2022-2023学年安徽省合肥市高二年级下册学期期中检测 数学【含答案】

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1、2022-2023学年第二学期高二年级期中检测 数学试卷 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生将答案写在答题卷上，写在试卷上无效. 3.请考生在答题卷规定的位置写班级，姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可. 【详解】由题意可得：，则曲线的斜率为， 切线方程为：，即. 本题选择A选项. 【点睛】导

2、数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 2. 数列的通项公式为，则的第5项是 A. 13 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】分析:把n=5代入，即得的第5项. 详解：当n=5时，=-13.故选B. 点睛：求数列的某一项，只要把n的值代入数列的通项

3、即得该项. 3. 函数有极值的充要条件是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，即，应选答案C． 4. 若函数在处取得极值，则（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验. 【详解】因为，所以， 又函数在处取得极值， 所以，即． 此时， 当或时，，当时，， 故是极大值点，故符合题意． 故选：D． 5. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和

4、，则最小的一份为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 依题意可得，， ， ，解得， . 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 6. 若数列满足，，则的值为 A. 2 B. -3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，所以 故数列是以4 为周期的周期数列，故 故

5、选B. 7. 已知数列前项和，则的通项公式（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求． 【详解】令，则，解得， 当时，， 则，即，， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以． 故选：C． 8. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他

6、们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　 A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 【答案】A 【解析】 【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案． 【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列， 只知道甲比丙多分三十六石，所以， 所以，解得石． 甲应该分得78石． 故选A． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重

7、考查了运算与求解能力，属于基础题． 二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分） 9. 如图是导数的图象，下列说法正确的是（） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据原函数与导函数图象的关系及极值的定义一一判定即可. 【详解】对于A、B选项，由导函数的图象可知上导函数为正，上导函数为负，故A、B正确； 对于C、D选项，由导函数的图象可知处导函数不为零，在处导函

8、数为零，其左侧导函数为正号，右侧导函数为负号，故处应取得极大值，故C、D选项错误. 故选：AB 10. （多选）等差数列是递增数列，且，前项和为，则（） A. B. C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】先求得，结合数列的单调性判断AB选项的正确性，结合二次函数的性质、一元二次不等式判断CD选项的正确性. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得，即． 又由等差数列是递增数列， 可知，则，故A正确，B错误； 因为， 由，可知当或时最小，故C错误； 令，解得（舍去）或， 即时的最小值为8，故D正确． 故选：AD． 11.

9、若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　 A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数过原点的切线． 【详解】解：函数的导数为； 所以过原点的切线的斜率为； 则过原点的切线的方程为：； 所以当时，函数与的图象恰有一个公共点； 故选：BCD 【点睛】本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题． 12. 已知函数，则以下结论正确的是（） A. 在上单调递增 B. C. 方程有实数解 D. 存在实数，使得方程有4个实数解 【答案

10、】BCD 【解析】 【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数形结合即可判定. 【详解】由， 显然当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增，故A错误； 对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确； 对于C项，由上知处取得极小值，而，故C正确，如图所示； 对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令， 令，解得，即在上单调递减， 令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，， 又时，

11、，可得的大致图象，如图所示， 当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确； 故选：BCD 三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13. 已知，若三个数成等差数列，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差中项即可求解. 【详解】由等差中项可得，所以， 故答案为：5 14. 函数在点处的切线方程为，则_____，____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 由题得，由导数的几何意义可得，解方程组即得解. 【详解】由题得，由导数的几何意义可得， 即，， 所以. 故答案为：

12、(1). (2). 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列不等式组，将表示为的线性和的形式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，设， 由解得 ，两式相加得，即的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题. 16. 若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______ 【答案

13、】 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案． 【详解】由题意可得：函数 f（x）＝x3﹣3x， 所以f′（x）＝3x2﹣3． 令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1； 在上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增， 因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f（1）， 1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2， 又结合函数的性质可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，

14、 联立解得：﹣2≤a＜1． 故答案为[﹣2，1）． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题． 四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知函数在处取得极值． （1）讨论和是函数的极大值还是极小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程． 【答案】（1）是极大值，是极小值；（2）； 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由函数在处取得极值，则得到关于的方程组，求出，可以得到函数的解析式，再去判断函数的单调性，从而得出函数的极大值与极小值；（2）点不在曲线上，先设切点坐标，然后写出切线

15、的方程，再根据点在切线上，得到关于的方程，求出，从而得出切点坐标和切线方程； 试题解析：（1），依题意得，，即 解得．，． 令，得．若，则，故 在上是增函数，在上是增函数．若，则，故在上是减函数．是极大值；是极小值． （2）曲线方程为．点不在曲线上． 设切点为，则点M的坐标满足．，故切线的方程为．注意到点在切线上，有 化简得，解得，因此切点为，切线方程为． 考点：导数的应用； 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式 （2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，当时，递推作差得，即，得到

16、数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式； （2）由（1）求得，得到，利用分组求和，即可求解． 【详解】（1）当时，，所以， 当时，因为，所以， 两式作差得，即，因为， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 故； （2）令，则，， 所以数列的公差，故， 所以， 所以. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 19. 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它

17、的温度会逐渐下降，温度T（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系由函数给出． （1）判断的正负，并说明理由． （2）的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图象的大致形状吗？ 【答案】（1）负（2）第三分钟的水温，平均每分钟下降 【解析】 【分析】（1）利用导函数的意义解释即可. （2）根据图像过，即可画出大致图象. 【详解】（1）因为的意义为在附近函数值的瞬时变化率，热红茶的温度随时间的增加而减小，故，的符号为负. （2）的实际意义表示在第三分钟附近红茶的温度约以每分钟速率下降.函数的图象过，，大致图象如下： 20. 已知数列满足，. （1）证明数列是等比数列，

18、并求数列的通项公式； （2）令，求数列前项和 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）将式子合理变形，即可化成，从而证明是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出的通项公式. （2）由数列的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n项和. 【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得：，则，又 故是以首项为2，公比为2的等比数列， 所以，故 （2）由（1）知 【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2

19、）等比中项法：证得即可. 21. 正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ . 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【详解】（1）因为数列前项和满足：， 所以当时，， 即 解得或， 因为数列都是正项， 所以， 因为， 所以， 解得或， 因为数列都是正项， 所以， 当时，有， 所以， 解得， 当时，，符合 所以数列的通项公式，; （2）因为， 所以 ， 所以数列的前项和为： ， 当时， 有， 所以， 所以对于任意，数列的前项和.

20、 22. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若对任意，成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值 （2）4 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值； （2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 由，得， 令，得；令，得， ∴的单调增区间是，单调减区间是， 故在处有极小值，无极大值； 【小问2详解】 由及，得恒成立， 令，则， 由，由， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 因此，所以m的最大值是4．