高等数学——极限课件.ppt

《高等数学——极限课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学——极限课件.ppt（71页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、若数列 nx及常数 a 有下列关系 :,0 ,N正 数当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 : a aa )( axa n )( Nn即),( axn )( Nnaxnn lim或)( naxn 1Nx 2Nx axn则称该数列 nx的极限为 a ,1.3.1 数 列 的 极 限 邻域。且是两个实数与设0, a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径 ),( axxaU的称为点数集aaxx ,邻域 ),( aU记作),( axaxaU ) ,( aa xa a a A nNA Anx n目 的 ： AxA NnN Ax nnn ,0lim 时 ， 有使

2、得自 然 数 要 找 到 一 个 NA AA 越 来 越 小 ， N越 来 越 大 ！nx n ,1,43,32,21 nn 1 nnxn )(1 n ,)1(,43,34,21,2 1nn n nnx nn 1)1( )(1 n ,2,8,4,2 n nnx 2 )( n ,)1(,1,1,1 1 n 1)1( nnx趋势不定收 敛发 散 1 nxn 1 n210 310 410 510 610 710 810 910 1010 1110nxO 1 n210 310 410 510 610 710 810 910 1010 1110nxO nxn 11 n nx O n nx O nxn n

3、x nnx )1( nO 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4n11 目 标 不 惟 一 ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ 一、自变量趋于有限值时函数的极限,)(xfy 对 0)1( xx 0)2( xx 0)3( xx x)4( x)5( x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容 :1.3.2 函 数 的 极 限 x x 这 个 运 动 表 明 ：当 x沿 直 线 趋 于 正 无 穷大 时 ， 圆 周 上 对 应 的

4、点按 逆 时 针 方 向 趋 于 顶 点这 个 运 动 表 明 ：当 x沿 直 线 趋 于 正 无 穷大 时 ， 圆 周 上 对 应 的 点按 顺 时 针 方 向 趋 于 顶 点演 示 表 明 ： 在 直 线 上 无 论 x是 趋 于 ， 还 是 趋 于 ， 反 映 在 圆 周 上 显 示的 是 ， 点 沿 着 圆 周 分 别 按 逆 时 针 和 顺 时 针 都 趋 于 一 个 共 同 的 点 顶 点 ！ |x xx xxx xx | 记 为 Axf Axf Axfxxx )(lim )(lim )(lim 且因 此 ， 我 们 得 到无 穷 远 处 函 数 极限 的 关 系 如 右 ：x |

5、x0 1. 0 xx时函数极限的定义引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值: ;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 ,要求 Ax2确定直接观测值精度 : 0 xx 0 xAx )(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0 ,0当 00 xx时, 有 Axf )(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx时的极限,Axfxx )(lim0或)()( 0 xxAxf 当即,0 ,0当),( 0 xx 时, 有若记作 Axf )(Axfxx )(lim0几何解释: 0 x0 xA A A x0 xy )(xfy 极限存在函数局部有界这表明: xO y 0 x )(xfy AA A

6、0 x 0 x 目 的 ： 对 任 意 的 0, 要 找 0， 使 得0|x-x0| 时 ， 有|f(x)-A|.即 A f(x) A.哈 哈 , 找 到 了 ! xO y 0 x )(xfy A1A 1A 0 x 0 x 1 1 目 的 ： 对 任 意 的 0, 要 找 0， 使 得0|x-x0|时 ， 有|f(x)-A|.即 A f(x) A.哈 哈 , 找 到 了 ! 0,1 0,0 0,1)( xx xxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo 11 xy 1 1 xy解:因为)(lim0 xfx )1(lim0 xx 1)(lim0 xfx )1(lim0 xx 1显然

7、,)0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 . 思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在, )()(lim 00 xfxfxx 2. 设函数)(xf且)(lim1 xfx存在, 则. a 3是否一定有1,12 1,2 xx xxa？ 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如, 函数),(,cos)( xxxxf )2( nf )( n当n2但0)(2 nf所以x时 , )(xf不是无穷大 ! o xy xxy cos 若)(xf为无穷大, )(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)( xf则)(1xf

8、为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明: 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如， 2 2 21 2limn nn n n 12 有限个无穷小之差仍为无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . oy x.sinlim xxx 解: 1sin x 01lim xx利用定理 2 可知.0sinlim xxx xxy sin说明 : y = 0 是xxy sin的渐近线 . 第一章 ,0时x xxx sin,3 2都是无穷小,

9、引例 . xxx 3lim 20 ,0 20sinlim x xx , xxx 3sinlim0 ,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无 穷 小 的 比 较 ,0lim Ck ,0lim 若则称 是比 高阶的无穷小, )( o,lim 若若若,1lim 若 ,0lim C或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作 )(o 0 x时3x 26x xsin; x xtan; xxarcsin x20 cos1lim x xx 220 sin2lim xx又如 ，22)(4 x

10、 21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1 221 x且 0 x时, 11 n xxn1证: lim0 x 11 n xxn10lim x 11 nn xxn1 11 nn x 21 nn x 11 ,0时当 x 11 n xxn1 nn ba )( ba 1( na ban 2 )1 nb 0lim ,0, ,)0(C ,1 ,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小 ,)(lim,)(lim BxgAxf 则有 )()(lim xgxf )(

11、lim)(lim xgxf BA定理 1 . （1）若 ,)(lim,)(lim BxgAxf 则有)()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf说明: 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 . )(lim)(lim xfCxfC ( C 为常数 )推论 2 . nn xfxf )(lim)(lim ( n 为正整数 )BA ,)(lim,)(lim BxgAxf 且 B0 , 则有)( )(lim xg xf )(lim )(lim xg xf BA ,)(lim,)(lim BxgAxf 则有 )()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf 证: 因,)(lim,)

12、(lim BxgAxf 则有 BxgAxf )(,)(其中 ,为无穷小) 于是)()()()( BAxgxf )()( BA由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 1 . （1）若说明: 可推广到有限个函数相加、减的情形 . ,)(lim,)(lim BxgAxf 则有)()(lim xgxf )(lim)(lim xgxf说明: 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 . )(lim)(lim xfCxfC ( C 为常数 )推论 2 . nn xfxf )(lim)(lim ( n 为正整数 )BA 为无穷小(详 见 P44)B2B1 )

13、(1xg )( 0 xx ,)(lim,)(lim BxgAxf 且 B0 , 则有)( )(lim xg xf )(lim )(lim xg xf证: 因,)(lim,)(lim BxgAxf 有,)(,)( BxgAxf其中 ,设BAxg xf )( )( BABA )( 1 BB )( AB 无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxg xf )( )(lim (lim )(lim xg xf BAxg xf )( )(为无穷小, 例 1 21 21 1lim( 3 7)lim lim3 7x x xx xx x 7lim3)lim( 121 xx xx 11731 这 是

14、因 为 分 子 、 分 母 都 包 含 着 在 x =2时 为 零 的 因 子 x 2 。 此 时 为 求 极 限 应 设 法 先 消 去 零 因 子 ， 然 后 求极 限 。解 原 式 = 31)1( )1(lim)2)(1( )2)(1(lim 22 xxxx xx xx例 2 求 223lim 222 xx xxx注 此 题 中 若 将 x =2代 入 分 子 、 分 母 ， 则 得 到无 意 义 的 式 子 ， 00 例 3 )1311(lim 31 xxx 解 当 时 ， ， 的 分 母 都 趋 于 零 ， 原式 出 现 “ ” 的 形 式 ， 两 项 均 不存 在 极 限 ， 故

15、不 能 直 接 使 用 极 限 运 算 法 则 ， 此 时 需 先 通 分 ，变 换 一 下 形 式 。 11x 133 x)1311()( 3 xxxf 1x 原 式 = 1 )1(lim 321 x xxx 1)1( 2lim 21 xx xx )1)(1( )2)(1(lim 21 xxx xxx （ 消 去 零 因 子 ） 解 原 式 = )11( )11)(11(lim0 xx xxx 解 当 时 ， 分 母 极 限 为 0， 不 能 直 接 使 用极 限 运 算 法 则 ， 若 将 分 子 有 理 化0 x )11(lim0 xx xx 111lim0 xx 21例 4 求 xxx

16、 11lim0 .45 32lim 21 xx xx解: x = 1 时32 45lim 21 x xxx 0312 41512 45 32lim 21 xx xx分母 = 0 , 分子0 ,但因 .125 934lim 22 xx xxx解: x时, ,分子.2211 1125 934lim xx xxx 分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头”原式 为非负常数 )nmba ,0( 00 mn当 mmmx axaxa 110lim nnn bxbxb 110 ,00ba ,0 , mn当 mn当 .)1(lim 2 xxxx 解 原式 = xx xx 1lim 2 111 1lim 2 x

17、x 21 定理. 设,)(lim0 axxx 且 x 满足100 xx时,)( ax 又,)(lim Aufau 则有 )(lim0 xfxx Aufau )(lim 说明: 若定理中,)(lim0 xxx 则类似可得 )(lim0 xfxx Aufu )(lim 解: 令.93lim 23 xxx 932 xxu已知 ux 3lim 61 原式 = uu 61lim 6166 1. ,)(lim,)(lim 不 存 在存 在若 xgxf )()(lim xgxf 是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 .否则由)()()()( xfxgxfxg 利用极限四则运算法则可知)(lim xg存在 ,

18、与已知条件矛盾. ?321lim 2222 nnnnnn 解:原式22 )1(lim nnnn )11(21lim nn 212.问 ,),( 0 时当 xx Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 ,)()( xhxg )(xfAxfxx )(lim0 )0( Xx )( x )( x)( x且两 个 重 要 极 限 1sincos xxx圆扇形AOB的面积1sinlim.1 0 xxx证: 当即xsin21 x21 xtan21亦即)0(tansin 2 xxxx),0( 2x时，)0( 2 x,1coslim0 xx 1sinlim0 xxx显然有 AOB 的面积 AOD的面积

19、DCB Ax1oxxx cos1sin1 故有注 当20 x时xx cos1cos10 2sin2 2 x 222 x 22x0)cos1(lim0 xx .tanlim0 x xx解: x xx tanlim0 xxxx cos1sinlim0 xxx sinlim0 xx cos1lim0 1 .cos1lim 20 x xx 解: 原式 = 2 220 sin2lim x xx 2121 2120 sinlim x 2x2x21 exxx )1(lim 1 .)1(lim 1 xxx 解：原式 1 11lim (1 ) xxx e lim x .)cos(sinlim 11 xxxx 解

20、: 原式 = 2)cos(sinlim 211 xxxx 2)sin1(lim 2 xxx )sin1( 2xe x x22sinx2sin1 1sinlim)1( 0 e )11(lim)2(或e 1)1(lim0注: 代表相同的表达式 填空题 ( 14 ) ;_sinlim.1 xxx ;_1sinlim.2 xxx;_1sinlim.3 0 xxx ;_)11(lim.4 nn n0 10 1e 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第一章 1 x1121 1y x 1 11x xy x x ，y x1121 ,0 xxx 有函数的增量)()( 0 xfxfy )()( 00 xf

21、xxf )(xfy xoy 0 x xx y0lim 0 x y 1 x1121 1y x 1 11x xy x x ，y x1121 可见 , 函数)(xf在点0 x定义: )(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , ,)()(lim 00 xfxfxx 则称函数.)( 0连 续在 xxf(1) )(xf在点0 x即)( 0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3) .)()(lim 00 xfxfxx 设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ; 1 x1121 1y x 1 11x xy x x ，y x1121 若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续

22、, 或称它为该区间上的连续函数 . ,0 xxx 有函数的增量)()( 0 xfxfy )()( 00 xfxxf )(xfy xoy 0 x xx y)()(lim 00 xfxfxx )()(lim 000 xfxxfx 0lim0 yx )()()( 000 xfxfxf左连续右连续,0 ,0当 xxx 0时, 有 yxfxf )()( 0 函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题: .)1(loglim0 x xax 解:原式xxax 1)1(loglim0 ealog aln1 0 000( )lim ( ) ( ),( )x x f x xf x f xf x x 连 续 的 定

23、义 ： （ ）设 函 数 在 附 近 有 定 义 ，函 数 极 限 若则 称 在 的 特 殊 情 形连 续 . 0lim ( )x x f x 0( )f x在 x0有 定 义1.在 x0附 近定 义 ;2.极 限 存 在 左 右 极 限 存 在 并 相 等 1.在 x0 及 其 附 近 定 义 ;2.极 限 存 在左 右 极 限 存 在 并 相 等 0 01. ( ) ;2.lim ( ) .x xf x xf x 在 无 定 义或 不 存 在 )sin1(sinlim)1( xxx 提示: xx sin1sin)1( 21cos21sin2 xxxx 21cos)1(2 1sin2 xxx

24、x 无穷小有界 0lim)3( x xxx cot11 0lim x xxx cot)121( e )1(ln 12 xx xx122e)(lim 12sincos0 xxxxx 1 3 31 xy 0)1(lim 3 3 bxaxx解:原式0)1(lim 3 13 xbxx ax 0)1(lim 3 13 xbxx a故,01 a于是,1a而)1(lim 3 3 xxb x 23 33 23 1)1( 1lim xxxxx 0 xy .sin12lim 410 xxeexxx解: xxeexxx sin12lim 410 xxe ee x xxx sin12lim 4 340 1 xxeexxx sin12lim 410 xxeexxx sin12lim 410 1原式 = 1