2022-2023学年广西南宁市高一（下）期中数学试卷【含答案】

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1、第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,y)，若a//b，则a+b=(    ) A. (−1,−2) B. (−1,6) C. (−1,3) D. (−1,1) 3. 若函数f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0，则f(f(−2))=(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知集合A=

2、{x|y= x+3},B={x|x−3x−1<0}，则A∪B=(    ) A. (−3,+∞) B. [−3,+∞) C. (−3,3) D. [−3,3) 5. 已知角α的终边经过点(−1, 3)，则tan(α+π2)+sin(2α−3π)=(    ) A. 32 B. −34 C. − 36 D. 5 36 6. 如图所示，△ABC的直观图是边长为2的等边△A'B'C'，则在原图中，BC边上的高为(    ) A. 2 6 B. 6 C. 2 3 D. 3 7. 若sinα=2sinβ,sin(α+β)⋅tan(α−β)=1，则tanαtanβ=(    )

3、 A. 2 B. 32 C. 1 D. 12 8. 在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=a，AF=b，则AC=(    ) A. 67a+37b B. 37a+67b C. 34a+13b D. 13a+34b 二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x+1)i−y=−1+2i，复数z=(1−i)x+y，则以下结论正确的是(    ) A. z的虚部为−2i B. z的模为2 C. z的共轭复数为2i D. z对应的点在第四象限 10. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,

4、b,c，下列说法中正确的是(    ) A. “△ABC为锐角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要条件 B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形 C. 命题“若A>B，则sinA>sinB”是真命题 D. 若a=8，c=10，B=π3，则符合条件的△ABC有两个 11. 下列说法正确的是(    ) A. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b≠c B. 若z1，z2为复数，则|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2| C. 设a，b是非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a⋅b=0 D. 设z1，z2为复数，若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0 12

5、. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a，b满足|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，则(    ) A. a⋅b=−2 B. a与b的夹角为π3 C. |a−b|>|a+b| D. a−b在b上的投影向量为−12b 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 已知命题p：∃x0∈R,x02+2x0+a≤0，命题q：∀x>0,x+1x>a，若p假q真，则实数a的取值范围为______ ． 14. 1−tan 75∘1+tan 75∘=          ． 15. 若圆x2

6、+y2−2ax−2by=0(a>0,b>0)被直线x+y=1平分，则1a+2b的最小值为______ ． 16. 如图，在△ABC中，已知BD=12DC，P为AD上一点，且满足CP=mCA+49CB，若△ABC的面积为 3，∠ACB=π3，则|CP|的最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题12分) 设向量a、b满足|a|=|b|=1，且|3a−2b|= 7． (1)求a与b夹角的大小； (2)求a+b与b夹角的大小； (3)求|3a+b||3a−b|的值． 18. (本小题12分)

7、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3． (Ⅰ)求c； (Ⅱ)若BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于P，AM=3，以P为圆心，r(0

8、形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(A)= 3，a=3，B=π6，求△ABC的面积． 21. (本小题12分) 已知向量a=( 3,k)，b=(0,−1)，c=(1, 3)． (Ⅰ)若a⊥c，求k的值； (Ⅱ)当k=1时，a−λb与c共线，求λ的值； (Ⅲ)若|m|= 3|b|，且m与c的夹角为150°，求 |m+2c|. 22. (本小题12分) 已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1=(3,1)，e2=(−1,−2)，求

9、BC的坐标； (3)已知D(−12,3)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】∵11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i， ∴复数11−i的共轭复数为12−12i， ∴复数11−i的共轭复数对应的点(12,−12)位于第四象限． 故选：D． 2.【答案】A  【解析】a=(1,2)，b=(−2,y)，a//b， 则y=−2×2=−4， a=(1,2)，b=(−2,−4)， 故a+b=(−1,−2)． 故选：A． 3.【答案】C  【解析】根据题意，函数f(x)=x2+

10、1,x≤0log3(x+3),x>0，则f(−2)=4+1=5， 则f(f(−2))=log28=3． 故选：C． 4.【答案】B  【解析】A={x|x≥−3}，B={x|1

11、.【答案】A  【解析】在直观图中， 因为边长为2的等边△A'B'C'，所以B'C'上的高ℎ= 3， ∴O'A'=ℎsin45∘= 6， ∴在原图中，BC上的高AO=2 6． 故选：A． 7.【答案】A  【解析】 因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以sinαsinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)]， 所以sin(α+β)sin(α−β)=12(cos2β−cos2α)， 又sin(α+β)⋅tan(α−β)=1， 所以sin(α+β)⋅sin(α−β)cos(α−β)=1

12、，即sin(α+β)sin(α−β)=cos(α−β)， 所以12(cos2β−cos2α)=cos(α−β)， 所以12(1−2sin2β−1+2sin2α)=cos(α−β)，即sin2α−sin2β=cos(α−β)， 又sinα=2sinβ， 所以4sin2β−sin2β=cosαcosβ+sinαsinβ， 所以4sin2β−sin2β=cosαcosβ+2sin2β， 所以sin2β=cosαcosβ， 所以12sinαsinβ=cosαcosβ，即sinαsinβ=2cosαcosβ， 又易知cosαcosβ≠0， 所以sinαsinβcosαcosβ=2，即t

13、anαtanβ=2． 故选A．    8.【答案】B  【解析】如图： 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AC=AB+AD，BC=AD，DC=AB， 因为BE=12EC，DF=2FC， 所以BE=13BC，DF=23DC， 所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD， AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB， 因为AE=a，AF=b， 所以AB+13AD=aAD+23AB=b，解得AB=97a−37bAD=97b−67a, 所以AC=AB+AD=97a−37b+97b−67a=37a+67b， 故选：B．    9.【答案】BC 

14、【解析】(x+1)i−y=−1+2i， 则x+1=2，−y=−1，解得x=1，y=1， 故z=(1−i)2=−2i， z的虚部为−2，z的模为2，故A错误，B正确； z−=2i，故C正确；z对应的点(0,−2)位于虚轴负半轴上，故D错误． 故选：BC． 10.【答案】AC  【解析】若△ABC为锐角三角形，则A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，且A+B>π2，即A>π2−B，又A∈(0,π2)，π2−B∈(0,π2)，则sinA>sin(π2−B)=cosB；反之，若B为钝角，满足sinA>cosB，不能推出△ABC为锐角三角形，故A正确； 由sin2A=sin2B，得2A

15、=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 若A>B，则a>b，由正弦定理得asinA=bsinB，即sinA>sinB成立，故C正确; 根据余弦定理得b2=a2+c.2−2accosB，即b2=82+102−2×8×10×12=84，所以b=2 21，符合条件的△ABC只有一个，故D错误． 故选AC．    11.【答案】BC  【解析】若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则a⋅(b−c)=0，即a⊥(b−c)或b=c，故A错误； 设z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)， |z1|= a2+b2，|z2|= c2

16、+d2， 则|z1z2|=|ac−bd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= (a2+b2)(c2+d2)， |z1z2|= (a2+b2)(c2+d2)，故B正确； 因为a、b为非零向量，|a+b|=|a−b|，两边同时平方可得，(a+b)2=(a−b)2， 即a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b， 所以a⋅b=0，故C项正确； 当z1=i，z2=1时，满足|z1+z2|=|z1−z2|，但不满足z1⋅z2=0，故D项错误． 故选：BC． 12.【答案】BD  【解析】∵|a|=|b|=2，|a+b|=2 3， 所以12=|a+b|2=a2

17、+2a⋅b+b2=4+2a⋅b+4， 解得a⋅b=2，A错误； 设a，b的夹角为α，则cosα=a⋅b|a||b|=22×2=12， 由于α∈[0,π]， ∴a与b的夹角为π3，故B正确； |a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 4−2a⋅b+4=2<|a+b|=2 3，故错误； a−b在b上的投影向量为b⋅(a−b)|b|⋅b|b|=a⋅b−b22⋅b|b|=−b|b|=−12b，故D正确． 故选：BD． 13.【答案】(1,2)  【解析】命题p：由题意可得Δ=4−4a≥0，解得a≤1； 命题q：由题意只需a<(x+1x)min，又当x>0时，x+1x≥2

18、，当且仅当x=1是取等号，所以a<2， 因为p假q真，则a>1a<2，所以1

19、)=3+ba+2ab≥3+2 2， 当且仅当ba=2ab时，a= 2−1，b=2− 2时取等号， 故1a+2b的最小值为3+2 2． 故答案为：3+2 2． 16.【答案】43  【解析】设AP=λAD，则CP=CA+λAD=CA+λ(CD−CA)=(1−λ)CA+23λCB． 又CP=mCA+49CB，则1−λ=m49=23λ，解得m=13， 所以CP=13CA+49CB，令|CA|=x，|CB|=y， 则S△ABC=12|CA|×|CB|×sin∠ACB= 34xy= 3， 所以xy=4，且x>0，y>0． 所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+

20、1681y2+1627≥2 19x2×1681y2+1627=169， 当且仅当19x2=1681y2，即3x=4y，即3|CA|=4|CB|时等号成立， 所以|CP|的最小值为43． 故答案为：43． 17.【答案】(1)|a|=|b|=1，且|3a−2b|= 7， 即有(3a−2b)2=7， 即9a2−12a⋅b+4b2=7， 9−12×1×cos+4=7， 即有cos=12， 由0≤≤π， 可得a与b夹角为π3； (2)由(a+b)⋅b=a⋅b+b2=12+1=32， |a+b|= a2+b2+2a⋅b= 1+1+1= 3， 则co

21、s=(a+b)⋅b|a+b|⋅|b|=32 3= 32， 由于0≤≤π， 即有a+b与b夹角为π6； (3)|3a+b|2=9a2+6a⋅b+b2=9+6×12+1=13， 即有|3a+b|= 13， |3a−b|2=9a2−6a⋅b+b2=9−6×12+1=7， 即有|3a−b|= 7， 故|3a+b||3a−b|= 13 7= 917．  18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3得csinB= 3sinC+3cosC， ∴csin(C+A)=2 3(12sinC+ 32cosC)， ∴csin(C+π3)

22、=2 3sin(C+π3)， ∵C∈(0,2π3)，∴C+π3∈(π3,π)，∴sin(C+π3)≠0， ∴c=2 3． (Ⅱ)以A为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 则A(0,0)，B( 3,3)，设C(t,0)，∴M(t+ 32,32)，∵|AM|=3，∴t=2 3，∴C(2 3,0)， 又∵P为三角形的重心，∴P( 3,1)， ∴圆P：(x− 3)2+(y−1)2=r2(0

23、sinθ)， ∴TA+TB+3TC=(2 3−5rcosθ,−2−5rsinθ)， ∴|TA+TB+3TC|2=(2 3−5rcosθ)2+(−2−5rsinθ)2=16+25r2+40rsin(θ−π3)≤25r2+40r+16≤25×12+40×1+16=81， ∴|TA+TB+3TC|max=9．   19.【答案】(1)z=a−i1+i=(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−a+12i， 因为z为纯虚数，所以a−12=0，且−a+12≠0，则a=1． (2)由(1)知，z=a−12+a+12i，则点(a−12,a+12)位于第二象限， 所以a−1<0a+1

24、>0，得−1

25、π4或5π12， 当A=π4时，C=π−π4−π6=7π12，不符合题意； 当A=5π12时，C=π−5π12−π6=5π12，符合题意， 所以a=3，B=π6，A=5π12，C=5π12， 此时△ABC为等腰三角形，所以c=a=3， 所以SΔABC=12acsinB=12×3×3×sin⁡π6=12×3×3×12=94， 即△ABC的面积为94．  21.【答案】(Ⅰ)∵a⊥c，∴a⋅c=0，∴ 3+ 3k=0，解得k=−1； (Ⅱ)∵k=1，∴a=( 3,1)，又b=(0,−1)，∴a−λb=( 3,1−λ)． ∵a−λb与c共线，∴ 3× 3−(1+λ)=0，解得λ=2

26、； (Ⅲ)∵|b|= 0+(−1)2=1，∴|m|= 3． 又m与c的夹角为150°，|c|= 1+( 3)2=2． ∴m⋅c=|m| |c|cos150°= 3×2×cos150°=−3， |m+2c|= m2+4m⋅c+4c2= ( 3)2+4×(−3)+4×22= 7．  22.【答案】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE=kEC， 即e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k−1−λ)e2． 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以1+2k=0k−1−λ=0 解得k=−12，λ=−32； (2)BC=BE+EC=−e1−32e2−2e1+e2=−3e1−12e2=−3×(3,1)−12×(−1,−2)=(−9,−3)+(12,1)=(−172,−2)， (3)设A(x,y)， 由题意可得AD=BC=(−172,−2)， ∴−12−x=−172，3−y=−2， ∴x=8，y=5． ∴A(8,5)．