优化设计方法

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1、3.3最优化设计 最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法。在FIR DF的最优化设 计中，最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近(也称最大误差 最小化)准则两种。实际设计中，只有采用窗函数法中的矩形窗才能满足前一种 最优化准则，但由于吉布斯(Gibbs )效应的存在，使其根本不能满足设计的要求。 为了满足设计的要求，可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应，但此时的设计 已经不能满足该最优化准则了。因此，要完成FIR DF的最优化设计，只能采用 后一种优化准则来实现。 3.3.1等波纹切比雪夫逼近准则 在滤波器的设计中，通常情况下通带和阻带的误差要求是不一样的。等波纹 切比

2、雪夫逼近准则就是通过对通带和阻带使用不同的加权函数，实现在不同频 段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同，从而实现其最大误差在满足 性能指标的条件下达到最小值。 尽管窗函数法与频率采样法在FIR数滤波器的设计中有着广泛的应用，但 两者不是最优化的设计。通常线性相位滤波在不同的频带内逼近的最大容许误 差要求不同。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过通带和阻带使用不同的加权函数, 实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同，从而实现其 最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值，即使得H (ejw)和H(ejw)之间 d 的最大绝对误差最小。 等波纹切比雪夫逼近是采用加权逼

3、近误差E(ejw)，它可以表示为： E( e w )= W ( ej w) (H (er ) H (e w d (3-4) 其中，W(ejw)为逼近误差加权函数在误差要求高的频段上，可以取较大的 加权值，否则，应当取较小的加权值。 尽管按照FIR数字滤波器单位取样响应h(n)的对称性和N的奇、偶性， FIR数字滤波器可以分为4种类型，但滤波器的频率响应可以写成统一的形式： (3-5) 其中，ke{0 ,1} , H (3)为幅度函数，且是一个纯实数，表达式也可以写成 统一的形式： H (ejw )= Q @ P) 0() d (3-6) 其中，Q(o )为3的固定函数，

4、P(O)为M个余弦函数的线性组合。 3.3.2仿真函数 利用数字信号处理工具箱中的remezord和remez函数可以实现FIRDF的 最优化设计。在此先介绍这两个函数： n ,fo ,ao ‘weights =remezord f ,a ,dev 功能:利用remezord函数可以通过估算得到滤波器的近似阶数n，归一化频 率带边界fo,频带内幅值ao及各个频带内的加权系数weightso输入参数f为频 带边缘频率,a为各个频带所期望的幅度值,dev是各个频带允许的最大波动。 ⑵h 二remez(n ,fo ,ao ,weigh ts ‘，fty pe') 功能:利用remez函

5、数可以得到最优化设计的FIR DF的h(n)系数，输入参 数n是滤波器的阶数,fo ,ao ,weights参数含义说明同(1)。ftype是所设计的滤 波器类型，它除了可以设计普通的滤波器外，它还可以设计数字希尔钞特变换器 以及数字微分器。实际设计中，由于remezord函数可跑高估或低估滤波器的阶 数n，因此在得到滤波器的系数后，必须检查其阻带最小衰减是否满足设计要 求。如果此时的技术指标不能满足设计要求，则必须提高滤波器的阶数到n +1 ,n +2等。故等波纹切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器的步骤是： ①给出所需的频率响应H (ejw)，加权函数W(ejw)和滤波器的单位取样响应

6、d h(n)的长度No ② 由①中给定的参数来形成所需的W(o )、H (o )和P(①)的表达式。 d ③ 根据Remez算法，求解逼近问题。 ④利用傅立叶逆变换计算出单位取样响应h(n)。 用最优化设计法设计一个滤波器： 例1: 设计一个最小阶数的低通滤波器，采样频率fs=2000 Hz,通带截止 频率为500Hz,阻带的截至频率为600Hz,阻带最小衰减为40dB,通带的最大衰减 为 3dB。 在设计之前应先确定用说明方法设计，本例可选择等波纹的最优化设计法。 程序如下： fs=2000; %采样频率 rp=3; %通带波纹 rs=40; %阻带波纹 f=[500

7、 600]; %截止频率 a=[1 0]; %期望的幅度 dev二[(10"(rp/20)T)/(10"(rp/20)+l) 10"(-rs/20)]; [n,fo,ao,w]二remezord(f,a,dev,fs); b二remez(n,fo,ao,w); %调用最优设计法中remez函数 freqz(b,1,1024,fs) 20 o 00 100 200 300 700 800 900 1000 程序运行后，计算机输出该滤波器的幅频及相频响应特性，如图1所示。 View Insert Tools Hesktop Window Help 昌 甥® ^ | □ 10

8、 | H Q -20-40 -60 -80 mp) Hpn-E^IAI o00 -2 100 Jo J jrl -6 jo 七 (sacv」?p) asccLId 400 500 600 Frequency (Hz) 图1 滤波器输出的幅频及相频响应特性 上图中幅频特性曲线从500Hz开始向下折，这是因为题设中通带截止频率为 500Hz，同样图中幅频曲线在600Hz降为最低，是因为题设中阻带的截至频率为 600Hz。 最优化设计 Eile Edit Jli ew Ins er t lools Ilesk top Window Help □ qTs□

9、 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Frequency (Hz) J Figure 1 mp)-gn-Fbew 60 0 -100 图5 滤波器输出的幅频及相频响应特性 (SCD⑴」H-g)Il'sITiLId -50 结果分析： 在设计中，如果该滤波器的特性不满足要求，那么，原有参数必须作适当调 整。这在程序中很容易实现，只需对参数进行重新设定，就可以得到新条件下滤 波器的特性。采用最优化设计方法时大大减小了滤波器的阶数，从而减小了滤波 器的体积,并最终降低了滤波器的成本。这样使得设计出来的滤波器更为简单经 济。因而

10、在实际的滤波器设计中，这种最优化方法是完全可行的。在实际应用中， 如果需要对某一信号源进行特定的滤波，并要检验滤波效果，应用传统方法实施 起来比较繁琐。在Matlab环境下，可先用软件模拟产生信号源，再设计滤波器对其 进行滤波。 同样是设计一个FIR低通数字滤波器，综合分析可以看出： （1） 窗函数法在阶数较低时，阻带特性不满足设计要求，只有当滤波器阶数 较高时，使用海明窗和凯塞窗基本可以达到阻带衰耗要求； （2） 频率采样法偏离设计指标最明显，阻带衰减最小，而且设计比采用窗函 数法复杂。只有适当选取过渡带样点值，才会取得较好的衰耗特性； （3） 利用等波纹切比雪夫逼近法则的设计可以获

11、得最佳的频率特性和衰耗特 性，具有通带和阻带平坦，过渡带窄等优点。 最优化设计实现程序 fs =2000; rp =3; rs =40; f = [500 600]; a = [1 0]; 综上所述，FIR滤波器很容易实现具有严格线性相位的系统，使信号经过 处理后不产生相位失真，舍入误差小，而且稳定，因此越来越受到广泛的重视。 MATLAB软件的诞生，使数字信号处理系统的分析与设计得简单，它已经成为电 子工程师必备的一个工具软件。 %米样频率 %通带波纹 %阻带波纹 %截止频率 %期望的幅度 dev= [(10人(rp/20) - 1)/ (10人(rp/20) + 1) 10人(-rs/20)]; [n，fo，ao，w] = remezord(f，a，dev，fs); b = remez(n，fo，ao，w) ; %调用最优设计法中remez函 freqz(b，1，1024，fs);