线性代数用正交变换法换二次型为标准型

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1、 正 交 变 换 是 一 类 特 殊 的 线 性 变 换 ， 具 有 保 向 量 长 度不 变 、 几 何 形 状 不 变 的 性 质 ， 在 几 何 空 间 中 被 广 泛 使 用 。则 称 C为 正 交 矩 阵 。正 交 矩 阵 的 性 质 ：一 、 正 交 矩 阵 及 性 质 ,T TCC C C I 正 交 矩 阵 ： 设 矩 阵 C为 n阶 方 阵 ， 若 满 足 若 矩 阵 C为 n阶 正 交 矩 阵 ， 则 C*也 是 正 交 矩 阵 . 若 矩 阵 C为 n阶 正 交 矩 阵 ， 则 |C|=1； 若 矩 阵 C为 n阶 正 交 矩 阵 ， 则 C可 逆 ， 其 逆 C-1=

2、CT C是 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 C的 列 （ 行 ） 向 量 组是 标 准 正 交 向 量 组 （ Page105, ch3-例 27） 1 2, , nC C CL也 是 正 交 矩 阵 ； 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,X CY X CY X X Y Y 时 ， 若 A、 B为 正 交 矩 阵 ， 则 它 们 的 乘 积 矩 阵 AB也 是 正 交 矩 阵 正 交 变 换正 交 变 换 ： 设 C为 正 交 矩 阵 ， X和 Y是 欧 氏 空 间 Rn中 的 n维 向 量 ， 则 线 性 变 换 X=CY是 Rn上 的 正 交 变 换 等 价 ： 线 性 变

3、换 在 线 性 变 换 线 性 变 换 (1) (2): ( 1,2),i iX CY i 1 2 1 2 1 2 1 2, T TT TX X X X CY CY Y YC C 1 2 1 2 1 2,T TY Y Y YE Y Y (2) (3): 1 2, , n L 1 2, , nC C C L 1, , 0,i j i j i jC C i j 1 2, , nC C C L 由 前 面 的 定 理 可 知 ， 任 一 二 次 型 均 能 通 过 一 非 退 化 的线 性 变 换 将 其 化 为 标 准 形 。问 题 ： 任 一 二 次 型 能 否 通 过 正 交 变 换 将 其

4、化 为 标 准 形 ？(3) (1): 1 2, , n L 1 2, , nC C C L 1 1 22, , , , nnB C C AC C C LL三 、 用 正 交 变 换 法 化 二 次 型 为 标 准 形注 ： 正 交 变 换 不 改 变 向 量 的 内 积 ， 即 不 改 变 向 量 的 长 度 ，从 而 也 不 改 变 曲 线 或 曲 面 的 形 状 。 11 2T nC AC C AC O 成 立 .上 述 问 题 的 等 价 描 述 ： 对 于 一 实 （ Rn） 对 称 矩 阵 A,能 否上 式 表 明 用 正 交 矩 阵 所 得 的 矩 阵 合 同 即 为 矩 阵 的

5、 相 似 .列 向 量 应 该 是 A的 n个 线 性 无 关 且 标 准 正 交 的 特 征 向 量 。实 对 称 矩 阵 的 性 质 ：定 理 ： 设 A为 n阶 实 对 称 矩 阵 ， 则 有(1) A的 特 征 值 全 是 实 数 ； 找 到 一 正 交 矩 阵 C,使 得故 标 准 形 应 该 由 矩 阵 的 特 征 值 决 定 ， 且 正 交 矩 阵 C的i(2) A的 对 应 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 正 交 . AX X AB A B g(1)设向 量 ， 则两 边 右 乘 X,即又 因上 述 两 式 相 减 ，对 上 述 等 式 先 取 转 置 ， 再 取

6、共 轭 ， 且 有 ， 故 结 论 成 立 为 实 对 称 阵 A的 特 征 值 ， X为 对 应 的 特 征故 ： ,T T T T TX A X X A X ,T TX AX X X ,T T TX AX X X X X 0TX X 1 2, (2)设 为 实 对 称 阵 A的 两 个 不 同 特 征 值 ， X 1， X2为对 应 1 2, 的 特 征 向 量 ， 则 , 1,2i i iAX X i 又 因 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2, , , ,TX X AX X X AX X AX X X 1 2 1 2 1 2, 0 , 0X X X X 故 结 论 成 立

7、.定 理 ： 对 n阶 实 对 称 矩 阵 A， 必 存 在 正 交 矩 阵 C， 使11 2T nC AC C AC O 成 立 .证 明 ： （ 利 用 数 学 归 纳 法 +标 准 正 交 向 量 组 的 性 质 ）详 见 课 本 179-180证 明 过 程 。注 ： 实 对 称 阵 一 定 有 n个 标 准 正 交 的 特 征 向 量 。 上 述 定 理 的 等 价 描 述 ：定 理 （ 主 轴 定 理 ） ： 实 二 次 型 Tf X AX 必 可 由 正 交变 换 X CY 化 为 标 准 形 ， 即2 2 21 1 2 2T n nf X AX y y y L1 2, , ,

8、,n L其 中 ， 为 A的 特 征 值 .基 于 上 述 结 果 ， 可 归 纳 正 交 变 换 法 化 二 次 型 为 标 准 形的 过 程 如 下 ： 用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形 的 具 体 步 骤 ;,.1 AAxxf T 求 出将 二 次 型 表 成 矩 阵 形 式 ;,.2 21 nA 的 所 有 特 征 值求 出 ;,.3 21 n征 向 量求 出 对 应 于 特 征 值 的 特 ;, ,.4 2121 21 nn nC 记 得单 位 化正 交 化将 特 征 向 量 .,.5 2211 nnyyf fCyx 的 标 准 形则 得作 正 交 变 换 解 1）

9、 二 次 型 的 矩 阵 为1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 42 2 2 2 2 2为 标 f x x x x x x x x x x x x 化 准 形 .例 1、 求 一 个 正 交 变 换 X=PY， 把 二 次 型0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0A 1 1 1 11 1 1(1 )1 1 11 1 1 1 1 11 1 11 1 11 1 1 A E , 的 特 征 值 ：求由 A2) EA 0 0)1)(3()1( )32()1( 2 22 1 1 1 10 1 2 21 0 2 1 20 0 0 1- - + 2 1 1 11 0 1 20 2

10、1 得 A的 特 征 值 1 2,3,43, 1 3） 当 时 ， 特 征 向 量 为3 1 1, 1, 1,1 T 对 其 单 位 化 1 1 1, 1, 1,12 T 当 时 ， 特 征 向 量 为1 2 3 41,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1T T T 4） 利 用 Schmidt正 交 化 过 程 对 上 述 向 量 正 交 化 、 单 位 化 2 3 41 1 11,1,0,0 , 0,0,1,1 , 1, 1,1, 122 2T T T 故 正 交 矩 阵 1 2 3 4, , , TC 且 满 足1 3 1 1 1TC AC C AC 5） 作 正 交 变

11、换 X=CY,原 二 次 型 化 为 标 准 形 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4, , , 3f x x x x y y y y 例 2、 若 二 次 型 2 21 2 3 32 2f x x x ax 可 通 过 正 交 变 换X=CY化 二 次 型 为 标 准 形 2 2 21 2 32f y by y ,a b求 参 数 及 所 作 的 正 交 变 换 .2 0 00 0 10 1A a 解 ： 二 次 型 的 矩 阵又 因 标 准 形 为 2 2 21 2 32 ,f y by y 故 A的 特 征 值 为2, , 1b 利 用 性 质 ： 2 ( 1) ( ) 22 ( 1) 2b tr A ab A g g1, 0b a 所 以 A的 特 征 值 为 2,1, 1 1 2 3, , 两 两 相 互 正 交 ， 单 位 化 得令 正 交 矩 阵 C 1 0 01 10 2 21 10 2 2C 2 当 1 1,0,0 T 2 0I A X 的 基 础 解 系时 ，1 当 2 0,1,1 T 0I A X 的 基 础 解 系时 ，1 当 3 0,1, 1 T 0I A X 的 基 础 解 系时 ， 1 1,0,0 T 2 1 0,1,12 T 3 1 0,1, 12 T 则 正 交 变 换 为 X=CY