线性代数课件：向量组的线性相关与线性无关

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1、1.线性组合与线性表示线性组合与线性表示2.2.线性相关与线性无关线性相关与线性无关3.3.线性相关性判定定理线性相关性判定定理2.7 2.7 向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关7 7.1.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示(Linear combinationLinear combination)例例1 1设设 a a1(1,0,0)，a a2(0,1,0)，a a3(0,0,1)，b b(2,1,1)，则则b b(2,1,1)是向量组是向量组a a1，a a2，a a3的线性组合的线性组合.即即 b b(2,1,1)是向量组是向量组a a1，a a2，a a3的线性

2、组合，也就是说的线性组合，也就是说b b可由可由a a1，a a2，a a3线性表示线性表示.因为因为 2a a1 a a2 a a3 2(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(2,1,1)=b b，定定义义1 给给定定n维维向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一组组数数k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的的线性组合线性组合，或称，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.例例2 2任何一个任何一个n维向量维向量a a(a

3、1,a2,an)都是都是n维向量组维向量组 e1(1,0,0)，e2(0,1,0)，en(0,0,1)的线性组合的线性组合.这是因为这是因为a a a1e1 a2e2 an en.注：注：向量组向量组 e1，e2，en称为称为 n 维单位（或维单位（或基本基本）向量组）向量组.7 7.1.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示(Linear combinationLinear combination)定定义义1 给给定定n维维向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一组组数数k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，则称向量则称向量b

4、 b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的的线性组合线性组合，或称，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.例例3 3零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合.这是因为这是因为o=0 a a1 0 a a2 0 a am.例例4 4向向量量组组a a1，a a2，a am中中的的任任一一向向量量a ai(1 i m)都都是是此此向量组的线性组合向量组的线性组合.这是因为这是因为a ai 0 a a1 1 a ai 0 a am.7 7.1.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示(Linear combinationLinear

5、combination)定定义义1 给给定定n维维向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一组组数数k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的的线性组合线性组合，或称，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.例例5 5线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+a11a21am1x1a12a22am2x2+xn

6、a1na2namn+b1b2bm=或或即即其中其中,定义定义2 设有设有n维向量组维向量组a a1，a a2，a am，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 k1，k2，km，使使 k1a a1 k2a a2 kma am o 成立成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2，a am线性相关线性相关，否则否则，即只有即只有当当k1，k2，km全为全为0时时 k1a a1 k2a a2 kma am o才成立才成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2，a am线性无关线性无关.7 7.2 .2 线性相关与线性无关(Linear dependent&Linear independ

7、ent)线性相关性判定方法线性相关性判定方法 一般方法，用于一般方法，用于m 个个n维向量组的情形维向量组的情形.一般可通过定义或一般可通过定义或判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.特殊方法，用于特殊方法，用于n 个个n维向量组的情形维向量组的情形.可通过行列式判定可通过行列式判定.例例6.6.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.解解:对于向量组，显然有对于向量组，显然有 即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数 练习：练习：讨论下列向量组的线性讨论下列向量组的线性 相关性，其中：相关性，其中：即即使得使得所以

8、向量组所以向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,线性相关线性相关.一般方法（举例）一般方法（举例）对于对于n个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组a a1，a a2，a an，设有一组数设有一组数 k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a a2 kna an o 成立成立.由向量的运算性质可得由向量的运算性质可得 k1a a1 k2a a2 kn a an=o，即即从而得向量组从而得向量组a a1，a a2，a an，线性无关线性无关(相关相关)的充分必要条件是的充分必要条件是:特殊方法（推导）特殊方法（推导）设有一组数设有一组数k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a

9、a2 kna an o 成立成立.(1)通过向量的线性运算通过向量的线性运算,将将(1)式化为如下齐次方程组式化为如下齐次方程组(2)特殊方法（解题步骤）特殊方法（解题步骤）判断上面关于判断上面关于k1,k2,kn方程组方程组(2)(2)有无有无非零解非零解?若方程组若方程组(2)(2)有非零解有非零解，则则a a1,a a2,a an线性相关；否则线性相关；否则,线性无关线性无关.即行列式即行列式或或核心问题核心问题！例例7.7.证明下列单位向量组线性无关证明下列单位向量组线性无关.即即 从而得从而得 即只有当即只有当k1 k2 k3 k400时，上时，上 式才成立，所以向量组式才成立，所以

10、向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,线性无关线性无关.特殊方法（举例）特殊方法（举例）证证:对于向量组对于向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,设有设有一组数一组数k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立亦即亦即例例8.8.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.即方程组即方程组 因该方程组的系数行列式因该方程组的系数行列式 所以，线性方程组有非零解所以，线性方程组有非零解，从从而而，向向量量组组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,线线性性相关相关.解解:对于向量组对于向量组a a1 1,a a2 2,

11、a a3 3,a a4 4,设有设有一组数一组数k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立亦即方程组亦即方程组解题要点：找向量方程的解题要点：找向量方程的非零解非零解.特殊方法（举例）特殊方法（举例）例例9设向量组设向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，令令 b b1 a a1 a a2，b b2 a a2 a a3，b b3 a a3 a a1.试证向量组试证向量组b b1，b b2，b b3也线性无关也线性无关.(拆项重组法拆项重组法)证明：证明：设有一组数设有一组数k1,k2,k3,使使 k1b b1 k2b b2 k3 b b3 o，即即 k1(a a1 a a2)

12、k2(a a2 a a3)k3(a a3 a a1)o，整理得整理得 (k1 k3)a a1(k1 k2)a a2(k2 k3)a a3 o.因为向量组因为向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+1 1 0 0 1 1 1 0 1由于由于=20，从而从而b b1，b b2，b b3线性无关线性无关.所以方程组只有零解所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0，即代数方程组只有零解：k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零解：k1=k2=k3=0.讨论：讨论：3.3.仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件仅有两个向量构成的

13、向量组线性相关的条件.1.1.含有零向量的向量组是否线性相关含有零向量的向量组是否线性相关.2.2.仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件.结论：结论：1.1.含有零向量的向量组一定线性相关含有零向量的向量组一定线性相关.2.2.仅仅有有一一个个向向量量构构成成的的向向量量组组线线性性相相关关当当且且仅仅当该向量为零向量当该向量为零向量.3.3.仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例这两个向量的分量对应成比例.4.单位向量组单位向量组e1，e2，en是否线性相关是否线性相关.4.单位向量组

14、单位向量组e1，e2，en线性无关线性无关.证明：证明：必要性必要性.因为因为a a1，a a2，a am线性相关，故存在不全线性相关，故存在不全为零的数为零的数l l1，l l2，l lm，使使 l l l l1 1a a a a1 1 l l l l2 2a a a a2 2 l l l lmma a a amm o o.不妨设不妨设l l1 0，于是于是即即a a1为为a a2，a a3，a am的线性组合的线性组合.充分性充分性.不妨设不妨设a a1可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示,即即 a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am，则存在不全为零的数则存在不

15、全为零的数 1，l l2，l l3，l lm，使使 (1)a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am o，即即a a1，a a2，a am线性相关线性相关.定定理理1 1 向向量量组组a a1，a a2，a am线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是：向向量量组组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.7 7.3 .3 线性相关性判定定理线性相关性判定定理 先先证证明明b b可可由由向向量量组组a a1，a a2，a am线线性性表表示示.因因为为向向量量组组a a1，a a2，a am，b b线线性性相相关关，因因而而存存在在一一组

16、组不不全全为为零零的的数数l l1，l l2，l lm及及l l，使使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am lblb o，这里必有这里必有l l 0，否则，上式成为否则，上式成为 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o，且且l l1，l l2，l lm不全为零，这与线性无关矛盾不全为零，这与线性无关矛盾.因此因此l l 0.即即b b可由向量组可由向量组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.证明：证明：定定理理2 2 设设向向量量组组 a a1，a a2，a am，b b 线线性性相相关关，而而a a1，a a2，a am线线性性无无关关，则则b b

17、 可可由由a a1，a a2，a am线线性性表表示示，且且表表示示式式是是惟一的惟一的.再证表示法惟一再证表示法惟一.设设b b可表示成以下两种形式，可表示成以下两种形式，b b l l1a a1 l l2a a2 l lma am，及及 b b m m1a a1 m m2a a2 m mma am，两式相减得两式相减得 (l l1 m m1)a a1(l l2 m m2)a a2 (l lm m mm)a am o，由由a a1，a a2，a am线性无关可知线性无关可知 l l1 m m1 l l2 m m2 l lm m mm 0，从而从而 l l1 m m1，l l2 m m2，l

18、lm m mm，所以，表示法是惟一的所以，表示法是惟一的.证明：证明：定定理理2 2 设设向向量量组组 a a1，a a2，a am，b b 线线性性相相关关，而而a a1，a a2，a am线线性性无无关关，则则b b 可可由由a a1，a a2，a am线线性性表表示示，且且表表示式是惟一的示式是惟一的.设设向向量量组组a a1，a a2，a am中中有有r个个向向量量的的部部分分组组线线性性相相关关，不不妨妨设设a a1，a a2，a ar线线性性相相关关，则则存存在在一一组组不不全全为为零零的的数数l l1，l l2，l lr使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar

19、o，因而存在一组不全为零的数因而存在一组不全为零的数l l1，l l2，l lr，0，0，0使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar 0 a ar 1 0 a am o，即即a a1，a a2，a am线性相关线性相关.证明：证明：定理定理3 3 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关相关，则整个向量组线性相关.定定理理4 4 由由n个个n维维向向量量组组成成的的向向量量组组，其其线线性性无无关关的的充充分分必必要要条条件是矩件是矩阵阵A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an,)可逆可逆.证明证

20、明 略略.证明：证明：（反证反证）若向量组若向量组 b b1,b b2,b bm线性相关线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数k1,k2,km,使得使得 k1 b b1+k2 b b2+km b bm=o （1 1）即即（2 2）显然显然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1+k2a a2+kma am=o，从而得从而得，a a1，a a2，a am线性相关，矛盾线性相关，矛盾.证毕证毕.定定理理5 5 若若向向量量组组 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)(i=1,2,m)线线性性无无关关，则则向向量组量组 b b i=(a ai

21、 i1 1,a ai i2,a ai in,a ai in+1)(i=1,2,m)也线性无关也线性无关.例例10.10.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性(要求用要求用“观察法观察法”).(1)(2)解：解：对于对于(1)组，显然有组，显然有 (2)组中每一个向量的前组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理个分量构成无关组，由定理5知知(2)组无关组无关.练习题练习题 一一、填填空空题题：在在向向量量组组a a1,a a2,a ar中中，如如果果有有部部分分向向量量线线性相关，则向量组必（性相关，则向量组必（）二、多选题：二、多选题：下列命题中正确的有（下列命题中正确的有

22、（）非零向量组成的向量组一定线性无关非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量线性相关的向量组一定含有零向量三、分析判断题三、分析判断题 ：若若a a1不能被不能被a a2,a a3,a ar 线性表示，线性表示，则向量则向量a a1,a a2,a a3,a ar线性无关（线性无关（）四、证明题：四、证明题：设设b b可由设可由设a a1,a a2,a ar线性表示，但不能线性

23、表示，但不能由由a a1,a a2,a ar-1线性表示，证明线性表示，证明a ar可由可由a a1,a a2,a ar-1,b b线性表示线性表示等价向量组等价向量组定义定义3 3 设有两个向量组设有两个向量组(I)(II)如如果果向向量量(I)(I)与与向向量量组组(II)(II)可可以以相相互互线线性性表表示示，则则称称向向量量组组(I)(I)与与向量组向量组(II)(II)等价等价.例例11.11.(I)a a=(1,0),a a 2=(0,1)(II)b b=(1,),b b 2=(,-1),b b 3=(,5)两组等价两组等价.因为因为,b b=a aa a,b b 2=a aa

24、a,b b 3=a aa a,5.4 5.4 极大线性无关组极大线性无关组向量组向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价.等价向量组的性质等价向量组的性质l自反性自反性l对称性对称性l传递性传递性 引例引例.向量组向量组a a=(1,1,1),a a2=(0,2,5),a a3=(1,3,6),等价于其部分向等价于其部分向量组量组a a a a2.事实上，事实上，a a，a a，a a3中的每一个向量可由中的每一个向量可由a a，a a线性表示线性表示,即即而而 a a，a a中的每一个向量可由中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即线性表示，即向量组的极大线性无关组向量组

25、的极大线性无关组例例12在向量组在向量组a a1(0,1)，a a2(1,0)，a a3(1,1)，a a4(0,2)中中，向量组向量组a a1(0,1)，a a2(1,0)线性无关线性无关，且有且有 同样同样a a2，a a4也是一个极大线性无关组也是一个极大线性无关组.所以所以a a1，a a2是向量组是向量组a a1，a a2，a a3，a a4的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.a a4(0,2)2(0,1)2a a1 100a a2，a a3(1,1)(0,1)(1,0)a a1 a a2，定定义义4 4 如如果果向向量量组组a a1，a a2,am的的一一个个部部分分组组a

26、aj1，a aj2,ajr(rm)满足：满足：(1)部分组部分组aj1，aj2,ajr线性无关；线性无关；(2)向量组向量组a a1，a a2,am中的任一向量可由该中的任一向量可由该部分组部分组线性表示，线性表示，则称所选部分组为原向量组的一个则称所选部分组为原向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组.极大线性无关组不一定唯一；极大线性无关组不一定唯一；向量组与它的极大线性无关组等价向量组与它的极大线性无关组等价.线性表示线性表示，则则rs.定理定理6 6 设向量组设向量组线性无关，并且可由向量组线性无关，并且可由向量组 推论推论2 2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量等价的线性无关

27、的向量组含有相同个数的向量.推论推论1 1 任意任意n+1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关.向量组的秩向量组的秩 定定义义5 5 向向量量组组a a1，a a2，a am的的极极大大线线性性无无关关组组所所含含向向量量的的个个数数称称为为向量组的秩向量组的秩.记作记作r(a a1，a a2，a am).规定，只含零向量的向量组的秩为规定，只含零向量的向量组的秩为0.推论推论3 3 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.若若r(a a1，a a2，a am)m，则向量组，则向量组a a1，a a2，a am必线性相关必线性相关.重要结论重要结论 (线性相关性新的判定方法！线性相

28、关性新的判定方法！)向量组的秩向量组的秩2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法1.向量组秩的求法2.向量组极大线性无关组的求法3.用极大线性无关组表示其他的向量 定义定义4 4 矩阵矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行向量组的秩称为矩阵A的的行秩行秩，列向量组的秩列向量组的秩称为矩阵称为矩阵A的的列秩列秩.即即行向量组行向量组a a1，a a2，a am的秩，称为矩阵的秩，称为矩阵A的的行秩行秩.列向量组列向量组b b1，b b2，b bm的秩，称为矩阵的秩，称为矩阵A的的列秩列秩.定理定理3 3 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.1.向量组秩的求法 例

29、例4.4.求下列向量组求下列向量组a a=(1,2,3,4)，a a2 2=(2,3,4,5)，a a3 3=(3,4,5,6)的秩的秩.步步1.把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量列（或行）向量组成矩阵组成矩阵A；步步2.对矩阵对矩阵A进行进行初等初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；步步3.阶梯形阶梯形B中中非零行的个数即为所求向量组的秩非零行的个数即为所求向量组的秩 解：解：以以a a,a a,a a为为列向量列向量作作成矩阵成矩阵A,因为阶梯形矩阵的秩为因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为，所以向量组的秩为21.向量组秩的求法问题：问题：基本单位

30、向量组的秩是多少？它们相关基本单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？无关？定定理理4 4 矩矩阵阵A经经初初等等行行变变换换化化为为B，则则B的的列列向向量量组组与与A对对应应的列向量组有相同的线性的列向量组有相同的线性相关性相关性.下面通过例子验证结论成立下面通过例子验证结论成立.线性关系线性关系:矩阵矩阵A矩阵矩阵A1矩阵矩阵A22.向量组极大线性无关组的求法步步1.1.把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成矩阵组成矩阵A；步步2.2.对矩阵对矩阵A进行进行初等行变换初等行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；步步3.3.A中的与中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即

31、为极大线性无关组的每阶梯首列对应的向量组，即为极大线性无关组由上可得，由上可得，求向量组的极大线性线性无关组的方法：求向量组的极大线性线性无关组的方法：矩阵矩阵A2矩阵矩阵A3矩阵矩阵B例例5.5.求下列向量组的一个极大无关组，其中：求下列向量组的一个极大无关组，其中：解：解：以以5个向量为列个向量为列矩阵矩阵A，用初等行变换将，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵 矩阵矩阵B已是阶梯形矩阵已是阶梯形矩阵,B的每阶梯的每阶梯首列所在的列是首列所在的列是1，2，4列，所以列，所以A的第的第1，2，4列就是列就是A的列向量组的极大线性的列向量组的极大线性无关组，即无关组，即a,a,a是向量

32、组的一个是向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组.行最简形矩阵行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式或称行最简式)是指它为是指它为阶梯形矩阵阶梯形矩阵,且它的每一行的第一个非零元素均为且它的每一行的第一个非零元素均为1,第一个非零元第一个非零元素所在的列其余元素均为素所在的列其余元素均为0 例如例如,利用初等行变换将利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵先化为阶梯形矩阵B，再化成行最简形，再化成行最简形矩阵矩阵C.3.用极大线性无关组表示其他的向量 即列向量组的一个即列向量组的一个极大极大线性线性无关组化为无关组化为单位向量组单位向量组.步步1.1.把向量组的向

33、量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成矩阵组成矩阵A；步步2.2.对矩阵对矩阵A进行进行初等初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；步步3.3.把阶梯形把阶梯形B进行进行初等初等行变换行变换化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵C；步步4.4.根根据据行行最最简简形形矩矩阵阵列列向向量量的的分分量量，用用极极大大线线性性无无关关组组表表示其它向量示其它向量3.用极大线性无关组表示其他的向量例例6.6.求下列向量组的一个极大求下列向量组的一个极大线性线性无关组，并表示其它向量无关组，并表示其它向量:解解：以以给给定定向向量量为为列列向向量量作作成成矩矩阵阵A，用用初初等等行行变变

34、换换将将A化化为为行行最简形最简形:根据行最简形矩阵根据行最简形矩阵C可知可知a a,a a,a a是向量组是向量组的一个极大无关组的一个极大无关组，且且 a a3 3=2=2a a1 1-a a+0+0a a,a a5 5=a a1 1+a a+a a.3560假设第假设第5列为，列为，该如何表示？该如何表示？一、填空题一、填空题1若向量组若向量组a a，a a，a am线性相关，则它的秩（线性相关，则它的秩（）m2一一个个向向量量组组若若含含有有两两个个以以上上的的极极大大无无关关组组，则则各各极极大大无无关关组所含向量个数必（组所含向量个数必（）3设设a a，a a，a ar线线性性无无

35、关关，且且可可由由b b，b b，b bs线线性表示，则性表示，则r ()s设设A是是n阶阶方方阵阵且且|A|0，则则（）1)A中必有两行（列）元素中必有两行（列）元素对应对应成比例成比例 2)A中至少有一行（列）的元素全中至少有一行（列）的元素全为为0 3)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线线性性组组合合 4)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线线性性组组合合二、单选题二、单选题n;rn.3向量组向量组a a，a a，a as，线性无关的充要条件是（，线性无关的充要条件是（）r1;它有一

36、个部分向量它有一个部分向量组线组线性无关性无关;r0;它所有的部分向量它所有的部分向量组线组线性无关性无关.4若若矩矩阵阵A有有一一个个r阶阶子子式式D0,且且A中中有有一一个个含含有有D的的r+1阶阶子子式等于零，则一定有（式等于零，则一定有（）.r(A)r;r(A)r;r(A)=r;r(A)=r+1.5设设向向量量组组a a,a a,a a线线性性无无关关，则则下下列列向向量量组组中中，线线性性无无关的是（关的是（）.a a+a a，a a+a a，a a-a a a a+a a，a a+a a，a a+2a a+a a a a+2a a，2a a+3a a，3a a+a a a a+a a+a a，2a a-3a a+2a a，3a a+5a a-5a a作业：作业：作业：作业：8383页页页页 112;27(3);28(3)2;27(3);28(3)