM是平行四边形， ∴CF∥BM， 又BM⊂平面PBE，CF⊄平面PBE， ∴CF∥平面PBE． 19．2021年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2021年以来最严重的污染过程．为了探究

27、车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2021年12月份星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 车流量x（万辆） 1 2 3 4 5 6 7 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 27 31 35 41 49 56 62 （1）在表中，画出车流量和PM2.5浓度的散点图； （2）求y关于x的线性回归方程； （3）（i）利用所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时，PM2.5的浓度； （ii）规定当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量

28、等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内（结果以万辆为单位，保留整数）？ 参考公式：回归直线的方程是： =x+，其中==， ==． 【考点】线性回归方程． 【分析】（1）利用描点法可得数据的散点图； （2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程； （3）（i）根据（2）的性回归方程，代入x=8求出PM2.5的浓度，（ii）由x+≤100，解得x的取值范围． 【解答】解：画出车流量和PM2.5浓度的散点图； （2）由数据可得： =（1+2+3+4+5+6+7）=4， =

29、（27+31+35+41+49+56+62）=43， xiyi=1373，=140， ===， =﹣b=， 故y关于x的线性回归方程为=x+， （3）（i）当车流量为8万辆时，即x=8时， =8+=， 故车流量为8万辆时，PM2.5的浓度， （ii）根据题意信息x+≤100， 即当x≤13.44时， 所要使该市某日空气质量为优活为良，则应控制当天车流量在13万辆以内． 20．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x﹣y=4相切，直线l：y=kx+1与圆O交于P、Q两点． （1）若•=﹣2，求实数k的值； （2）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l2与圆O交

30、于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值． 【考点】直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算． 【分析】（1）考查圆与向量相结合的问题，运用向量的数量积公式即可； （2）利用几何关系进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，圆O的半径r等于原点O到直线x﹣y=4的距离，即r==2， ∴圆的方程为x2+y2=4， ∵•=22cos∠POQ=﹣2， ∴cos∠POQ=﹣，∴∠POQ=120， ∴圆心到直线l：y=kx+1的距离d==1， ∴k=0． （2）由图可得，|PQ|=2，|MN|=2， ∴S=|PQ||MN|=2， 又已知得，d2+d′2=1， 故S=2≤2=

31、2=7， 故四边形PMQN面积S有最大值7． 21．已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（，f（））处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）设g（x）=，求g（x）的单调区间． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，得f′（x）=a+1+lnx，依题意f′（）=a=1，从而求出a=1． （Ⅱ）由g′（x）=，设h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=1﹣，讨论①当x＞1时，②当0＜x＜1时的情况，得出g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）． 【解答】解：

32、（Ⅰ）f（x）=ax+xlnx， ∴f′（x）=a+1+lnx， 依题意f′（）=a=1， ∴a=1． （Ⅱ）∵g（x）=， ∴g′（x）=， 设h（x）=x﹣1﹣lnx， 则h′（x）=1﹣， 当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数． 对∀x＞1，h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，g′（x）＞0， 故g（x）在（1，+∞）上为增函数， 当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减增函数． 对∀x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即当0＜x＜1时，g′（x）＞0， 故g（x）在（0，1）上为增函数， ∴g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．

33、 [选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，A、B、C、D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． （1）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD； （2）若BD平分∠ABC，AE=2AB，求证：EC=2AD． 【考点】与圆有关的比例线段；弦切角． 【分析】（1）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由A，B，C，D四点共圆得到∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD． （2）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EB

34、A，利用角平分线的性质，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵EF2=FA•FB， ∴， 又∵∠EFA=∠BFE， ∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF， 又∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠EDC=∠EBF， ∴∠FEA=∠EDC， ∴EF∥CD． （2）∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B ∴△EDC∽△EBA， ∴=． ∵BD平分∠ABC， ∴=， ∴=， ∴=， ∴AE=2AB， ∴EC=2AD． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），设平面直角坐标系原点与极

35、坐标系极点重合，x轴正半轴与极轴重合，且曲线C的极坐标方程为ρ2=． （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： （2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t可得普通方程．由曲线C的极坐标方程为ρ2=，可得：4ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，把x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把化为直角坐标方程． （2）设曲线C上的点P，利用点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t可得

36、普通方程：x﹣y﹣1=0． 由曲线C的极坐标方程为ρ2=， 可得：4ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，化为直角坐标方程：4x2+3y2=12，即+=1． （2）设曲线C上的点P， 则点P到直线l的距离d===． ∴曲线C上的点到直线l距离的最大值为． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|． （1）求函数f（x）的值域； （2）若∀x∈R，不等式f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解出值域即可； （2）求出f（x）的最小值，问题转化为t2﹣t≤﹣3，解出即可． 【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|． 当x≤2时，f（x）=2﹣x﹣（5﹣x）=﹣3， 当2＜x＜5时，f（x）=x﹣2﹣（5﹣x）=2x﹣7∈（﹣3，3）， 当x≥5时，f（x）=x﹣2﹣（x﹣5）=3． 综上函数f（x）的值域[﹣3，3]． （2）函数f（x）的最小值是﹣3， 若∀x∈R，使得f（x）≥t2﹣t恒成立， 即有f（x）min≥t2﹣t， 即有t2﹣t≤﹣3，解得：≤t≤2， 则实数t的取值范围为[，2]． 精品 Word 可修改 欢迎下载