2021年北京市海淀区高考数学三模试卷【含答案】

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1、2021年北京市海淀区高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（4分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{6} B．{1，6} C．{2，3} D．{1，4，5，6} 【分析】由并集运算求得A∪B，再由补集运算得答案． 【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}， ∴A∪B＝{1，2，3，4，5}， 又U＝{1，2，3，4，5，6}， ∴∁U（A∪B）＝{6}． 故选：A． 【点评

2、】本题考查并集、补集及其运算，是基础题． 2．（4分）若z为纯虚数，且满足（z+m）i＝2﹣i（m∈R），则m＝（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出m的值． 【解答】解：∵（z+m）i＝2﹣i（m∈R）， ∴z＝﹣m＝﹣1﹣m﹣2i， ∵z为纯虚数， ∴﹣1﹣m＝0⇒m＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（4分）若b＜a＜0，则下列不等式正确的是（　　） A． B．ab＜a2 C．|a|＞|b| D． 【分析】可举例，令b＝﹣2、a＝﹣

3、1，可判断ABC；利用基本不等式可判断D． 【解答】解：根据题意可令b＝﹣2、a＝﹣1， 则＜，ab＞a2，|a|＜|b|，∴ABC 错； ∵b＜a＜0，∴，＞0且， ∴+＞2＝2，∴D对． 故选：D． 【点评】本题考查不等式基本性质，考查数学运算能力及推理能力． 4．（4分）若函数f（x）＝lg（x+a）的图象经过抛物线y2＝8x的焦点，则a＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【分析】求得抛物线的焦点坐标，代入函数f（x）＝lg（x+a）即可． 【解答】解：抛物线的焦点为（2，0），则f（2）＝lg（2+a）＝0，解得a＝﹣1 故选：C． 【点评】本题考查

4、了抛物线的性质，属于基础题． 5．（4分）已知双曲线的焦距为10，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则双曲线的渐近线方程可求． 【解答】解：由题意，2c＝10，得c＝5， 又由双曲线方程可得a＝4，则b＝， ∴双曲线C的渐近线方程为y＝． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题． 6．（4分）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m⊂α，则m⊥β B．若m⊂α，n⊂β，则m⊥n C．若m⊄α，m⊥β，则m∥α D．若α

5、∩β＝m，n⊥m，则n⊥α 【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质和判定定理进行判断或举反例说明． 【解答】解：不妨设α∩β＝l， 对于A，若m⊂α且m∥l，则m∥β，故A错误； 对于B，若m，n与l相交且不垂直，交点分别为M，N，显然m与n不一定垂直，故B错误； 对于C，若m⊥β，则m⊂α或m∥α，又m⊄α，故m∥α，故C正确； 对于D，由面面垂直的性质可知当n⊂β时才有n⊥α，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题． 7．（4分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，点P在直线y＝x+3上，线段AB为圆C的直径，则的最小值

6、为（　　） A． B． C． D．3 【分析】将转化为，再由圆心到直线的距离求解． 【解答】解：∵线段AB为圆C的直径，∴C为AB的中点， 则＝， 从而||＝， ||的最小值为圆心C到直线y＝x+3的距离， 等于． ∴的最小值为2×． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量的应用，考查运算求解能力，是中档题． 8．（4分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若∀n∈N*，Sn≤S7，则数列{an}的通项公式可能是（　　） A．an＝3n﹣15 B．an＝17﹣3n C．an＝n﹣7 D．an＝15﹣2n 【分析】由题意得,然后结合选项即可判断．

7、【解答】解：因为∀n∈N*，Sn≤S7， 所以, A:an＝3n﹣15,a8＞0不符合题意； B：an＝17﹣3n,a7＜0不符合题意； C:an＝n﹣7,a8＞0不符合题意； D:an＝15﹣2n,a8＜0,a7＞0符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题． 9．（4分）“0＜m≤1”是函数f（x）＝满足：对任意的x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据分段函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：∵当0＜m

8、≤1时，g（x）＝﹣1在（1，+∞）上递减， h（x）＝﹣x+1在（﹣∞，1]递减，且g（1）≤h（1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上递减， ∴任意x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”∴充分性成立； 若m＜0，g（x）在（1，+∞）上递增，h（x）在（﹣∞，1]上递减，g（x）＜0，h（x）≥0， ∴任意x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”，必要性不成立， ∴0＜m≤1”是函数f（x）＝满足：对任意的x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及分段函数的性质是解决本题

9、的关键． 10．（4分）已知函数f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中所有正确结论的编号为（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【分析】根据题意，依次分析4个结论是否正确，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个结论： 对于①，因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sinx﹣sin（πx）＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数，①正确． 对于②，假设存在周期T， 则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sinx+sinπ

10、x， sin（x+T）﹣sinx＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]， 所以sin•cos＝﹣sin•cos①， 存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0， 将x0∈R，﹣sin•cos＝0， 由于cos≠0， 故﹣sin＝0， 所以sin＝0，sin＝0， ＝kπ，＝mπ，k，m∈Z， 所以kπ＝m，矛盾， 所以函数f（x）＝sinx+sin（πx），没有周期，②错误． 对于③，f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sincos， 函数的零点为方程2sincos＝0， x＝或x＝x∈（0，π） x＝，，，所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．

11、 对于④，f（x）＝sinx+sin（πx）， 若sinx＝1，则x＝2kπ+，k∈Z， 若sin（πx）＝1，则x＝2k+，k∈Z， x＝2kπ+，k∈Z和x＝2k+，k∈Z两者不会同时成立， 即y＝sinx和y＝sin（πx）不可能同时成立，故f（x）的最大值不是2，④错误； 则四个命题中正确的为①③； 故选：A． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及命题真假的判断，属于中档题． 二、填空题共5小题，每小题5分，共30分。 11．（5分）已知直线l1：mx+y+1＝0，l2：mx﹣y+1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝　±1　． 【分析】利用向量垂直的性质直接求解

12、． 【解答】解：∵直线l1：mx+y+1＝0，l2：mx﹣y+1＝0，m∈R， l1⊥l2， ∴m2﹣1＝0， 解得m＝±1． 故答案为：±1． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 12．（5分）二项式（x2+）6展开式中含x3项的系数为　540　． 【分析】求出展开式的通项公式．令x的指数为3，进而可以求解． 【解答】解：展开式的通项公式为T＝C， 令12﹣3r＝3，解得r＝3， 则展开式中含x3项的系数为C＝20×27＝540， 故答案为：540． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的

13、运算能力，属于基础题． 13．（5分）《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为　8　． 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，其中底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥CD，BC＝4，CD＝3，AB⊥底面BCD，AB＝4，再由棱锥体积公式求解． 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 其中底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥CD，BC＝4，CD＝3， AB⊥底面BCD，AB＝4， 则该“鳖臑”的体积为V＝ 故答案为：8． 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档

14、题． 14．（5分）如图，以Ox为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P（x1，y1），将角α的终边顺时针旋转得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q（x2，y2），则x2﹣x1的取值范围为　（，1]　． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得x2﹣x1＝sin（α﹣），再利用正弦函数的定义域和值域，求出x2﹣x1的取值范围． 【解答】解：由已知得， ∴＝， ∵，∴，∴， ∴x2﹣x1的取值范围为， 故答案为：（，1]． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 15．（5分）如图所示

15、的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的哲学理念．定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题正确的是 　①④　． ①函数f（x）＝tanx可以同时是无数个圆的“太极函数”； ②函数f（x）＝ln（|x|）可以是某个圆的“太极函数”； ③若函数f（x）是某个圆的“太极函数”，则函数f（x）的图象一定是中心对称图形； ④对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个． 【分析】根据所给定义，对各项逐个分析判断，即可得解． 【解答】解：对于①，以f（x）＝tanx的零点为圆心，半径小于的圆， 周长和面积都被f（x

16、）＝tanx平分，故①正确； 对于②，由f（x）＝ln（|x|）为偶函数，如图所示： 由于其图像向上凸起，故而不可能平分圆的周长，故②错误； 对于③，取圆x2+y2＝4π2，被函数平分 周长和面积，而g（x）非对称，故③错误； 对于④，对于任意一个圆，过圆心的直线平分周长和面积，故④正确； 故答案为：①④ 【点评】本题考查了三角函数，对数函数的图像和性质，考查了在分段函数的图像和性质． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1＝1，AB＝BC＝2，∠

17、ABC＝120°，AM＝CM． （Ⅰ）求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB； （Ⅱ）求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理可得MB⊥平面AA1C1C，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （Ⅱ）设A1到平面MBC1的距离为h，由等积法和棱锥的体积公式，以及直线和平面所成角的定义和直角三角形的正弦函数的定义，可得所求值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，AB＝BC，M为BC的中点，可得MB⊥AC， 又AA1⊥平面ABC，BM⊂平面ABC， 可得AA1⊥BM， 而AA1∩AC＝A，所以MB⊥平面AA1C1C， 又B

18、M⊂平面BMC1， 所以平面AA1C1C⊥平面C1MB； （Ⅱ）设A1到平面MBC1的距离为h，连接A1M， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，可得BM＝2cos60°＝1，CM＝2sin60°＝， C1M＝＝2，可得△C1BM的面积为×1×2＝1， △A1C1M的面积为S＝×1×2＝， 由V＝V，可得Sh＝S•BM， 即为h•1＝×1×， 可得h＝， 则直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值为＝＝． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理和直线和平面所成角的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 17．（14分）在△ABC中，cosC＝，c＝8，再从条件①、条件

19、②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）b的值； （Ⅱ）角A的大小和△ABC的面积． 条件①：a＝7； 条件②：cosB＝． 【分析】选条件①：（Ⅰ）利用余弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果； 选条件②时，（Ⅰ）利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；（Ⅱ）利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果． 【解答】解：选条件①： （Ⅰ）a＝7时，cosC＝，c＝8， 利用c2＝a2+b2﹣2abcosC， 整理得b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或﹣3（负值舍去）， 故：b＝5． （Ⅱ）由于cosC＝，

20、0＜C＜π， 所以sinC＝， 利用正弦定理，所以，解得sinA＝， 由于c＞a，所以A＝， 则． 选条件②时， （Ⅰ）cosB＝，所以， cosC＝，所以sinC＝， 由正弦定理，整理得，解得b＝5， （Ⅱ）cosB＝，所以， cosC＝，所以sinC＝， 所以cosA＝﹣cos（B+C）＝＝， 由于A∈（0，π）， 所以A＝． 所以． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 18．（14分）某超市从2020年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随

21、机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立， （Ⅰ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （Ⅱ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于40箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望； （Ⅲ）记甲种酸奶与乙种酸奶口销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小（只需写出结论）． 【分析】（Ⅰ）根据频率和为1可计算a值，再由独立事件概率求法即可得解； （

22、Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望； （Ⅲ）由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此能比s12，s22的大小． 【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.02+0.01+0.03+a+0.025）×10＝1，解得a＝0.015， 甲种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.015+0.025）×10＝0.7， 乙种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.025+0.015）×10＝0.7， 甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率为：0.7×0.3+0.3×0.7＝0.42． （Ⅱ）甲种酸奶的

23、日销售量不高于40箱的概率为：1﹣0.025×10＝0.75＝， 由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝C30×（）0×（）3＝， P（X＝1）＝C31×（）1×（）2＝， P（X＝2）＝C32×（）2×（）1＝， P（X＝3）＝C33×（）3×（）0＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望EX＝0×+1×+2×+3×＝． （Ⅲ）s12＞s22． 【点评】本题考查频率分布直方图，离散型随机变量期望的求法，独立事件概率的求法，考查计算能力，属于中档题． 19．（15分）已知函数． （Ⅰ）求曲线y＝f（x

24、）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求y＝f（x）的单调区间和极值； （Ⅲ）直接写出不等式的解集． 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率f'（1）＝0，f（1）＝1，利用点斜式即可得解； （Ⅱ）先求导函数，再求二阶导函数，利用导函数的性质，即可得到原函数的单调性和极值； （Ⅲ）f（x）min＝f（1）＝1，直接可得的解集为{1}． 【解答】解：（Ⅰ）由， 得，∴f'（1）＝3﹣6+6﹣3＝0， 又f（1）＝1﹣3+3＝1， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝1； （Ⅱ）∵（x＞0）， ， ∴f′（x）为增函数，且f'（1）＝3﹣6+6

25、﹣3＝0， ∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当（1，+∞）时，f'（x）＞0， 得f（x）递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）， 极小值为f（1）＝1﹣3+0+3＝1； （Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）min＝f（1）＝1， ∴的解集为{1}． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，有一定的计算量，属于中档题． 20．（14分）已知椭圆的两焦点F1，F2分别为（±1，0），椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）若直线l：x＝6与AM交于点

26、P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，求证：B，S，P，H四点共圆． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a的值，结合c的值，即可求出b的值，从而得到椭圆的标准方程，利用离心率的定义即可求出椭圆的离心率； （Ⅱ）设点点M（x0，y0），由两点间斜率公式结合点M在椭圆上，计算kAM•kBM为定值，设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k≠0），求出点P的坐标，从而求出直线OP的斜率，得到OP⊥BM，从而可得∠BHP＝90°，即可证明B，S，P，H四点共圆． 【解答】（Ⅰ）解：由椭圆的定义可知，2a＝|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|＝4c＝4， 所以a＝2，c＝1，b＝， 故椭圆的

27、方程为； 椭圆的离心率为＝； （Ⅱ）证明：设点M（x0，y0），则， 又， 所以＝， 设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k≠0）， 联立方程组，解得， 所以P（6，8k），故， 又， 所以kOP•kBM＝﹣1，故∠BSP＝90°， 所以∠BHP＝90°，故B，S，P，H四点共圆． 【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题． 21．（14分）已知函数f（x）＝x2+m，其中m∈R，定义数列{an}如下：a1＝0，an+1＝

28、f（an），n∈N*． （Ⅰ）当m＝1时，求a2，a3，a4的值： （Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求证：当时，总能找到k∈N*，使得ak＞2021． 【分析】（Ⅰ）利用题中给出的f（x）的解析式，以及an+1＝f（an），依次赋值求解即可； （Ⅱ）利用a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，得到a3+a2﹣1＝0，代入后可得关于m的方程，求解m的值并验证即可； （Ⅲ）利用an+1＝f（an），得到an+1﹣an≥，令＞0，然后利用叠加法求出an≥(n﹣1)t，取正整数k＞，即可证明不等式．

29、 【解答】（Ⅰ）解：因为m＝1，故f（x）＝x2+1， 又a1＝0，an+1＝f（an）， 所以a2＝f（a1）＝f（0）＝1， a3＝f（a2）＝f（1）＝2， a4＝f（a3）＝f（2）＝5； （Ⅱ）解：因为a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列， 所以a3﹣a2＝a4﹣a3，即， 所以， 则（a3﹣a2）(a3+a2﹣1)＝0， 因为公差d≠0，故a3﹣a2≠0， 所以a3+a2﹣1＝0， 因为a2＝f（a1）＝f（0）＝m，a3＝f（a2）＝m2+m， 故(m2+m)+m﹣1＝0,解得， 经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0， 所以存在，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列； （Ⅲ）证明：因为≥， 又，所以令＞0， 因为an﹣an﹣1≥t，an﹣1﹣an﹣2≥t，···,a2﹣a1≥t， 将上述不等式全部相加可得，an﹣a1≥(n﹣1)t，即an≥(n﹣1)t， 因此要使得ak＞2021，只需（k﹣1）t＞2021， 故只要取正整数k＞，就有， 综上所述，当时，总能找到k∈N*，使得ak＞2021． 【点评】本题考查了数列与函数、数列与不等式的综合应用，解题的关键是运用方程的思想，通过建立方程求解m，运用同向不等式的可加性，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．