全国初中数学竞赛试题及答案

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）． （A） （B） （C） （D）a 1（乙）．如果，那么的值为（ ）． （A） （B） （C）2 （D） 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3

2、） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B） （C） （D） 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）

3、． （A） （B）4 （C） （D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体

4、骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结

5、果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 . 6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ． 7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么

6、 的值为 ． 8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 . 9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 . 9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 . 10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是

7、直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的 长为 . 10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ． 三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且。试求图像经过B、C、E三

8、点的二次函数的解析式。 12（甲）. 如图，⊙O的直径为，过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△． 12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD. 13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当2012时，求a的最小值. 13（乙）．给定一个正整数，凸边形

9、中最多有多少个内角等于？并说明理由． 14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且. 14（乙）．将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以相同），使得，求的最小值． 参考解答 一、选择题 1(甲) .C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ，且， 所以 ． 1（乙）．B 解：． 2（甲）．D 解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设x

10、2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2. 因为均为整数，所以有 解得 以上共计9对. 3（甲）．D 解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为 ， 中位数为 ， 于是 . 3（乙）．B 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为，所以. 在Rt△中， 于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D 解

11、：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得 消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =. 因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意． 5（甲）．D 解：掷两次骰

12、子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以 ，因此最大． 5（乙）．C 解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则 ， 解得 ，． 二、填空题 6（甲）．7＜x≤19 解：前四次操作的结果分别为 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得 27x－26≤487，

13、 81x－80＞487. 解得 7＜x≤19. 容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19． 6（乙）.7 解：在两边乘以得 即 7（甲）．8 解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以 ， 由此得，所以. 在Rt△ABF中，因为，所以 ， 于是 . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是 ， ， . 又，所以. 因为，所以. 7（乙）. 解：如图，设的中点为，连

14、接，则． 因为，所以 ， ． ． 8（甲）． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4≥0， 由此得 (k－3)2≤0． 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==． 8（乙）.1610 解： 因此，所以，因此 所以共有2012-402=1610个数 9（甲）．8 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43. 又 ，所以. 于是 0≤≤43， 87≤≤130， 由此得 ，或. 当时，；

15、当时，，，不合题设. 故． 9（乙）. 解：依题意得：，所以，代入（2）得 ，两边乘以a得 ，即，化简得，两边除以得 所以 另一方面：a≤b≤c，所以 综合得 另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得，解得 ，另一方面：a≤b≤c，所以， 综合得． 10（甲）． 解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90. 依题设∠BFC = 90，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 . 因为OD是⊙O的半径，AD = C

16、D，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△∽△，知．因为， 所以 ，BA=AD ，故 . 10（乙）.12 解：依题意得 由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即， 当1≤≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则： ，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。 三、解答题 11（甲）．解： 因为当时，恒有，所以 ， 即，所以． …………（3分） 当时，≤；当时

17、，≤，即 ≤， 且 ≤， 解得≤． …………（8分） 设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得． 因为，所以， 解得，或． 因此． …………（15分） 11（乙）.解：因为sin∠ABC =，， 所以AB = 10．由勾股定理，得． 易知， 因此 CO = BO = 6． 于是，，． 设点D的坐标为． 由，得． 所以 ，． 解得 ． 因此D为AB的中点，点 D的坐标为．

18、 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心， 所以点E的坐标为．（也可由直线CD交y轴于点E来求得.） 设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为． 将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为． 12（甲）． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分） 设与交于点，连接OM，则．又因为，所以 ． …………（10分） 又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以

19、△BOC∽△． …………（15分） 12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知：， ． 所以， CI = CD． 同理，CI = CB ． 故点C是△IBD的外心． 连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ． 故OI是△IBD外接圆的切线． （2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F． 由，知OC⊥BD． 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE．

20、 又因为I是△ABD的内心，所以． 故． 也可由托勒密定理得：，再将代入即得结论。 13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）. 因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分） （1）当时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以

21、 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1. 解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分） 又a≥2012，即≥2012. 又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025. 当时，，，. 此时，a的最小值为2025. （2）当时，因为2012，所以，从而得a的最小值为2017（素数）。 综上所述，所求的a的最小值为2017。……（15分） 13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150，则每个150内角的外角 都等于30， 而凸

22、n边形的n个外角和为360，所以，只有当时， k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论时的情况： （1）当时，显然，k的值是11； （2）当时，k的值分别为1，2，3，4，5； （3）当时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分） 综上所述，当时，凸n边形最多有个内角等于150；当时，凸n边形最多有个内角等于150；当时，凸n边形最多有12个内角等于150；当时，凸n边形最多有11个内角等于150。. ……（15分） 14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以 ≥1，≥2，…，≥2012． 于是 ≤． …………（5分） 当时，令，则

23、 . …………（10分） 当时，其中≤≤，令 ，则 ． 综上，满足条件的所有正整数n为． …………（15分） 14（乙）.解：当时，把分成如下两个数组： 和． 在数组中，由于， 所以其中不存在数，使得． 在数组中，由于， 所以其中不存在数，使得． 所以，． 下面证明当时，满足题设条件． 不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组． 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时． 综上，满足题设条件． 所以，的最小值为． （注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．）