2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】

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1、2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{3} 【分析】利用集合交集的定义求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}， 所以A∩B＝{1，2，3}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于

2、基础题． 2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值． 【解答】解：∵的实部与虚部相等， ∴b＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝1，S9＝18，则a1＝（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果． 【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5， ∴a5＝2， 又a3＝1， ∴由等差数列的性质

3、可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2， ∴a1＝0， 故选：A． 【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题． 4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（　　） A． B． C． D． 【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为， 可得弦心距为：＝1， 所以：，解得k＝． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近

4、线方程为（　　） A． B． C． D．y＝±2x 【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程． 【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2， 其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x， 又由其离心率e＝＝2，则c＝2a， 则b＝＝a，即＝， 则其渐近线方程y＝±x； 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题． 6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用余弦定理的

5、应用求出结果． 【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0， 所以， 由于B∈（0，π）， 所以B＝． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果． 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD； 如图所示： 所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，

6、故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 8．（4分）在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论． 解法二：tanAtanB＜1⇔1﹣＞0⇔cosAcosBcosC＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论． 【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tanC＝﹣

7、tan（A+B）＝﹣＜0，解得tanAtanB＜1． 若A或B为钝角，则tanAtanB＜1成立． （2）若tanAtanB＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形． 假设A，都B为锐角，tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形． 综上可得：在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件． 解法二：tanAtanB＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔cosAcosBcosC＜0⇔△ABC为钝角三角形． ∴在△ABC中，“tanAtanB＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查了分类讨论、

8、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（　　） A．8 B． C． D．6 【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝5，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），由对称性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案． 【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）

9、由抛物线的方程可得焦点F（1，0）， 则|AF|＝a+1＝5，解得a＝4， 所以A（4，4）， 所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4）， 故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2， 当且仅当A′，P，O三点共线时，等号成立， 即|PA|+|PO|的最小值为2． 故选：B． 【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题． 10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直．当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得

10、的截面面积的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可． 【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值； 当P与C1重合时，DC1⊥平面A1D1CB， 平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值 当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动， 当P到BC1的中点时，取得最小值，如图 此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面

11、ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF）， A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四边形A1ECF是菱形， 所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：＝． 故选：C． 【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为　28　．（用数字作答） 【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解． 【解答】解：展开式的通项为

12、T， 令8﹣2r＝4，解得r＝2， 所以x4的系数为C， 故答案为：28． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 12．（5分）已知函数则f（0）＝　1　；f（x）的值域为 　（﹣∞，2）　． 【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可． 【解答】解：f（0）＝20＝1， 当x＜1时，0＜2x＜2，此时0＜f（x）＜2， 当x≥1时，log2x≥0，则﹣log2x≤0，即此时f（x）≤0， 综上f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣∞，2）， 故答案为：1，（﹣∞，2）． 【点评

13、】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题． 13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，则向量的坐标可以是 　（，）　．（写出一个即可） 【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果． 【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）． 故答案为：（，）． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题． 14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品

14、获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入　3　万元． 【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），利用导数求最值得答案． 【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元， ∴售出m万件A商品的总获利为： 8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣， 设f（x）＝24﹣（x≥0）， 则f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0， 即＞0（x≥0）， 解得0≤x＜3， ∴当0≤x＜3时

15、，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，3）单调递增， 当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减， 则当x＝3时，函数f（x）取得极大值，即最大值， ∴要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元． 故答案为3． 【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题． 15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f（x）是定义在R上的函数，对于x0∈R，令xn＝f（xn﹣1）（n＝1

16、，2，3，…），若存在正整数k使得xk＝x0，且当0＜j＜k时，xj≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论： ①若f（x）＝ex﹣1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点； ②若f（x）＝2（1﹣x），则f（x）存在周期为2的周期点； ③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点； ④若f（x）＝x（1﹣x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点． 其中所有正确结论的序号是　①④　． 【分析】由周期点的定义，可得直线y＝x与y＝f（x）存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论． 【解答】解：对于x0∈R，令xn

17、＝f（xn﹣1）（n＝1，2，3，…）， 若存在正整数k使得xk＝x0，且当0＜j＜k时，xj≠x0， 则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点． 对于①f（x）＝ex﹣1，当k＝1时，x1＝f（x0）＝ex0﹣1， 因为直线y＝x与y＝f（x）只有一个交点（1，1），故①正确； 对于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2时，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2， 由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，xn＝，不满足当0＜j＜k时，xj≠x0， 所以f（x）不存在周期为2的周期点，故②不正确； 对于③，当，，，满足题意， 故存在周期为3的周期点，故③

18、错误， 对于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜， 所以不是周期点，故④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定： ①最小正周期为π；②最大值为2；③；④f（0）＝﹣2． （Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）＝Asinφ＝﹣

19、2，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件③，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式． （Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝Asinφ＝﹣2， 这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件④， 所以函数f（x）只能满足条件①，②，③， 由条件①，可得＝π， 又因为ω＞0，可得ω＝2， 由条件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ） 由条件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0， ∴sin（﹣+φ）

20、＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z， ∴φ＝+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝， 所以f（x）＝2sin（2x+）． （Ⅱ） 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， ∴﹣+kπ≤x≤+kπ， ∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）． 【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题． 17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2． （Ⅰ）求证：AB∥平面POC； （Ⅱ）求二面角B

21、﹣AP﹣D的余弦值． 【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，， O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO， 所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC， 又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC， 所以AB∥平面POC； （Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD， 又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD， 因

22、为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD， 所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD， 建立空间直角坐标系如图所示， 则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， 所以， 设平面BAP的法向量为， 则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故， 因为OB⊥平面PAD， 所以是平面PAD的一个法向量， 所以＝， 由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角， 所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为． 【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向

23、量问题进行研究，属于中档题． 18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表： A地区 B地区 2019年人均年纯收入超过10000元 100户 150户 2019年人均年纯收入未超过10000元 200户 50户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立． （Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率； （Ⅱ）

24、在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由． 【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可； （Ⅱ）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可； （Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可． 【解答】解：（Ⅰ）设事件C：从

25、A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元， 从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户， 因此P（C）可以估计为＝； （Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元， 设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元， 由题意可知，X的可能取值为0，1，2， ＝， ＝＝， ＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为E（X）＝＝；

26、 （Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户， 这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”， 假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化， 则由2019年的样本数据可得0.012． 答案示例1：可以认为有变化，理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所

27、以无法确定有没有变化． 【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题． 19．（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标； （Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线M

28、A的方程，由题意可得直线OP的方程，与y＝3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y＝3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积＝0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标． 【解答】解（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2， 解得a2＝3， 所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）； （Ⅱ） 设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0） 则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx， 因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3）， 因为直线AM的方程与椭圆方程+y2＝1联立： ，整理可

29、得：（1+3k2）x2+6kx＝0， 可得xM＝﹣，yM＝+1＝， 即M（﹣，），因为B（0，﹣1）， 直线MB的方程为：y＝﹣﹣1， 联立，解得：y＝3，x＝﹣12k， 由题意可得Q（﹣12k，3）， 设T（x0，y0）， 所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3）， 由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0， 所以（x0﹣，y0﹣3）•（x0+12k，y0﹣3）＝0， 可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①， 要使①成立， ，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9， 所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）． 【

30、点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题． 20．（15分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）ex（a∈R）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（﹣1，）． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a＝，结合y＝的单调性证明结论成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）ex，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a， 当a＝0时，f′（x）＝﹣ex＜0，y＝f（x）在R单

31、调递减， 当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下： x （﹣∞，） （，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 递减 极小值 递增 当a＜0时，x，f′（x），f（x）的变化如下： x （﹣∞，） （，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x） 递增 极大值 递减 综上：当a＝0时，y＝f（x）在R单调递减， 当a＞0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）， 当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）； （Ⅱ）证明：由题意得f′（x）＝（ax+a﹣1）ex，

32、 设直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0）， 则， 由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0， 若a＝0，则f（x）＝﹣ex，ax+a＝0， 直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意， 所以a≠0，所以+x0＝0，③， 令φ（x）＝ex+x，则φ′（x）＝ex+1＞0，故φ（x）单调递增， ∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0， 故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0， 将③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0， 故a＝＝， 易知在（﹣1，﹣）内y＝x++1单调递减，且x++1＜0， 故y＝在（﹣1，﹣）内单调递增， ∵x0∈（﹣1

33、，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）． 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题． 21．（15分）设数列Am：a1，a2，…，am（m≥2），若存在公比为q的等比数列Bm+1：b1，b2，…，bm+1，使得bk＜ak＜bk+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列Bm+1为数列Am的“等比分割数列”． （Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5； （Ⅱ）若数列A10的通项公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围； （Ⅲ）若数

34、列Am的通项公式为an＝n2（n＝1，2，…，m），且数列Am存在“等比分割数列”，求m的最大值． 【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解； （Ⅱ）根据定义可得qn﹣1＜2n＜qn（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且qn﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将qn﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围； （Ⅲ）设Bm+1是数列Am的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1qn﹣1＜n2＜b1qn（n＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.

35、99，q＝2.09，满足定义，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列” B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一） （Ⅱ）由题意可得，qn﹣1＜2n＜qn（n＝1，2，3，…，10）， 所以q＞2，且qn﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10）， 当n＝1时，1＜2成立； 当n＝2，3，…，10时，应有q＜成立， 因为y＝2x在R上单调递增，所以＝随着n的增大而减小，故q＜， 综上，q的取值范围是（2，）． （Ⅲ）设Bm+1是数列Am的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q， 由题意，应有b1qn﹣1＜n2＜b1qn（n＝

36、1，2，…，m），显然b1＞0，q＞0， 设m≥6，此时有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…． 所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2， 又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5， 又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09， 可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095， 所以m＝5时成立， 综上，m的最大值为5． 【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．